高中数学题型全面归纳（教师版）：2.5指数与指数函数8

1、第五节 指数与指数函数考纲解读1. 了解指数函数模型的实际背景.2. 理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算及性质.3. 理解指数函数的概念和单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点.4. 认识到指数函数是一类重要的函数模型.命题趋势探究指数函数是中学数学中基本初等函数之一，这部分内容在高考中处于重要的地位.高考中往往以基础知识为主，主要考查指数函数的性质及应用，一般以选择题和填空题的形式出现，例如数值的计算、函数值的求法、数值大小的比较等，但有时也与函数的基本性质、二次函数、方程、不等式、导数等内容结合起来编制综合题.近几年高考中有加强考查的趋势.知识点精讲一、指数的运算性质

2、当a0，b0时，有(1)aman=am+n(m,nR)；(2)( m,nR)(3)(am)n=amn(m,nR)；(4)(ab)m=ambm(mR)；(5)(pQ)(6)(m,nN+)二、指数函数(1)一般地，形如y=ax(a0且a1)的函数叫做指数函数；(2)指数函数y=ax(a0且a1)的图像和性质如表2-6所示.y=axa10a1图象(1)定义域：R(1)定义域：R值域(2)值域：(0,+)(2)值域：(0,+)(3)过定点(0,1)(3)过定点(0,1)(4)在R上是增函数.(4)在R上是减函数.(5)0y0y=1x=0y1x0(5)0y1x1x0题型归纳及思路提示题型23 指数运算及

3、指数方程、指数不等式思路提示利用指数的运算性质解题.对于形如，的形式常用“化同底”转化，再利用指数函数单调性解决；或用“取对数”的方法求解.形如a2x+Bax+C=0或a2x+Bax+C0(0)的形式，可借助换元法转化二次方程或二次不等式求解.一、指数运算例2.48化简并求值.(1)若a=2，b=4，的值；(2)若，的值；(3)设(nN+)，求的值.分析：利用指数运算性质解题.解析：.当a=2，b=4，原式.(2)先对所给条件作等价变形：，x2+x-2=(x+x-1)2-2=72-2=47.故.(3)因为，所以，所以.所以.变式1 设2a=5b=m，且，则m=( ).A. B. 10C. 20

4、D. 100解析 解法一： 。解法二： 由得得，则，即。故选A。二、指数方程例2.49 解下列方程(1)9x-43x+3=0；(2)；分析：对于(1)方程，将其化简为统一的底数，9x=(3x)2；对于，对其底进行化简运算.解析：(1)9x-43x+3=0(3x)2-43x+3=0，令t=3x(t0)，则原方程变形为t2-4t+3=0，得t1=1，t2=3，即或，故x1=0，x2=1.故原方程的解为x1=0，x2=1.(2)由，可得即，所以，得x=-3.故原方程的解为x=-3.变式1 方程9x-63x-7=0的解是_.解析 ，令，则原方程变形为，得（舍），即， ，故原方程的解是。变式2 关于x的

5、方程有负实数根，则a的取值范围是_.解析 关于的方程有负实数解，则，将方程转化为不等式，则，解得， 故的取值范围是。三、指数不等式例2.50若对x1,2，不等式恒成立，求实数m的取值范围.分析：利用指数函数的单调性转化不等式.解析：因为函数y=2x是R上的增函数，又因为x1,2，不等式恒成立，即对x1,2，不等式x+m1恒成立函数y=x+m在1,2上的最小值大于1，而y=x+m在1,2上是增函数，其最小值是1+m，所以1+m1，即m0.所以实数m的取值范围是m|m0.变式1 已知对任意xR，不等式恒成立，求m的取值范围.分析 求解指数不等式，可将其化为同底的形式，利用单调性求解。解析 原不等式

6、化为 因为指数函数是R上的减函数。所以，即 ，因为原不等式对恒成立，所以对恒成立；所以，解得， 所以的取值范围是。变式2 函数的定义域为集合A，关于x的不等式(xR)的解集为B，求使AB=A的实数a的取值范围.解析 函数的定义域，由不等式，得，当，即时，；当，即时，；当，即时，。由，得，若，则，得，则；若，则，得；若，也满足，综上，满足的实数的取值范围是。题型24 指数函数的图像及性质思路提示解决指数函数有关问题，思路是从它们的图像与性质考虑，按照数形结合的思路分析，从图像与性质找到解题的突破口，但要注意底数对问题的影响.一、指数函数的图像例2.51 函数的图象如图2-14所示，其中a，b为常

7、数，则下列结论中正确的是( ). A. a1，b1，b0 C. 0a1，0b1D. 0a1，b0 分析：考查指数函数的图象及其变换. 解析：由图2-14可知0a0，得b0，故选D.评注：若本题中的函数变为，则答案又应是什么？由图2-14可知(x)单调递减，即0a1，函数y=ax的图像向下平移得到的图像，故0b0且a1)的图像经过第二、三、四象限，则一定有( ).A. 0a0B. a1且b0C. 0a1且b1且b0，a1)的图象可能是( ).解析 当时，函数图像与轴交点的纵坐标应在区间（0，1）内，故排除选项A、B；当时，函数图像与轴交点的纵坐标在，故排除选项C，故选D。变式3 已知实数a，b满

8、足，下列5个关系式：0ba，ab0，0ab，ba0且a1)的图像过定点_.分析：指数函数的图像恒过定点(0,1)，即a0=1.解析：因为函数(x)=ax(a0且a1)的图像过定点(0,1)，又函数(x)=(a0且a1)的图像是由函数(x)=ax(a0且a1)的图像向左平移一个单位得到的，故函数(x)=(a0且a1)的图像过定点(-1,1).变式1 函数(x)=ax+1(a0且a1)的图像过定点_.解析 因为函数且的图像过定点（0，1），又函数（）的图像是由函数（）的图像向上平移一个单位得到的，故函数（）的图像过定点（0，2）。变式2 函数(x)=ax+x-2的图像过定点_.解析 因为函数（）的

9、图像过定点（0，1），故函数的图像过定点（0，-1）。变式3 (x)=(a0且a1)的图像恒过定点A，若点A在直线mx+ny-1=0(m,n0)上，则的最小值为_.分析 把所求中的“1”用替换，整理后用基本不等式求解即可。解析 因为函数的图像恒过定点A（1，1），所以有 ，即。解法一 因为函数， 当且仅当时取“=”解法二 由上可知，当且仅当时取“=”，所以，当且仅当时取“=”。评注 虽然解法二多次使用了均值不等式，但因为取得等号的条件相吻合，故可以运用均值不等式求解，若求的最小值，则不能用解法二。二、指数函数的性质(单调性、最值(值域)例2.53 函数(x)=ax(a0且a1)在1,2上的最大

10、值比最小值大，则a的值是_.分析：本题考查指数函数的单调性.解析：当0a1时，函数(x)=ax在1,2上单调递减，故在1,2上最大值为a，最小值为a2，则，得，又0a1时，函数(x)=ax在1,2上单调递增，故在1,2上最大值为a2，最小值为a，那么，得，又a1，所以.综上所述，a的值是或.评注：函数(x)=ax(a0且a1)，不论0a1都是单调的，故最大值和最小值在端点处取得.所以，解得或.变式1 函数(x)=ax(a0且a1)在区间a,a+2上的最大值是最小值的3倍，则a=_.解析 当时，所以成立；当时，所以成立，故答案为或。变式2 定义区间x1,x2(x1x2)的长度为x2-x1，已知函

11、数y=2|x|的定义域为a,b，值域为1,2，则区间a,b的长度的最大值与最小值的差为_.解析 函数的图像如图2-56所示，所以，或，所以，因此区间的长度的最大值与最小值的差为1。变式3 若y=3|x|(x(a,b)的值域为1,9，则a2+b2-2a的取值范围是( ).A. 2.4B. 4,16C. 2,2D. 4,12解析 作的图像如图2-57所示，由于的值域为1，9，所以，当时，故必有，且或。若，则；若，则，故点的轨迹是如图2-58所示的线段AB、BC（其中A（-2，0），B（-2，2），CD（0，2），而可视为点与点N（1，0）的距离的平方与1的差，结合图象可知，当点M运动到C时，取最小

12、值4；当点M运动到B时，取最大值12。因此。故选D。例2.54 函数(0a1)的单调增区间是_.分析：复合函数内层为二次函数，外层为指数型函数，根据复合函数单调性判定法求解.解析：因为u=-4x2-8x+1=-4(x+1)2+5在-1,+)上单调递减，在(-,-1上单调递增，且y=ax(0a1)是减函数，所以(0a0恒成立.分离自变量x与参变量a，转化为求解函数的最值.解析：因为当x(-,1时，(x)的图像在x轴上方，所以对于任意x1，0恒成立，即(x1)恒成立.令(x1)，au(x)max，x(-,1.因为，均是减函数，所以u(x)在(-,1上单调递增，故当x=1时，故.故实数a的取值范围为

13、(,+).变式1 已知函数(a0且a1).(1)判断函数(x)的奇偶性；(2)讨论函数(x)的单调性；(3)当x-1,1时，(x)b恒成立，求实数b的取值范围.解析 （1）函数定义域为R，又因为，所以为奇函数。（2）当时，为增函数，为减函数，从而为增函数，所以为增函数。当时，为减函数，为增函数，从而为减函数，所以为增函数。综上可知，当且时，函数在定义域上为单调递增函数。（3）由（2）可知在R上为增函数，所以在区间-1，1上为增函数，所以，所以，要使恒成立，只需，故的取值范围为。变式2定义域为R的函数是奇函数.求a,b的值.若对任意的，不等式恒成立，求k的取值范围.解析 （1）为定义在R上的奇函

14、数，则，得， 得。（2）由得在R上单调递减，又为奇函数，且不等式 ，则对任意的恒成立，则，故的取值范围为。变式3 已知函数，若对于恒成立，求实数m的取值范围.解析 因为为递增函数，所以， ， ，所以。故的取值范围为最有效训练题8(限时45分钟)1.函数是指数函数，则有（ ）A a=1或a=2 B a=1 C a=2 D 且2.设，则（ ）A B C D 3.设函数定义在实数集上，其图像关于直线x=1对称，且当时，则有（ ）A B C D 4. 函数是（ ）A 奇函数，在区间上单调递增B 奇函数，在区间上单调递减C 偶函数，在区间上单调递增D 偶函数，在区间上单调递减.5.若关于x的方程有解，则

15、实数a的取值范围是（ ）A B C D 6.函数在R上单调，则a的取值范围是（ ）A B C （1，） D 7.不等式，当时，恒成立，则实数a的取值范围为 .8. 函数的单调递增区间是 .9.已知关于x的方程有两个不同实数根，则实数k的取值范围为 .10. 偶函数满足 ，且在时，则关于x的方程，在上的解的个数是 .11.已知函数（其中a,b为常数且的图像经过点A（1,6），B（3,24）.（1）确定.（2）若不等式在时恒成立，求实数m的取值范围. 12.已知函数，函数的最小值为h(a).(1)求h(a);(2)是否存在实数m,n同时满足下列条件：； = 2 * GB3 当h(a)的定义域为n,

16、m时，值域为.若存在，求出m,n的值；若不存在，说明理由.最有效训练题81、 C 解析 由已知，即，得，故选C。2、 D 解析 ，因为在R上是单调递增函数，所以，故选D。3、B 解析 由题设知，在时单调递减，时单调递增，而为对称轴，所以，所以， ，故选B。4、 A 解析 因为，所以函数是奇函数，且在上单调递增，故选A。5、D 解析 因为，所以，故选D。6、 A 解析 当在R上单调递增时，则，得； 当在R上单调递减时，则，得。 综上所述，或，故选A。7、 解析 设，则，原不等式可化为 ，等价于大于在1，3上的最大值，即，解得或。8、1，3 解析 由复合函数的单调性，以及函数的定义域可得1，3。9、 解析 令，则方程化为要使原方程有两个实数根，方程必须有两个正根。