简单的线性规划问题与基本不等式

1、简单的线性规划问题与基本不等式、选择题:1.（2009福建高考）在平面直角坐标系中,x+ y- 1 0,若不等式组ix-10（a为常数）所表示的平面区域的面积等于2,则a的值为B. 1C. 2D. 3rx+ y- 1 0,解析：不等式组X x- K0,所围成的区域如图所示.则 A(1,0),2,已知D71A.4ax y+ 1 0B(0,1), C(1,1 + a)1S abc=2,2(1 + a)X1 = 2,解得 a=3.是由不等式组解析：如图,答案：Dx 2y 0i所确定的平面区域，则圆x2+y2=4在区域D内的弧长为x+ 3y 0 11小l2的斜率分别是k1 = 1 k2= ：,不等式组

2、表示的平面区域为阴影部分.231 1一 十 一-2 3tan / AOB= 1,1、/ 11 _ x 一1 2 3. Z AOB=-,:弧长=44 2=2,答案：B3.（2009天津高考）设变量x+y 3,x、y满足约束条件仪y 1,2x-y3,则目标函数z = 2x + 3y的 最小值为A. 6B. 7C. 8解析：约束条件3,xy 1,表不的平面区域如图2x-y 3D . 23易知过C（2,1）时，目标函数 z= 2x+3y取得最小值.Zmin=2X 2+ 3X1=7.答案：B 1,4. （2009陕西高考）若x, y满足约束条件x y 一 1,、2xyw 2,目标函数z= ax+ 2y仅

3、在点（1,0）处取得最小值，则 a的取值范围是(-1,2)(-4,2)(-4,0(-2,4)解析：可行域为ABC,如图当a = 0时，显然成立.当aa0 时，直线 ax+ 2y z= 0 的斜率 k=-akAC= - 1, a2.a当 a0 时，k= 2 4.综口信一4Vav 2.答案：B5.（2009湖北高考）在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇.现有 4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用.每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机 20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机 10台.若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为 （）A. 2 000 元B. 2

4、200 元C. 2 400 元D. 2 800 元:20 x+10y100,解析：设需使用甲型货车x辆，乙型货车y辆，运输费用z元，根据题意，得线性约束条件0 0 x4,I 0y 8,求线性目标函数 z= 400 x + 300y的最小值.|x= 4解得当f时，2min= 2 200.答案：By=26. （2009四川高考）某企业生产甲、乙两种产品.已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用 A原料1吨、B原料3吨.销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润 3万元.该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨、B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是12

5、万元20万元25万元27万元解析：设该企业生产甲产品为 x吨，乙产品为y吨，则该企业可获得利润为0,y0,z= 5x + 3y,且3x+ y8+24xy(当且仅当x=y时等号成立),即xy2yxy 80,可解得44,即xyR16,故xy的最小值为16.答案：D8. (2009天津高考)设a0, b0.若43是3a与3b的等比中项，则彳+土的最小值为()-1A. 8B. 4C . 1D-4解析：.。3是3a与3b的等比中项，(5)2=3a 3b.即3=3a b, a+b=1.此时； + b=a+ab = 2+(b+ ：)2+2=4(当且仅当 a=b=2取等号). 答案：B1 a9.已知不等式(x

6、+y)(x+y)9对任意正实数x, y恒成立，则正实数 a的最小值为(A. 8 B. 6 C. 4 D. 2解析：(x+y)(x+ y)= 1 + a y+；+ aa+ 1 + 2 Jay =a+2 0+ 1,当且仅当ay=y等号成立，所以(Va)2+2Va+19,SP(Va)2+ 2/a-80,彳#g2 或4(舍),所以 a4,即 a 的最小值为 4.答案：C10 .设a、b是正实数，以下不等式晒辑； a|b|-b； a2+b24ab-3b2； ab+ ab2 恒成立的序号为A.B.C.D.解析：a b 是正实数，. a+b2相? 12-ab? Jab2aba+ ba+ b当且仅当a=b时取

7、等号,，不恒成立； a+b|a b|? a|ab|b恒成立;，不恒成立; a2+b2 4ab+3b2=(a2b)20,当 a=2b 时，取等号, ab+ 2abab-2= 2陋2恒成立. ab答案:一 一2ab ,11若a是m一b与b的等比中项，则 一皿的最大值为|a| 十 |b|A. 2B. 1C. 4解析：二v是小一b与42+ b的等比中项,a2=2-b2? a2+b2=2.根据基本不等式知-.徊M|a|+|b| |a| + |b|a2+b22二=1.即3b-的最大值为1. |a|+ |b|答案：B12.若 a, b 是正常数，aw b, x, yC (0, +o ),a2 b2 (a+

8、b)2 生+色5,x yx+y当且仅当；=；时取等号.利用以上结论,29函数 f(x)=-+ ；(x (0,x 1 2x1 一一，一，i）取得最小值时x的值为（）A. 1C. 2a2 b2 (a+ b)2 解析：由工+ b- 得,x y x+ yf(x) = 1- +2x32=25.1 2x 2x+(1-2x)当且仅当2312= 百-时取等号，即当x=g时f（x）取得最小值25.答案：B二、填空题:13.点（3,1）和（一4,6）在直线3x2y+ a=0的两侧,则a的取值范围是解析：点（3,1）和（一4,6）在直线3x2y+ a=0的两侧,说明将这两点坐标代入 3x2y+a后，符号相反,所以(

9、92+ a)(-12-12+a)0 I mx y? (x, y)|x2+y2 0则m的取值范围是rt#=3 产一 g解析：由题意知，可行域应在圆内，如图:如果一m0,则可行域取到 xv 5的点，不能在圆内;故一mW 0,即 m0.4当mx+ y= 0绕坐标原点旋转时，直线过B点时为边界位置.此时 m=-3m = 4. 0 m0, b0)和函数f(x)= a*1 + 1(a0且aw 1)的图象恒过同一个定点，1 1则当1+1取最小值时，函数f(x)的解析式是.a b解析：函数f(x)=ax1 + 1的图象恒过(1,2),故，a+ b= 1,1+ ；= (：a+b)(1+；)=忌冶+值.当且2ab

10、 2 a b 2 a 2b 2仅当 b=察时取等号，将 b= 12a代入；a+b= 1 得 a=2722,故 f(x)= (272-2)x+1 + 1.答案：f(x)=(2/2)x 1+116.已知关于x的不等式2x + 27在xC(a, + 8 )上恒成立，则实数 a的最小值为 . x a2 一 2(x a) + 2ax a3答案：222解析：因为 xa,所以 2x +=2(xa) + 2a2一一 3 一 一 3= 2a+4,即2a + 4 7,所以a 2,即a的取小值为2.三、解答题：x+ 2y 4,17.已知关于x、y的二元一次不等式组 Jx-y0.(1)求函数u= 3xy的最大值和最小

11、值；(2)求函数z= x+ 2y+ 2的最大值和最小值.x+ 2y 4,解：(1)作出二元一次不等式组 xyW1,表示的平面区域，如图所示.lx+2A0由u= 3x-y,得y=3xu,得到斜率为3,在y轴上的截距为u,随u变化的一组平行线,由图可知，当直线经过可行域上的C点时，截距一u最大，即u最小,x+ 2y= 4,解方程组 1得 C(-2,3), Umin=3X (-2)-3=-9.x+2= 0,当直线经过可行域上的B点时，截距u最小，即u最大，x+ 2y= 4,解方程组 5得 B(2,1),umax=3X2-1 = 5.xy= 1,，u=3x y的最大值是 5,最小值是一9.x+ 2y

12、4,(2)作出二元一次不等式组 x-y1,表示的平面区域，如图所示.lx+2A03a-y-011 11由z=x+ 2y+2,得y= - 2x+ 2z- 1,得到斜率为一万，在y轴上的截距为.z 1,随z变化的一组平行线， 1 一一由图可知，当直线经过可行域上的A点时，截距 产一1最小，即z最小，x y= 1, 解方程组 5得 A(2, 3),. zmin=- 2+2X(-3)+2=- 6.x+2= 0, 1当直线与直线 x+2y=4重合时，截距& z- 1取大，即z取大，. zmax= 4+ 2=6.z= x+ 2y+ 2的最大值是 6,最小值是一6.18.某人上午7时乘摩托艇以匀速 v km

13、/h(4 w vW 20)从A港出发到距50 km的B港去，然后乘7车以匀速wkm/h(30w wW100)自B港向距300 km的C市驶去.应该在同一天下午4至9点到达C市.设乘摩托艇、汽车去所需要的时间分别是x h、y h.若所需的经费 p=100+3(5y)+2(8 x)元，那么v、w分别为多少时，所需经费最少？并求出这时所花的经费.501”人120-30 300 100解：依题意 y,考查z= 2x+3y的最大值，作出可行域，平移直线2x+3y= 0,当直线经9 x+y0, y0过点(4,10)时，z取得最大值38.故当v=12.5、w =30时所需要经费最少，此时所花的经费为93元.

14、19.已知 a、b、cC(0, +8)且 a+b+ c= 1,求证：(1 1)口1)口1)8.abc证明：a b、c (0, +oo)且a+b+c= 1,111(a- 1)(b-1)(r1) =(1 a)(1 b)(1 c)abc(b+ c)(a+ c)(a+ b) 2 . bc 2 , ac 2 ababcabc=8.一，1-当且仅当a=b= c=;时取等320.某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为示)，如果池四周围墙建造单价为400元/米,米2,水池所有墙的厚度忽略不计.162平方米的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所 TOC o 1-5 h z 中间两道隔墙建造单价为248元/

15、米，池底建造单价为80元/试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价;(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价.,.解：(1)设污水处理池的宽为 x米，则长为 侬米. 则总造价 xf(x) = 400X (2x+2* 162)+248X2x+ 80 X 162= 1 296x + 1 296 X 100+ 12 960 xx当且仅当100 x=_x_(x0),100=1 296(x+ x )+12 960 1 296X 2100一一十12 960=38 880(兀), x即x=10时取等当长为16.2米，宽为10米时

16、总造价最低，最低总造价为38 880元.1.,108x 16.0 x 16(2)由限制条件知i 162-“00）满足x=3 k：（k为常数）.如果不搞技术改革，则该产品当年的产量只能是1m+1万件.已知2010年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入 16万元.由于市场行情较好，厂家生产的产品均能销售出去.厂家将每件产品的销售价格定为每件产品生产成本的1.5倍（生产成本包括固定投入和再投入两部分资金）.（1）将2010年该产品的利润y万元（利润=销售金额一生产成本一技术改革费用）表示为技术改革费用 m万元的函数；（2）该企业2010年的技术改革费用投入多少万元时，厂家的利润最大？解：（1）由题意可知，当 m