函数极大值和极小值使用

1、关于函数的极大值与极小值使用第一张，PPT共二十三页，创作于2022年6月知识回顾： 一般地,设函数y=f(x)在某个区间内可导，则函数在该区间 如果f(x)0, 如果f(x)0,得函数单增区间; 解不等式f(x)0,得函数单减区间.第三张，PPT共二十三页，创作于2022年6月 yxOaby=f(x)x1 f (x1)x2 f(x2)x3 f(x3)x4 f(x4) 函数 y=f (x)在点x1 、x2 、x3 、x4处的函数值f (x1)、 f (x2)、 f (x3)、 f (x4)，与它们左右近旁各点处的函数值，相比有什么特点?观察图像：第四张，PPT共二十三页，创作于2022年6月一

2、、函数的极值定义一般的，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对X0附近的所有点，都有f(x)f(x0), 则f(x0) 是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值= f(x0)；使函数取得极值的点x0称为极值点第五张，PPT共二十三页，创作于2022年6月1、在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量(x)的值，极值指的是函数值(y)。注意2、极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。第六张，PPT共二十三页，创作于2022年6月3、函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一

3、个。4、极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示。第七张，PPT共二十三页，创作于2022年6月 观察图像并类比于函数的单调性与导数关系的研究方法,看极值与导数之间有什么关系?o a x0 b x y xx0左侧 x0 x0右侧 f(x) f(x) o a x0 b x y xx0左侧 x0 x0右侧 f(x) f(x)增f(x) 0f(x) =0f(x) 0极大值减f(x) 0如何判断f (x0)是极大值或是极小值？第八张，PPT共二十三页，创作于2022年6月 yxO在极值点处，曲线如果有切线，则切线是水平的。aby=f(x)x1 f (x1)=0 x

4、2 f (x2)=0 x3 f (x3)=0 x4 f (x5)=0 x5第九张，PPT共二十三页，创作于2022年6月 f (x)0 yxOx1aby=f(x)在极大值点附近在极小值点附近 f (x)0 f (x)01、如果在x0附近的左侧f (x)0，右侧f (x)0，则f (x0)是极大值；2、如果在x0附近的左侧f (x)0，则f (x0)是极小值；二、判断函数极值的方法x2导数为0的点不一定是极值点；极值点处的导数不一定是存在的；若极值点处的导数存在，则一定为0左正右负为极大，右正左负为极小第十张，PPT共二十三页，创作于2022年6月 练习1.函数 的定义域为开区间导函数 在 内的

5、图像如图所示，则函数在开区间 内有（ ）个极小值点。 A.1 B.2 C.3 D. 4Af(x) 0f(x) =0注意：数形结合以及原函数与导函数图像的区别第十一张，PPT共二十三页，创作于2022年6月例1 求函数 的极值。x(-，-2）-2(-2，2）2(2，+） yy解：定义域为R，y=x2-4由y=0可得x=-2或 x=2当x变化时，y, y的变化情况如下表：因此，当x=-2时， y极大值=17/3 当x=2时， y极小值=5+0-0极大值17/3极小值 -5第十二张，PPT共二十三页，创作于2022年6月求可导函数f(x)极值的 步骤：(2)求导数f (x)；(3)求方程f (x）=

6、0的根； (4)把定义域划分为部分区间，并列成表格检查f (x)在方程根左右的符号如果左正右负（+ -）， 那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正（- +）， 那么f(x)在这个根处取得极小值；(1) 确定函数的定义域；第十三张，PPT共二十三页，创作于2022年6月巩固练习：求函数 的极值 当 时, 有极大值，并且极大值为当 时, 有极小值，并且极小值为 解: 令 ，得 ，或 下面分两种情况讨论：（1）当 ，即 时；（2）当 ，即 ，或 时。当 变化时， 的变化情况如下表：第十四张，PPT共二十三页，创作于2022年6月a=2.例4:函数 在 处具有极值，求a的值分析：f(x)在 处

7、有极值，根据一点是极值点的必要条件可知， 可求出a的值.解： ，第十五张，PPT共二十三页，创作于2022年6月 函数 在 时有极值10，则a，b的值为 ，注意：f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件注意代入检验 巩固练习第十六张，PPT共二十三页，创作于2022年6月例2第十七张，PPT共二十三页，创作于2022年6月第十八张，PPT共二十三页，创作于2022年6月第十九张，PPT共二十三页，创作于2022年6月第二十张，PPT共二十三页，创作于2022年6月例3 设函数f(x)x36x5，xR.(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若关于x的方程f(x)a有三个不同的实根，求实数a的取值范围【思路点拨】(1)利用导数求单调区间和极值.(2)由(1)的结论，问题转化为yf(x)和ya的