第16讲--几何动点问题

1、第16讲-几何动点问题第16讲几何动点问题第一部分考点搜索动态几何问题，是以几何知识和具体的几何图形为背景，渗透运动变化的观点，通过点、线、形的运动， 图形的平移、翻折、旋转等把图形的有关性质和图形之间的数量关系位置关系看作是在变化的、相互依存 的状态之中，要求对运动变化过程伴随的数量关系的图形的位置关系等进行探究。对学生分析问题的能力, 对图形的想象能力，动态思维能力的要求比较高，但对培养和提高学生的能力有着积极的促进作用。动态 几何问题，以运动中的几何图形为载体所构建成的综合题，它能把几何、三角、函数、方程等知识集于一 身，题型新颖、灵活性强、有区分度，受到了人们的高度关注，同时也得到了命

2、题者的青睐，动态几何问 题，常常出现在各地的中考数学试卷中。动态几何问题通常包括动点问题、动线问题、面动问题，在考查图形变换(含三角形的全等与相似) 的同时常用到的不同几何图形的性质，以三角形、四边形为主，主要运用方程、函数、数形结合、分类讨 论等数学思想。第二部分典例精析考点一：利用函数与方程的思想和方法将所解决图形的性质直接转化为函数或方程 例题1如图，已知 ABC中，AB=AC=10厘米，BC=8厘米，点D为AB的中点.(1)如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点 Q在线段CA上由C点向A 点运动.若点Q的运动速度与点 P的运动速度相等，经过 1秒后，4BPD与

3、4CQP是否全等，请说明理由；若点Q的运动速度与点 P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使4BPD与4CQP全(2)若点Q以中的运动速度从点 C出发，点P以原来的运动速度从点 B同时出发，都逆时针沿 4ABC 三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在 ABC的哪条边上相遇？【解答】（1）t=1秒，BP=CQ=3M1=3厘米，AB =10厘米，点D为AB的中点，BD=5厘米.又 PC=BCBP, BC=8厘米，PC =8 3 = 5厘米,PC =BD .又 AB =AC ,/B =/C , ABPDACQP .Vp #Vq,BP#CQ ,又. BPDCQP, NB=NC,则 BP

4、 = PC =4, CQ =BD = 5,BP 4点P ,点Q运动的时间t=一秒 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark25 o Current Document 33 HYPERLINK l bookmark15 o Current Document CQ 515,., Vq = = = 一 厘米 /秒.t 443第16讲-几何动点问题 一1580(2)设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，由题意，得 一x=3x + 2m10,解得x=秒.43，点P共运动了四乂3 =80厘米.38080=2父28+24，点P、点Q在AB边上相遇，经过 一秒点P与点Q第一次在边 AB

5、上相遇.3例 2（2011 河南）22. （10 分）如图，在 RtAABC 中，/ B=90 , BC=5 J3 , Z 0=30 .点 D 从点 C 出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点 A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速 度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒(t0).过点D作DFLBC于点F,连接DE、EF.(1)求证：AE=DF;(2)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的 t值；如果不能，说明理由(3)当t为何值时， DEF为直角三角形？请说明理由.【解答】（1）在 DFC 中，/ DFC

6、=90 , / 0=30 , DC=2t, . DF =t.又 AE=t,AE=DF （2）能.理由如下:. ABXB0, DFXB0, .AE/DF.= 5.3=5/A0 =2AB =10.3又AE=DF, .四边形 AEFD为平行四边形AB=BC tan30.AD = AC - DC =10-2t10 若使 L AEFD 为菱形，则需 AE = ADJPt=10-2t,t= .310即当t 二一时，四边形 AEFD为菱形3（3）/ EDF=90时，四边形 EBFD为矩形. 5 在 RtAAED 中，/ ADE=Z 0=30 ,AD=2AE.即 10-2t=2t, t =一2/ DEF=90

7、 时，由（2）知 EF / AD, . . / ADE=/DEF=90 . /A=90 -Z 0=60 , AD=AE - cos60 .rr-1即 10-2t t,t =4.2/ EFD=90时，此种情况不存在.5综上所述，当t = 一或4时， DEF为直角三角形2第16讲-几何动点问题同步拓展1.如图，在平面直角坐标系内，已知点 A (0, 6)、点B (8,个单位长度的速度向点 O移动，同时动点Q从点B开始在线段0),动点P从点A开始在线段 AO上以每秒1BA上以每秒2个单位长度的速度向点 A移动,设点P、Q移动的时间为t秒.(1)求直线AB的解析式；(2)当t为何值时， APQ与4AO

8、B相似?2.如图2-4-53,已知直线l的函数表达式为 y=-4x+8,且l与x轴，y轴分别交于A、B两点，动点Q从3B点开始在线段 BA上以每秒2个单位长度的速度向点 A移动，同时动点 P从A点开始在线段 AO上以每 秒1个单位长度的速度向点 O移动，设点Q、P移动的时间为t秒.求出点A, B的坐标；当t为何值时， APQ与4AOB相似？求出中当 APQ与4AOB相似时，线段 PQ所在直线的函数表达式.小结:第16讲-几何动点问题考点二：根据运动图形的位置分类，把动态问题分割成几个静态问题，再将几何问题转化为函数和方程问 题例题3 已知：等边三角形ABC的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN在

9、4ABC的边AB上沿AB方 向以1厘米/秒的速度向B点运动(运动开始时，点M与点A重合，点N到达点B时运动终止)，过点M、N 分别作AB边的垂线，与ABC的其它边交于P、Q两点，线段MN运动的时间为t秒.(1)线段MN在运动的过程中，t为何值时，四边形MNQP 恰为矩形？并求出该矩形的面积；(2)线段MN在运动的过程中，四边形MNQP的面积为S ,运动的时间为t .求四边形MNQP的面积S 随运动时间t变化的函数关系式，并写出自变量 t的取值范围.【解答】(1)过点C作CDLAB,垂足为D.则AD = 2,AM当MN运动到被CD垂直平分时，四边形MNQP是矩形，即t=3四边形MNQP是矩形，2

10、秒时，四边形MNQP是矩形. HYPERLINK l bookmark34 o Current Document 33* PM =AM tan60 =-73与边形mnqp = HYPERLINK l bookmark36 o Current Document 2, 232时,Szg 边形 mnqp =；(PM +QN)MN =向+ HYPERLINK l bookmark58 o Current Document (2) 1 当 0t 1 时，222 当 1W t 2时,30 当 2 t 3时,13 S 四边形 MNQP =3(PM +QN)MN =-V3S四边形mnqp =2 (PM +QN

11、) MN =_石+；73第16讲-几何动点问题图 2-4-43PQBA梯形，,. CA=12, CB=1Q CQ= 4t , CP同步拓展 例1 （年河北省中考题）如图2-4-43 ,在RtABC中，/ 0= 90 , AC= 12, BC= 16,动点P从点A出发沿AC边向点C以每秒3个单位长度的速度运动， 动点Q从点C出发沿CB边向点B以每秒4个单位长度的速度运动.巳Q分别从点A, C同时出发，当其中一点到达端点时， 另一点也随之停止运动.在运动过程中，4PCQ关于直线PQ对称的图形是 PDQ设运动时间为t（秒）.设四边形PCQD勺面积为V,求y与t的函数关系式；t为何值时，四边形 PQB

12、统梯形？是否存在时刻t ,使得PD/ AB?若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；通过观察、画图或折纸等方法，猜想是否存在时刻t ,使得PD AB?若存在，请估计t的值在括号中的哪个时间段内（0WtW1； 1tW2; 2tW3; 3tW4）,若不存在，请简要说明理由【解答】由题意知CQ= 4t , PC= 12 3t , TOC o 1-5 h z 12PC CQ = -6t24tSa pcq= 2. PCQ PDQ于直线PQ寸称，一 2 一.V=2S*cq=- +48t.CP CQ当CA CB时，有PQ/ AB,而AP与BQ不平行，这时四边形 = 12-3t ,12 -3t 4t解得 t

13、=2.当t=2秒时，四边形 PQB统梯形.设存在时刻t ,使得PD/ AB,延长PD交BC于点M如图 2-4-44 ,若 PD/ AB,则/ QMD = B,又 / QDMI =0=90,RtAQMD Rt ABCQM _QD从而 ab- =ac , ,. QD=CQ=4t AC= 12, AB= 122 162 =20,一 20,4t t20,CP CM123t31212t= = .QM=3 .若 PD/ AB,则 CA CB ,得 1216,解得 t= 11 .，当 t= 11 秒时，PD/ AB.存在时刻t ,使得PDAB.时间段为：2vtW3.小结:第16讲-几何动点问题第三部分每课质检28 1.如图，已知11: y= x+直线与直线l2：y = 2x+16相交于点C, l1、L分别交x轴于a、B两点.矩 33形DEFG勺顶点D、E分别在直线11、12上，顶点F、G都在x轴上，且点G与点B重合.(1)求 ABC的面积；(2)求矩形DEFG的边DE与EF的长；(3)若矩形 DEFG从点B出发，沿x轴以每秒1个单位长度的速度向点 A平移，设移动时间为 t(0 t 12)秒，矩形DEFG与 ABC重叠部分的面积为 S,求S关于t的函数关系式，并写出相应的 t的取值范围.第16讲-几