8.1向量及线性运算的教案

1、8.1向量及线性运算的教案8.1向量及线性运算的教案8.1向量及线性运算的教案山东理工职业学院教案首页 学年 第 学期课程名称 高等数学任课教师授课班级授课时间第 周第 周第 周第 周第 周第 周星期星期星期星期星期星期第 节第 节第 节第 节第 节第 节 月 日 月 日 月 日 月 日 月 日 月 日授课课题81 向量及其线性运算教学目的1、理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。2、掌握向量的线性运算（加法、减法、数与向量的乘法）。3、理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，熟练掌握用坐标表达式进行向量运算的方法。教学重点1.向量的线性运算。2.用坐标表达式进行向量运算的方法

2、。教学难点1.向量的线性运算。2. 理解向量、单位向量、方向数与方向余弦的概念、向量的坐标表达3、用坐标表达式进行向量运算的方法。教学用具备 注复习检查引入新课引入新课新授课引出概念练习小结考勤一、导入新课在平面解析几何中，建立坐标系，并通过直角坐标系把平面上的点与有序数组（即点的坐标）意义对应起来同样，为了把空间的任意一点与有序数组对应起来，现在来建立空间直角坐标系二、讲授新课1、空间直角坐标系过空间一定点O，作三条相互垂直的数轴，依次记为轴（横轴），轴（纵轴），轴（竖轴），统称为坐标轴它们构成一个空间直角坐标系空间直角直角坐标系有右手系和左手系两种一般通常用右手系，如图（8-1）在空间直角

3、坐标系中O称为坐标原点，每两条坐标轴确定的平面称为坐标平面，简称坐标面，分别称为面、面、面这些坐标面把空间分成八个部分，每一部分称为一个卦限，依次叫做第一至第八卦限，如图（8-2）（图8-1） （图8-2） 设点是空间的一点，过点分别作与三条坐标轴相互垂直的平面，分别交轴，轴，轴于点，点，分别叫做点在坐标轴上的投影设点，在坐标轴上的坐标分别是，于是点唯一的确定有序数组反之，给定有序数组，总能在坐标轴上找到以它们为坐标的点 ，通过这三点分别作垂直于三条坐标轴的平面，三个平面必然交与点由此可见，点和有序数组，之间存在着一一对应的关系有序数组，就称为点的坐标，记为，点的三个分量分别称为点的横坐标，纵

4、坐标和竖坐标 空间两点间的距离公式：设空间两点和两点（图8-4）间的距离为：该长方体的各棱长分别为 。设点和是空间两点。 特别地，点与原点 的距离为：求点到轴的距离解 设点在轴上的投影为点，则点的坐标为，且线段的长就是点到轴的距离，由距离公式得，类似地，可得点到轴、轴的距离在轴上求与点和等距离的点。解： 因为所求的点在轴上，故可设它为，依题意有 即有 解得 因此，所求的点为2、向量的概念在自然科学和工程技术中经常遇到的量大致可分为两类：一类是只有大小的量，例如，长度、面积、密度、体积、流量等，第一类量称为数量(或标量)；另一类既有大小又有方向的量，例如，力、速度、加速度等，这一类量称为向量（或

5、矢量）。在数学上，用一条有方向的线段（称为有向线段）来表示向量有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向可以看作是任意的以 为起点、 为终点的有向线段表示向量 如图8-5，有时简单表示为a,b,c 或 等向量的大小称为向量的模（或向量的长度），记作： 或 ，模等于1的向量称为单位向量；模等于0的向量称为零向量，记为 ，零向量的方向是任意的。规定：两个方向相同，模相等的向量称为相等向量。向量的运算下面分别介绍向量的加法、减法以及数与向量的乘法运算。向量的加法定义1 （向量的加法）设两个非零向a,b，以a,b为边的平行四边形的对角线所表示的向量( 图8-6)，称为两向量a与b的和向量，记为a+b

6、，这就是向量加法的平行四边形法则图8-5 图8-6由图8-6可以看出，若以向量a的终点作为向量b 的起点，则由a的起点到b的终点的向量也是a与b的和向量这是向量加法的三角形法则这个法则可以推广到任意有限个相加的情形向量的加法满足下列性质：交换律：a+b= b+ a结合律：(a+b)+c= a+(b+c)2向量的减法与向量 的模相等而方向相反的向量称为向量 的负向量，记作 由于向量 ，将向量 和向量 的起点移到同一点，移得以 的终点为起点，以 的终点为终点的向量是 如图8-7，这种方法称为向量减法的三角形法则 图8-73数与向量乘法设是非零向量，是非零实数，则与的乘积仍是一个向量，记作与向量的乘

7、积是一个平行于的向量，它的模是向量的模的倍，即，并规定，当时，与的方向相同，当时，与的方向相反，当时，为零向量。容易验证，数乘向量满足结合律与分配律，即例2已知平行四边形ABCD的对角线向量为，试用向量和表示向量和。解 设，的交点为O（图8-8），由于平行四边形对角线互相平分，故 图8-8根据三角形法则，有 4、向量的坐标表示式在空间直角坐标系下, 任意向量 可用向径 OM 表示. 以分别表示轴上的单位向量设点 M 的坐标为 如图8-9， 则 ，又，则，此式称为向量 的坐标表示式 , 称为向量沿三个坐标轴方向的分向量 图8-9 图8-10又设向量的起点、终点坐标为，则用坐标进行向量的线性运算设向量，则 ， （是数），向量的模和方向余弦设向量，则向量的模 向量的方向余弦设向量与三条坐标轴的夹角叫做向量的方向角如图8-11，方向角的余弦叫做方向余弦。显然，给定三个方向角，向量的方向也随之确定，因此它们表示了向量的方向。 所以，三个方向余弦也可用投影表示为 （1） 由（2）式又得 （3）图8-11用坐标表示向量的平行设向量，向量 为常数例 3 设向量问数为何值时，与平行。 解 因为，故由（10）式，得 即 所以 三、课堂练习 习题8-1：1四、小结1、空间直角