从一例谈求函数最值的常规方法与技巧

1、 投稿时间：2009.3.20 电话电子邮箱： PAGE PAGE 9从一例谈求函数最值的常规方法与技巧甘肃省高台县第一中 韩天禧 (邮编734300)本文仅从一道短小精悍、结构精巧的题目出发，从多角度全方位着手，来梳理归纳求函数最值的常规方法与技巧,与您共商讨.题目 已知 ,、 为大于零的常数，求 的最小值.一、利用均值不等式求函数最值1 使积定的代数技巧解法一 . 即 当且仅当 , 时, 有最小值.2 使积定的三角技巧解法二 由 , 可设 , 其中 , 则 ., 即当且仅当 = , , , 时, 有最小值.3 使等号成立的技巧解法三 设 , 由均值不等式得:, 两

2、式相加得, 保证等式成立的条件为 即 , 此时, 因此 当且仅当时, 有最小值.二、利用向量求函数最值解法四 设 , , 由 , 得:, 当且仅当 , 即 时, 有最小值.三、利用换元法求函数最值1 代数换元技巧解法五 当时, ,当且仅当等号成立;当时, 令 , 由, 得 (或), 这样由, 等号成立条件为 , ,得, 它在时也成立. 所以 有最小值.2 三角换元技巧解法六 由 , 令 , 则.设, 再设 ，其中 得 , , 由+得, 又由, 得 所以 当且仅当时, 取得最大值1, 就有最小值为. 所以最小值为.注 若- 得 , 由 , 无最值.四、利用数形结合法求函数最值1 把化归为直线坐标

3、轴上的截距和的技巧解法七 令, 可化为方程, 它表示过定点的直线, 它在轴与轴上的截距分别为,.由于=+, 说明几何意义是过定点的直线在两坐标轴上的截距和.设过定点的直线方程为, 由于截距为正, 得 . 它在轴上的截距为, 在轴上的截距为, 则=, 当且仅当,时, 有最小值.2 把化归为椭圆长、短半轴平方和的技巧解法八 令, 可化为方程, 它表示过定点的椭圆,其中,由得=, 进而得. = =五、利用判别式法求函数最值,解法九 , 可化为，由于, 得, 由该方程在上有实根,得, 即 解得 , 因此的最小值为.六、利用导数求函数最值解法十 , 当, 得;当 得 , 故 在处有最小值.这道题构造精巧

4、、新颖别致，颇有思考性、挑战性,求解入口宽,方法灵活多变。以上十种解法从多角度全方位来求解，其解法基本概括了求函数最值的常规方法与技巧，这种一题多解，对夯实双基,提升能力有事半功倍的效果。盘点求最值方法与技巧甘肃省高台县第一中 韩天禧 (邮编734300)题目（2009天津卷理）设若的等比公项,则的最小值 A 8 B 4 C 1 D 解析 因为，所以.1均值不等式法解法 1 （1的代换技巧）.当即时“=”成立，故选择C解法 2 （1的三角代换技巧）由，令，则.当,即时有最小值4.解法 3 （均值不等式技巧）由,得，又.即时有最小值4.解法4 (构造结论技巧) 由，得，两式相加得.即时有最小值4

5、.2向量法解法5 设 , , 由 , 得：.当 时,即时有最小值4.3. 数形结合法解法6. （构造两点间的距离技巧）记：外的一点P到直线的距离=它不大于P点到原点间的距离=，即，得.解法7. （ 构造直线在坐标轴上的截距和技巧）令, 得，它表示定点在直线上, 该直线在轴与轴上的截距分别为,. 由于, 说明的几何意义是过定点的直线在两坐标轴上的截距和.设过定点的直线方程为, 由于截距为正, 得 . 它在轴上的截距为, 在轴上的截距为, 则.当时,即时有最小值4.解法8. （构造椭圆长、短半轴平方和技巧）令得，它表示定点在椭圆上，该椭圆长半轴平方与短半轴平方分别为,.由于, 说明的几何意义是过定

6、点的椭圆的长、短半轴平方和.由得, 又.故.当时,即时有最小值4.4. 换元法解法9 (变元增量技巧)由可知，.故设，其中得，代入得.故.当时,即时有最小值4.解法10 （三角换元技巧）由，令，其中 设, 再设 ，其中 得 , ,由+得, 又由, 得 所以 当且仅当时, 取得最大值1, 就有最小值为2，有最小值为4. 5. 判别式法解法11 设,则代入得关于的一元二次方程, 其中,在上有实根得, 即 解得 .6. 配方法解法12 由，得,.当时有最小值4.7.导数法解法13记，由，得,，, 当,得；当 得 , 故 在时有最小值.这道题构造精巧、新颖别致，颇有思考性、挑战性,求解入口宽,方法灵活

7、多变。以上十三种解法从多角度全方位来求解，其解法基本概括了求函数最值的常规方法与技巧，这种一题多解，对夯实双基,提升能力有事半功倍的效果。练习1.(2009山东卷理)设x，y满足约束条件 ， 若目标函数z=ax+by（a0，b0）的值是最大值为12，则的最小值为A. B. C. D. 42.（06上海春）已知直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点，则三角形面积的最小值为 .3.（08全国一10）若直线通过点，则 A B CD 答案： 1. A； 2. 4； 3. D.“七招”巧解一类最值孟金梅 甘肃省高台县第一中学 （734300） 本文由一道高考题（07年山东卷）变式,从不同思

8、维角度出发,对此类最值问题求解作以归纳,以供参考.题目 已知且求的最值.第一招 消元(将两个变量消去一个)由得(,即)所以 ,当且仅当,即时等号成立,故时,取得最小值16. 第二招 常数“1”的变换因为且，所以=，当且仅当,即时等号成立,由，解得故时,取得最小值16.第三招 三角换元由可设，其中，则所以 =当且仅当即时,取得最小值16.第四招 和差换元由可设则所以= = 当且仅当，此时 时,取得最小值16.第五招 数形结合L0L1L0由得作出函数的图像（如右），令利用“线性规划”知识，平移直线至位置时，直线与曲线相切与点A，此时取得最小值.由消去得，则，解得或.经检验不合题意舍去,故,此时A(4,12).所以时,取得最小值16.第六招 构造向量法,即利用向量性质(当且仅当与同向共线时等号成立)由且，设则所以,由