控制工程基础教案第三章

1、控制工程基础教案第三章控制工程基础教案第三章控制工程基础教案第三章控制工程基础 教 案 年至 年 第 学期 第 周 星期 课题名称（含教材章节）： 第三章 时域分析法 教学目的和要求：1、熟悉控制系统时域性能指标； 2、掌握一阶、二阶系统的时域分析，了解高阶系统时域分析； 3、掌握劳斯稳定判据及赫尔维兹稳定判据； 4、掌握稳态误差计算。 教学重点：二阶系统的阶跃响应，代数稳定判据、稳态误差的求取 教学难点：高阶系统的暂态响应，稳态误差的求取 教 学 内 容 （ 要 点 ）1. 控制系统性能指标；2. 一阶、二阶系统的时域分析及高阶系统的时域分析；3. 控制系统稳定的定义及条件，劳斯稳定性判据；

2、4. 控制系统稳态误差分析。X X X X 学 院 教 案 纸第三章 时域分析法控制系统的数学模型是研究控制系统的理论基础。上一章介绍了建立控制系统数学模型的方法后，就可以运用工程方法对系统的控制性能进行全面的分析和计算。时域分析法是对于线性稳定系统，基于系统的微分方程，利用拉普拉斯变换为数学工具，直接求解控制系统的时域响应，并利用响应表达式及响应曲线分析系统的控制性能，如稳定性、平稳性、快速性、准确性等。3.1典型输入信号一、瞬态响应的基本概念稳态（静态）响应：当某一信号输入时，系统在时间趋于无穷大时的输出状态。瞬态（过渡）响应：系统在某一输入信号作用下其输出量从初始状态到稳定状态的响应过程

3、。瞬态响应分析是本章要讨论的问题。分析瞬态响应时，往往选择典型输入信号，这是因为：1.数学处理简单，给定典型信号下的性能指标，便于分析和综合系统；2.典型输入的响应往往可以作为分析复杂输入时系统性能的基础；3.便于进行系统辨识，确定未知环节的传递函数。二、典型输入信号1阶跃信号数学表达式：示意图： 图3-1 阶跃信号2斜坡信号数学表达式：示意图：图3-2 斜坡信号大型船闸匀速升降时主拖动系统发出的位置信号，数控机床加工斜面时的进结指令等，均可看成斜坡作用。3.加速度信号 数学表达式：示意图：图3-3 加速度信号4.脉冲信号数学表达式：示意图：图3-4 脉冲信号当系统输入为单位脉冲函数时，其输出

4、响应称为脉冲响应函数。由于函数的拉氏变换等于1，因此系统传递函数即为脉冲响应函数的象函数。理想的单位脉冲作用(t)在现实中是不存在的，它只有数学意义，是一个重要的数学工具，脉冲电压信号、冲击力、阵风等，均可近似为脉冲作用。当系统输入任一时间函数时，如图3-5所示，可将输入信号分割为 n 个脉冲。当时，输入函数可看成n个脉冲叠加而成。按比例和时间平移的方法，可得时刻的响应为。图3-5 卷积所以输出响应为输入函数与脉冲响应函数的卷积，脉冲响应函数由此又得名权函数。5.正弦信号数学表达式：示意图：图3-6正弦信号海浪对舰艇的扰动力，伺服振动台的输入指令，电源及机械振动的噪声等正弦作用。三、典型输入信

5、号选择关于在系统分析中选用何种实验信号的问题，需要根据对系统的考查目的来确定。例如在考查系统的调节能力时，可选用脉冲信号；如果考查系统对于定值信号的保持能力时，就要选用阶跃信号来进行系统分析了。地面雷达跟踪空中的机动目标时，无论是俯仰角的变化还是方位角的变化，都可以近似为等速率变化规律，采用斜坡信号比较恰当。但是在考查船舶自动驾驶系统，或者战车炮塔在车体行进中的自稳系统的能力时，就不能采用斜坡信号了。由于海浪起伏特性与地面颠簸信号接近于正弦信号，采用正弦信号，或者至少采用匀加速信号，来考查系统的二阶跟踪能力才是合理的3.2一阶系统的时域分析一、一阶系统一阶系统：能够用一阶微分方程描述的系统。它

6、的典型形式是一阶惯性环节：二、典型输入响应1一阶系统的单位阶跃响应单位阶跃输入：象函数为：则进行拉氏反变换图3-7一阶系统单位阶跃响应 特点：(1) 稳定，无振荡；(2) 经过时间 T 曲线上升到 0.632 的高度；(3) 调整时间为 (34)T ；(4) 在 t = 0 处，响应曲线的切线斜率为 1/T；(5) 故，据此鉴别系统是否为一阶惯性环节。图3-8 一阶系统对数图2一阶系统的单位斜坡响应单位斜坡输入：象函数为：则进行拉氏反变换图3-9 一阶系统单位斜坡响应3一阶系统的单位脉冲响应单位斜坡输入：象函数为：则进行拉氏反变换图3-10 一阶系统单位脉冲响应三、一阶系统小结一阶系统的瞬态响

7、应：1. 单位斜坡响应 2. 单位阶跃响应 3. 单位脉冲响应 三者的关系：3.3二阶系统的时域分析一、二阶系统用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。它的典型形式是二阶振荡环节。标准形式一：标准形式二：。二、典型输入响应1一阶系统的单位阶跃响应单位阶跃输入：象函数为：则因为：根据二阶系统的极点分布特点,分五种情况进行讨论。（1）欠阻尼二阶系统的极点是一对共轭复根。式中是称为阻尼自振角频率。进行拉氏反变换，得图3-11 二阶系统欠阻尼响应特点：a. 以为角频率衰减振荡； b. 随着的减小，振荡幅度加大。 （2）临界阻尼二阶系统的极点是二重负实根。 进行拉氏反变换，得图3-11 二阶系统临界阻尼响

8、应特点：无超调。 （3）过阻尼二阶系统的极点是两个负实根。 则进行拉氏反变换，得图3-12 二阶系统过阻尼响应特点：无超调，过渡时间长。 （4）零阻尼二阶系统的极点是一对共轭虚根。 进行拉氏反变换，得图3-13 二阶系统无阻尼响应特点：无阻尼，等幅振荡。 （5）负阻尼二阶系统的极点具有正实部。响应表达式的指数项变为正指数，随着时间，其输出，系统不稳定。其响应曲线有两种形式： 图3-14 二阶系统负阻尼响应2二阶系统单位阶跃响应小结(1)欠阻尼：衰减振荡，振荡角频率为，随着阻尼系数的减小，其振荡幅度加大； (2)临界阻尼：无超调；(3)过阻尼：无超调，阻尼比越大，过渡时间越长；(4)零阻尼：等幅

9、振荡；(5)负阻尼：发散，系统不稳定。3二阶系统单位脉冲响应单位脉冲输入：象函数为：则因为：负阻尼和零阻尼对工程技术领域没有意义,故分三种情况进行讨论。（1）欠阻尼二阶系统的极点是一对共轭复根。式中。进行拉氏反变换，得图3-12 二阶系统单位脉冲欠阻尼响应特点：a. 以为角频率衰减振荡； b. 随着的减小，振荡幅度加大。 （2）临界阻尼二阶系统的极点是二重负实根。 进行拉氏反变换，得图3-13 二阶系统单位脉冲临界阻尼响应（3）过阻尼其响应图如图3-13所示。4二阶系统单位斜坡响应单位脉冲输入：象函数为：则与二阶系统单位脉冲响应相似，分三种情况进行讨论。（1）欠阻尼图3-14 二阶系统单位斜坡

10、欠阻尼响应（2）临界阻尼图3-15 二阶系统单位斜坡临界阻尼响应（3）过阻尼图3-16 二阶系统单位斜坡过阻尼响应3.4时域分析性能指标一、时域分析性能指标控制系统的性能指标常分为动态性能指标和稳态性能指标，动态性能指标又可分为跟随性能指标和抗扰性能指标。在控制工程基础中所讨论的系统动态性能指标，一般是指跟随性能指标。各性能指标如图3-17所示。下面分述如下。1. 上升时间响应曲线从零时刻首次到达稳态值的时间。或从稳态值的 10% 上升到稳态值的90 所需的时间。图3-17 时域分析性能指标2. 峰值时间响应曲线从零时刻上升到第一个峰值点所需要的时间。3. 最大超调量响应曲线的最大峰值与稳态值

11、的差与稳态值之比；单位阶跃输入时，即是响应曲线的最大峰值与稳态值的差。通常用百分数表示。4. 调整时间响应曲线达到并一直保持在允许误差范围内的最短时间。5. 延迟时间响应曲线从零上升到稳态值的 50% 所需要的时间。6. 振荡次数在调整时间内响应曲线振荡的次数。二、时域性能指标求取1. 求取上升时间系统的单位阶跃响应为将代入，得因为所以由于上升时间是输出响应首次达到稳态值的时间，故2. 求取峰值时间峰值点为极值点，令因为所以3. 最大超调量将上式代入到单位阶跃响应表达式中，得4. 求取调整时间图3-18 渐近线以进入5%的误差范围为例，解得，当阻尼比较小时，有同理可证，进入2%的误差范围，则有

12、。当阻尼比一定时，无阻尼自振角频率越大，则调整时间越短，系统响应越快。当较大时，前面两式的近似度降低。 当允许有一定超调时，工程上一般选择二阶系统阻尼比在0.51之间。当变小时，愈小，则调整时间 愈长；而当变大时，愈大，调整时间也愈长。例：下图所示系统，施加 8.9N 阶跃力后，记录其时间响应如图，试求该系统的质量 M、弹性刚度 k 和粘性阻尼系数 D 的数值。 图3-19 例图解：根据牛顿第二定律拉氏变换，并整理得由，得又由 ，得3.5高阶系统的瞬态响应一般的高阶机电系统可以分解成若干一阶惯性环节和二阶振荡环节的叠加。其瞬态响应即是由这些一阶惯性环节和二阶振荡环节的响应函数叠加组成。对于一般

13、单输入单输出的线性定常系统，其传递函数可表示为设输入为单位阶跃，则如果其极点互不相同，则上式可展开成经拉氏反变换，得 可见，一般高阶系统瞬态响应是由一些一阶惯性环节和二阶振荡环节的响应函数叠加组成的。当所有极点均具有负实部时，系统稳定。一、高阶系统的简化1距虚轴最近的闭环极点为主导极点。工程上当极点 A 距离虚轴大于 5 倍极点 B离虚轴的距离时，分析系统时可忽略极点 A 。2. 系统传递函数中，如果分子分母具有负实部的零、极点数值上相近，则可将该零点和极点一起消掉，称之为偶极子相消。工程上认为某极点与对应的零点之间的间距小于它们本身到原点距离的十分之一时，即可认为是偶极子。例：已知某系统的闭

14、环传递函数为试求系统近似的单位阶跃响应。解：对高阶系统的传递函数，首先需分解因式，如果能找到一个根，则多项式可以降低一阶。工程上常用的找根方法，一是试探法，二是计算机算法。首先我们找到该题分母有一个根 s1= -20，则利用下面长除法分解出一个因式对于得到的三阶多项式，我们又找到一个根s2=-60，则可继续利用长除法分解出一个因式。对于剩下的二阶多项式，可以很容易地解出剩下一对共轭复根则系统传递函数为其零点、极点如下图所示。根据前面叙述简化高阶系统的依据，该四阶系统可简化为这是一个二阶系统，用二阶系统的一套成熟的理论去分析该四阶系统，将会得到近似的单位阶跃响应结果为图3-20 响应结果3.6系

15、统稳定性的基本概念一、稳定性概念1. 单摆图3-21 单摆由单摆可得一般意义上的稳定概念：即系统受扰动后能否恢复原来的状态。2. 闭环控制系统的稳定性问题定义：若控制系统在任何足够小的初始偏差的作用下，其过渡过程随着时间的推移，逐渐衰减并趋于零，具有恢复原平衡状态的性能，则称该系统为稳定；否则，称该系统为不稳定。二、系统稳定的充要条件图3-22 系统框图考虑如图3-22所示系统方框图，N(s)到Xo(s)的传递函数：设n(t)为单位脉冲函数，则因为上式的拉式反变换必然可以写成如果系统稳定，应有即。而为系统闭环特征方程式的根的实部。故控制系统稳定的充分必要条件是：闭环特征方程式的根全部具有负实部

16、。由于系统特征根即闭环极点，故也可以说充要条件为：极点全部在s平面的左半面。3.7代数稳定性判据一、劳斯判据劳斯判据是基于方程式的根与系数的关系而建立的。设系统特征方程为 为系统的特征根。复数根与系数的关系：要使全部特征根均具有负实部，必须满足：1特征方程的各项系数(i=0，1，2，n)；2特征方程的各项系数的符号都相同。 一般取正值，则上述两条件简化为。此为系统稳定的必要条件。其充要条件为：如果“劳斯阵列”中第一列所有项均为正，则系统稳定。 劳斯阵列： 判别方法：（1）如果劳斯表中第一列的系数均为正值，则其特征方程式的根都在S的左半平面，相应的系统是稳定的。（2）如果劳斯表中第一列系数的符号

17、有变化，其变化的次数等于该特征方程式的根在S的右半平面上的个数，相应的系统为不稳定。 例1 设控制系统的特征方程式为试应用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。解：首先由方程系数可知满足稳定的必要条件。其次，排劳斯阵列由于劳斯阵列第一列中系数符号全为正，所以控制系统稳定。例2 设控制系统的特征方程式为试应用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。解：由方程系数可知已满足稳定的必要条件。排劳斯阵列第一列系数改变符号2次，闭环系统的根中有2个实部为正，控制系统不稳定。对于特征方程阶次低（n3）的系统，劳斯判据可简化：二阶系统特征式为，劳斯表为故二阶系统稳定的充要条件是。三阶系统特征方程式： 列劳斯表： 故系统稳定的

18、充分必要条件是：例3 设某反馈控制系统如下图所示，试计算使系统稳定的K值范围。图3-23 系统框图解：系统闭环传递函数为特征方程为根据三阶系统稳定的充要条件，可知使系统稳定须满足 故使系统稳定的K值范围为。特殊情况一（第一列中有一元素为零）例：特征方程：列劳斯表： 当，劳斯表第一列系数数值符号改变2次，有，两个根位于右半平面，系统不稳定。特殊情况二（劳斯表中一行元素均为零）：至少有三种情况：1. 特征方程有一对实根，大小相等，符号相反2.有一对虚根3. 有对称于S平面原点的共轭复根。举例：系统特征方程为：列劳斯表：辅助方程： 第一列没改变符号，右半平面没有根。所以，有一对共轭虚根。系统临界稳定

19、。二、胡尔维茨判据系统特征方程：nn行列式：系统稳定的充要条件：各阶主子行列式均 0。即：，例1: 设控制系统的特征方程式为试应用赫尔维茨稳定判据判断系统的稳定性。解：由方程系数可知满足稳定的必要条件。各系数排成行列式由于故该系统稳定。二、代数判据的不足： 1. 必须知道系统的闭环传递函数2. 定性较难从量上判断系统的稳定程度3. 对含有延迟环节的系统无效3.8稳态误差的基本概念“准确”是对控制系统提出的一个重要要求。对于实际系统来说，输出量常常不能绝对精确地达到所期望的数值，期望的数值与实际输出的差就是所谓的误差。系统的输出量通常由瞬态分量和稳态分量组成。误差也由瞬态误差和稳态误差两部分组成

20、。在过渡过程开始时，瞬态误差是误差的主要部分，但它随时间而逐渐衰减，稳态误差逐渐成为误差的主要部分。稳态误差分析是本章要讨论的问题。一、系统的误差与偏差图3-24 误差和偏差的概念误差是以系统的输出端为基准来定义的：控制系统的理想输出量与实际输出量之差，称为误差。偏差是以系统的输入端为基准来定义的：控制系统的输入量与实际输出反馈量之差，称为偏差。 和间的关系：对控制系统的控制作用体现在，如,则，就起控制作用，力图将调节到值；反之，当，就有，而使不再对进行调节。因此，当时,有 故 又由 可得联立上两式,得故求出偏差后，即可求出误差。二、系统的误差与偏差系统的稳态误差是指系统进入稳态后的误差，因此

21、，不讨论过渡过程中的情况。只有稳定的系统存在稳态误差。稳态误差的定义为其计算可利用拉式变换的终值定理进行：同理，系统的稳态偏差：3.9输入引起的稳态误差一、偏差传递函数图3-25 一般控制系统若考虑图3-25所示控制系统,有偏差传递函数: 由上述结论: 由上式可知，稳态偏差不仅与系统的结构与参数有关，而且与输入信号的特性有关。二、静态误差系数考虑图3-25所示控制系统,有偏差传递函数:其开环传递函数必可以写成下式:定义：=0，“0型系统”；=1，“I型系统”；=2，“II型系统”。1. 静态位置误差系数单位阶跃输入：静态位置误差系数：单位阶跃输入的稳态误差：单位阶跃输入时，0型系统 的稳态偏差

22、：型以上系统：故单位阶跃输入：对0型系统 对型以上系统 可见，当系统开环传递函数中有积分环节存在时，系统阶跃响应的稳态值将是无差的。而没有积分环节时，稳态是有差的。为了减少误差，应当适当提高放大倍数。但过大的K 值，将影响系统的相对稳定性。2. 静态速度误差系数单位速度输入：静态速度误差系数：单位速度输入的稳态误差：单位速度输入时，0型系统 的稳态偏差：型系统：II型系统：故单位速度输入：对0型系统 对型系统 对II型以上系统 上述结果说明，0型系统不能跟随斜坡输入，因为其稳态偏差为无穷；I型系统可跟随斜坡输入，但存在稳态偏差，同样可增大K值来减少偏差；II型以上系统，对斜坡输入响应的稳态是无

23、差的 。3. 静态加速度误差系数单位加速度输入：静态加速度误差系数：单位加速度输入的稳态误差：单位加速度输入时，0型系统的稳态偏差：型系统：II型系统：故单位加速度输入：对0型系统 对型系统 对II型系统 可见，输入为加速度信号时，0、 I型系统不能跟随；II型为有差，要无差需要采用III型或以上。4.各类系统的稳态偏差各类系统的稳态偏差总结如下表所示。表3-1各类系统的稳态偏差稳态偏差与输入信号的形式有关。在随动系统中，一般称阶跃信号为位置信号，斜坡信号为速度信号，抛物线信号为加速度信号。由输入“某种”信号而引起的稳态偏差用一个系数来表示，就叫“某种”误差系数。如输入阶跃信号而引起的偏差，就

24、叫静态位置误差系数。它表示了稳态的精度。该系数越大，表明系统精度越高。如大到，则稳态无差；如为0，则稳态偏差，表示不能跟随输出。当增加系统型别时，系统的准确性将提高；但系统的稳定性将变差。因为系统开环传递函数包含两个以上积分环节时，要保证系统的稳定性是很难的。因此，III型或更高型的系统实现起来是不易的，实际应用中极少采用。增大K也可提高准确性，但同样使系统的稳定性变差。因此稳定与准确是有矛盾的，在进行控制系统设计时，需要统筹兼顾。另为减小误差，是增大系统的开环放大倍数K ，还是提高系统的型别也需要视具体情况而定。例：求当 xi(t)=1(t) 时的稳态误差图3-26 例图 解:因为: , 故

25、: 物理意义:常值输入，积分环节前的信号必为零。例：求系统在单位阶跃、斜坡、加速度输入时的稳态误差：图3-27 例图解：I 型系统，单位阶跃，；单位斜坡， ；单位加速度， ；故系统不能承受加速度输入。3.10干扰引起的稳态误差终值定理同样是计算干扰引起稳态误差的基本方法。系统在扰动作用下的稳态偏差反映了系统的抗干扰能力，为便于分析，此时先不考虑给定输入的作用，即。对图3-28所示系统，得干扰传递函数为图3-28 干扰引起误差的系统根据终值定理，干扰引起稳态偏差为 则干扰引起稳态误差为求系统稳态误差应首先判断系统稳定性。当求两个量同时作用时线性系统的偏差，可利用叠加原理，分别求出每个量作用情况下的偏差，然后相加求出。例 某系统如下图所示，当时作用时，值为多少？图3-29 例图 解: 根据劳斯判据该系统稳定。单位反馈系统的偏差即为误差。例 下图系统当仅作用时，值为多少？图3-30 例图 解: