概率论概率第四章第3节

1、 前面我们介绍了随机变量的数学期望和方差，数学期望反映了随机变量在概率意义下的平均值，方差则反映了随机变量相对于其均值的离散程度，这对我们了解随机变量有一定的帮助，但对于二维随机变量 ，我们除了关心 的期望和方差外，还希望知道之间的关系，在反映分量之间关系的数字特征中，最重要的，就是本讲要讨论的 协方差和相关系数3协方差和相关系数在讨论这个问题之前，我们先看一个例子。在研究子女与父母的相象程度时，有一项是关于父亲的身高和其成年儿子身高的关系.这里有两个变量，一个是父亲的身高，一个是成年儿子身高. 为了研究二者关系. 英国统计学家皮尔逊收集了1078个父亲及其成年儿子身高的数据, 画出了一张散点

2、图.那么要问：父亲及其成年儿子身高是一种什么关系呢？类似的问题有：吸烟和患肺癌有什么关系？受教育程度和失业有什么关系？高考入学分数和大学学习成绩有什么关系？为了研究诸如此类的两变量的相互关系问题，我们需要从理论上对两变量的相互关系加以研究.这一节就来讨论这个问题. 对随机变量X和Y，若E X-E(X)Y-E(Y) 存在，则称之为X和Y的协方差,记为Cov(X,Y)，即： Cov(X1+X2,Y)= Cov(X1,Y) + Cov(X2,Y) Cov(X,Y)= Cov(Y,X)一、协方差2.简单性质 Cov(aX,bY) = ab Cov(X,Y) a,b是常数Cov(X,Y)=E X-E(X

3、)Y-E(Y) 1.定义 Cov(X,Y)=E(XY) -E(X)E(Y) 可见，若X与Y独立， Cov(X,Y)= 0 .3. 计算公式：证明：由协方差的定义及期望的性质，可得Cov(X,Y)=E X-E(X)Y-E(Y) =E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y) =E(XY)-E(X)E(Y)即 Cov(X,Y)=E(XY) -E(X)E(Y) 若X1,X2, ,Xn两两独立,，上式化为D(X+Y)= D(X)+D(Y)+ 2Cov(X,Y)4. 方差与协方差的关系常用上式计算相依随机变量和的方差.二、相关系数为随机变量X和Y的相关系数 .定义: 设D(X)0,

4、D(Y)0,称在不致引起混淆时，记 为 .例1 已知二维随机变量 的联合分布律为求： ， 0.30 0.12 0.18 0.10 0.18 0.12 11 -2 0 1 Y X解 边缘分布律为与 的协方差为: 0.30 0.12 0.18 0.10 0.18 0.12 11 -2 0 1 Y X下面求 的方差:X与 Y 的相互关系数为:例2 已知 的概率密度 求解：相关系数的性质：证: 由方差的性质和协方差的定义知,对任意实数b,有0D(Y-bX)= b2D(X)+D(Y)-2b Cov(X,Y )令，则上式为 D(Y- bX)= 2. X和Y独立时， =0，但其逆不真.由于当X和Y独立时，C

5、ov(X,Y)= 0.故= 0但由并不一定能推出X和Y 独立.存在常数a,b(a0），使PY=aX+b=1，（证明略,见教材 .）即X和Y以概率1线性相关.若 =0， 称Y与X不相关;Y与X有严格线性关系;若若0| |1,| |的值越接近于1, Y与X的线性相关程度越高;| |的值越接近于0, Y与X的线性相关程度越弱.相关系数刻划了X和Y间“线性相关”的程度.若(X,Y)具有二维正态。 是Y与X的相关系数. 以下画出 取几个不同值时(X,Y)的密度函数图. 例2 若某地区18-74岁男子身高与体重的相关系数约为0.80. 下面的结论正确还是错误，并说明理由.1、较高的男子趋于较重；2、较重的男子趋于较高；3、如果多吃一些从而增加10斤体重，你的身材会长高.错误但对下述情形，