3．4 基本不等式2

1、基本不等式金陵中学 曹茂宏教学目标1掌握基本不等式；2理解基本不等式的证明过程；3了解分析法与综合法教学过程一、数学情境情境：周末采摘草莓，顺便买一些回来，通过仔细观察，发现老板用的天平不等臂说明：为了突出不等臂，示意图花的夸张一些问题1：如果你是买家，你愿意把草莓放长臂的盘子里？还是短臂的盘子里？为什么？老板提出一个方案：先放在天平的长臂的盘子里，测得的质量为a；再放在天平的短臂的盘子里，测得的质量为b，于是用eq sdo1(f(ab,2)来作为草莓的质量问题2：你觉得合理吗？问题3：草莓的实际质量是多少？说明：由杠杆原理，推导eq r(ab)二、数学建构问题4：如何比较eq sdo1(f(

2、ab,2)与eq r(ab)？说明：这里方法很多，让学生自由发挥，主要会有作差法，分析法和综合法第1组第2组第3组第4组第5组abeq sdo1(f(ab,2)eq r(ab)说明：由特殊的数据，猜想一般结论，可以借助Excel1猜想：如果a，b都是正数，那么eq sdo1(f(ab,2)eq r(ab)，当且仅当ab时，等号成立下面是证明猜想证明：法1(作差法)eq sdo1(f(ab,2)eq r(ab)eq sdo1(f(1,2)(ab2eq r(a)eq r(b)eq sdo1(f(1,2)(eq r(a)2eq r(b)22eq r(a)eq r(b)eq sdo1(f(1,2)(e

3、q r(a)eq r(b)2当且仅当eq r(a)eq r(b)时，即ab时，取等号法2(分析法)要证eq sdo1(f(ab,2)eq r(ab)，只要证ab2eq r(ab)0，只要证(ab)24ab，即证(ab)20，当且仅当ab时，取等号法3(综合法)因为(ab)20，所以(ab)24ab0，所以ab2eq r(ab)，所以eq sdo1(f(ab,2)eq r(ab)当且仅当ab时，取等号说明：(1)教学过程中，说明分析法与综合法的区别分析法是从要证明的结论出发，不断寻求结论成立的条件综合法是从已知条件、定理或性质出发证明要证的结论(2)在作差法的过程中，详细说明“当且仅当”，两层意

4、思：当ab时，取等号；取等号，仅当ab时2结论的不同表征概念：eq r(ab)也是正数a，b的一种平均方式eq sdo1(f(ab,2)称为两个正数a，b的算术平均数，eq r(ab)称为两个正数a，b的几何平均数自然语言：两个正数的算术平均数大于等于它们的几何平均数数列的语言：两个正数的等差中项大于等于它们的等比中项三、数学应用例1 证明下列不等式(1)eq sdo1(f(ab,r(ab)2(a0，b0)分析：主要回顾证明不等式的一般方法，另外强调基本不等式的应用法1：因为a0，b0，所以eq r(ab)0，要证eq sdo1(f(ab,r(ab)2，只要证ab2eq r(ab)，只要证(e

5、q r(a)eq r(b)20，因为(eq r(a)eq r(b)20成立，所以原不等式成立法2：eq sdo1(f(ab,r(ab)eq sdo1(f(a,r(ab)eq sdo1(f(b,r(ab)eq sdo1(f(r(a),r(b)eq sdo1(f(r(b),r(a)2，当且仅当eq sdo1(f(r(a),r(b)eq sdo1(f(r(b),r(a)时，即ab时，等号成立说明：练习为了巩固不等式证明的一般方法，更强调基本不等式的“基本”四、课堂小结基本不等式：eq sdo1(f(ab,2)eq r(ab)(当且仅当ab时，取等号)证明不等式的一般方法：作差法，分析法，综合法五、作业布置必修五P98 ex1，2，3教学反思(1)情境的选择还可以更加贴切，因为称草莓一般不会用天平但是，另一方面只有天平可以引出eq r(ab)，其他情境很难引入eq r(ab)(2)比较eq sdo1(f(ab,2)与eq r(ab)时，尽量让学生自由发挥，由学生想想比较两数之间大