1.2.3 直线与平面的位置关…3

1、PAGE PAGE 6课 题：直线与平面垂直的判定和性质 授课教师：江苏省白蒲高级中学 缪德军 教 材：苏教版高中数学必修2一、教学目标1.借助对实例的观察与思考，提炼直线与平面垂直的定义，并能正确理解定义； 2.通过独立思考、合作探究，归纳直线与平面垂直的判定定理，并能简单应用；3.认识并证明直线与平面垂直的性质定理； 4.在判定定理的探究中发展合情推理能力，体验“空间问题平面化”、“无限问题有限化”等数学思想，养成善于观察、归纳、反思等良好的思维品质二、教学重点与难点教学重点：直线与平面垂直的定义、判定定理；教学难点：判定定理的探究及性质定理的证明. 三、教学方法与教学手段教学方法：启发式

2、、合作探究、动手试验；教学手段：计算机、多媒体课件、实物展台辅助教学四、教学过程(一)直线与平面垂直的形象感知师：同学们，空间一条直线与一个平面有哪几种位置关系？生：线在面内，线面平行，线面相交；师：直线在平面内、直线与平面平行已研究过，直线与平面相交将成为今天我们所要研究的问题.在日常生活中，你见过哪些可以抽象成直线与平面相交的情形呢？请举例说明.生：日光灯吊线和天花板，旗杆和地面，电线杆和地面等等；师：很好，就在我们身边也有许多，如两个墙面的交线和地面相交，门轴线和地面相交，翻开的书脊和桌面相交等等，这些都给我们以直线与平面相交的形象.在这众多的直线与平面相交模型中，你认为哪种最特殊？生：

3、直线与平面垂直师：本节课，我们就来研究这种关系.【板书课题】师：那我们该如何去研究直线与平面垂直呢？师：请同学们回忆一下，在前面学习直线与平面平行时，我们研究过它的哪些内容？生：定义，判定，性质；师：又是怎样去研究的；生：将“线面平行”与“线线平行”相互转化去进行研究的；师：很好，类似地，直线与平面垂直，我们也从这三个方面进行研究.首先来看,如何定义线面垂直？(二)直线与平面垂直的概念建构师：观察圆锥（如图)，它给我们以轴垂直于底面的形象. 请同学们思考，轴与底面内的哪些直线垂直呢？（根据圆锥定义）生：轴与底面内的半径垂直；师：也就是说，轴与底面内过点的所有直线都是生：垂直的；师：那轴与底面内

4、不过点的直线也垂直吗？生：垂直；师：为什么？生：可以通过平移得到；师：很好，这进一步说明，轴与底面内哪些直线垂直？生：任意一条；师：好，像这样的，如果一条直线与一个平面内的任意一条直线垂直，我们就说直线与平面互相垂直；【ppt】师：这就是直线与平面垂直定义，你能分别用图形和符号表示它吗？师： 首先来看，如何用图形表示：一起来分析一下，定义中有哪些要素：一条直线，内的任意一条直线，互相垂直； 这里既有直线又有平面，此时我们通常先画出生：平面；【教师画平面】师：然后画平面内任意一条直线容易画出；师：直线和平面内任意一条直线都垂直，如何画呢？一般地，把直线画成与表示平面的平行四边形的横边垂直.这样，

5、就画出了它的图形. 师：（口述）图中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，直线与平面的交点称为垂足.师：你能根据图形写出它的符号吗？生：；师：定义清楚地告诉我们了，可以由“线线垂直”得到“线面垂直”；【板书“线线垂直线面垂直”】 师：这样，我们得到了定义的三种表示形式：定义的文字语言、图形语言和符号语言.师：回到定义，我们思考两个问题： 第一个问题：能否把定义中的“任意一条直线”改为“无数条直线”呢？ 生：不能；【教师直尺演示：线在面内，线面平行，线面斜交】师：由此可见，定义中的“任意一条”十分关键.【板书红笔标注】师：再看第二个问题：如果有一条直线与一个平面垂直，那么这条直线与这个平面内的

6、任意一条直线都垂直吗？生：垂直.师：你能写出它的符号表示吗？生： 师：很好，由此可见，定义不仅告诉我们可以由“线线垂直”得到“线面垂直”，还告诉我们可以由“线面垂直”得到“线线垂直”. 【板书“线线垂直线面垂直”】师：下面，我们就来它的简单运用，请看例1；(三)直线与平面垂直的定义的简单运用例1求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.学生独立完成，把过程写到纸上，教师选择投影，点评：1、文字命题的证明步骤：草图已知求证证明；2、用定义证明线面垂直关键就是在平面内找到任意一条直线与直线垂直.3、证到这儿，体现的是由线面垂直得到线线垂直，接下来到最后体现的是由线线

7、垂直到线面垂直，整个过程体现了“线线垂直”与“线面垂直”是可以相互转化的，也充分体现了定义的两个方面.师：在我们熟悉的长方体中，你能用定义证明棱吗？请看思考2；生：不能；师：为什么？生：在平面中无法找到任意一条直线与垂直；师：为此，我们就必须要在定义的基础上找到一个既简捷又可行的判定方法；师：那如何去寻找呢？生：师(引导)：我们能否类比“线面平行判定定理的研究方法” 去探究“线面垂直的判定方法”呢？(四)线面垂直的判定定理的类比探究师：请大家先独立思考，并把自己想法写到纸上；教师巡视!请大家进行小组内交流，形成小组的想法，并写到纸上；教师巡视；师：先请_小组说说你们的方法；小组1：一条直线和一

8、个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面.师：其它组有不同方法吗？小组2：_教师引导学生共同排除错误方法。师：对小组1的方法：你们是怎么想到的？生：类比线面平行的判定定理，1条不行，2条平行不行，2条相交可行师：2条相交可行的理由是什么呢？你们为什么觉得“一条直线只要和平面内两条相交直线垂直，它就垂直与这个平面”呢？你能借助某个模型加以说明吗？生：翻开的书脊与桌面垂直，矩形纸片折叠后展开折痕与桌面垂直等；师：要考虑3条或更多么？生：师：看来，同学们的思考、探究还是比较充分的.如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面内.这就是直线与平面垂直的判定定理.

9、【ppt判定】关于定理的严格证明，教材在此已不作要求，有兴趣的同学们课后可到此网址查看；回到判定定理，你能用图形和符号表示它吗？师：先画生：平面教师引导，共同画图，学生说符号表示. 师：判定定理的本质就是由 得到线面垂直；生：线线垂直；师：现在，能证明刚才的思考2了吗？对照图形来说一下！生：；师：由此可见，判定定理的简捷、可行；再回到例1，你能用判定定理加以证明吗？例1求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.已知：，.求证：.分析：用判定定理证明的关键是在平面内找两条相交直线与直线垂直.ppt:设，. ,又，则，故.总结：证明过程一样突出了线线垂直与线面垂直之

10、间的相互转化.师：在例1中，我们把其中的一个条件与结论对调，命题还还成立吗？（五）直线与平面垂直的性质定理的证明已知：，. 求证：.师：首先画图，图形和例1一样；师：分析：要证明，就是证明两条线平行，我们有哪些方法？生：平行四边形，中位线，平行线截割定理，公里4，线面平行性质定理；师：一个方法都不能使用；这样，从正面去证明一个问题很困难时，我们可以考虑用反证法，反证法第一步就是假设命题不成立。证明：假设直线与直线不平行.则直线与直线相交或异面；若与相交.设交点为，则过点有两条直线与平面垂直，显然不可能.即与相交不可能.若与异面.在直线上取一点，过点作的平行线，因为，可证，又，这样过点有两条直线与平面垂直，显然不可能. 即与不可能异面.综上所述，.师：你能把这个命题用文字叙述出来吗？生：“如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行”.师：很好