概率公理化定义直观背景要点

1、1.2概率公理化定义的直观背景这里之所以改变认识事物的常规进程，目的在于强调感性认识与理性认识之不同，理性认识源于感性认识却高于感性认识。1等可能概型如果随机试验E具有性质：(1)只有有限个基本事件(又称为样本点)：0182&n，(2)每个基本事件等可能发生，则称随机试验E是等可能概型的随机试验。于是合情地定义P(A)=nAo鉴于由概率n公理化定义可推出这个定义，从而可见，公理化定义是古典定义的理性升华。求解等可能概型问题的若干要点计数四原理(1)乘法原理若某项工程依赖k个步骤完成，而每个步骤分别有n1，n2，必个完成方案，则完成该k项工程的方案总数是N=口ni。i1例2.1n个不同质点放入N

2、个不同盒子中，假定盒子的容量不限，求不同的放置方式的总数。解每个质点有N个放入选择，从而依乘法原理，n个质点放入完毕，共有Nn个不同的放置方式。例2.2用数字1,2,9能组成多少个不同的12位数字？解注意到每个数字可重复使用(最多为12次)，于是12位数字的每一位均有9个选择。从12而依乘法原理，共可组成9个不同的12位数字。(2)加法原理如果某项工程由k家共同完成，而每家分别有n1,n2，nk个完成方案，则完成该项k工程的方案总数N=ni。i1例2.3在4女5男中选取3人，求其中至少有一男一女的不同的选取方法的总数。解在选中的3人中至少有1男1女，有且仅有两种情况：1女2男和2女1男，依乘法

3、原理，各自不同的选取方法总数分别为1111,从而依加法原理，不同的选取方法总数为4丫5) + 11人2必人1(3) 一般加法原理*(容斥原理)设&( i =1,2，n)表示关于有限集S的元素的n个性质，A表示由性质ai确定的元素所成之集，仃(Ai展示集Ai所含元素的个数，则S中至少有一个性质的元素之总数fnnn仃IjAi=o(A)仃(AA)+Z仃(AAAk)+(1)n+o(A1A2An)i,141ik当n=2时，容斥原理成为仃(A1UA2)=o(A1)+b(A2)-cr(A1A2)。加法原理与容斥原理的区别是，前者的不同情况间互不相容，而后者不排除有相容的情况。例2.4*某集体有人若干，其中有

4、6人当过工人，4人当过农民，5人当过教师；又有2人既当过工人又当过农民，有1人既当过工人又当过教师，有3人既当过农民又当过教师；特别地，还有1人，工人、农民、教师全当过，则该集体中从事过前述三种工作的人共有多少？解令ai(i=1,2,3)分别表示当过工人、农民、教师，相应地Ai分别表示当过工人的集，当过农民的集，当过教师的集，则依容斥原理，从事三种工作的人的总数33二(A1UA2,A3)=，:(A)2(AA)二(A1A2A3)i11m:二j13=(6+4+5)-(2+1+3)+1=10(人)。(4)1-1对应原理将计数对象与其它元素建立1-1对应关系是计数方法的本质。例2.5将n个不可辨质点放

5、入N个可辨的盒子中，假定盒子的容量不限，求不同的放置方式的总数。解法1注意到，每个放置方式仅依赖每个盒子中放入的质点数，而不依赖放入的是哪些质点。因此可将两个盒子之间了解为仅有一个盒子壁，因而N个可辨盒子共有N+1个不同的盒子壁。于是不同的放置方式可1-1对应地表成如下形状：|*|*上述图示表示第一个盒子放入2个质点，第二个盒子空，最后一个盒子放入1个质点。如果我们将每个质点也视为盒子壁，并去掉两端盒子壁，则每一放置方式又1-1对应于在上述（N+1）2+n个合壁中，任意选取n个盒子壁（充当质点）的一个选取方法.例如某端盒子壁未被选中，则表示该端第一个盒子空。所以不同的放置方式的总数为N+n-1

6、O、n）解法2每个放入法1-1对应于（x0+x1+x2+,，+xn）N的展开式中xn的一个构成方式。这是因为可将上式中的N个括号解说为N个盒子，而展开式中的每一项均是在每个括号中选且仅选1项的连乘积。又每个括号中被选中项的方哥数可解说为该盒子中放入的质点数，从而展开式中xn的系数即不同的放置方式的总数。于是当mwR时，如果约定：m m(m -1)(m -2) -(m -n +1)m1kk!=1,则012nx x x -xn 1 N_N1-xn1 1 -xNF i j-1i斗j WN Y-n、一上IN . IN(n +)HjxJ A j J在上式中，当且仅当i =0, j = n时,-1_ N

7、_ N _ 1 _N _ n 1N n -1n!为xn的系数,故所求不同的放置方式总数为N N +n -1,、，.1、一例2.6设从1,2,10中随机取出一个时，每个数字都以被取中，取后还原。先后10取出7个数字，求A=7个数字之和等于20的概率。解样本空间所含样本点总数为107,又事件A所含样本点1-1地对应于x +x2 +1010 7的展开式中x20的一个构成方式，从而事件A所含样本点数为展开式中x20的系数，亦即(1+x+.+x9 7的展开式中x13的系数，由(1 十x +x9 7 =(1 x10 7 (1 x一二io:嚏5.(-X ) U .I ”j10(-x J7 二i川 1i z0

8、 j =010i书X从而构成x13的系数有两种情况：i =0, j =13或i =1, j =3,因此x13的系数为/ 13-1A13J* / 4+ (一1)=27132-588=26544,26544与P(A)=2.6544x10o107求解等可能概型问题的基本技巧依托事件间的运算关系例2.7某城市有编号1-N的汽车，某交通岗抄录它所遇到的n辆汽车的号码，假设每辆车等可能被遇到，求抄录的号码中最大为k(1k0,1in；nHi,i1则称有限事件组Hi,H2，Hn为的一个完备划分。n如果将上述条款改为Pv|jHi5=1，则称有限事件组H1,H2，Hn为的一个准完备划分。完备划分与准完备划分的区别

9、在于，后者或许不能覆盖Qo换言之，要想覆盖Q,可能n尚缺零概率事件UHi。i1n(2)依托完备划分可将任何事件A作互不相容分解，即A=UAHj,其中i#j时,i1(AHi)(AHj)=。完备划分Hi,H2，Hn具有基本事件(样本点)的性质：对于每次试验有且仅有一个Hj发生；任何两个不同的Hi互不相容。具有等可能条件的完备划分可视为重新选择的基本条件上述理念常用来简化概率的计算。例2.8袋子中有不同的m个白毛和n个不同的黑球。从中等可能取出k+1(k+1m+n)个球，取后不放回，求最后取出的是白球的概率。解法1随机试验有顺序要求(“最后”一词示之)，因此k+1个球的一个排列对应一个样本点，上-皿

10、mn,从而样本点总数为(k1)!.k1令A表小事件“有序不放回取出k+1个球，最后取得白球。由于最后一个是白球有m+n-1一一,im+n-1、*m个选择，其中前k个球有个选择，从而事件A含mk!个样本点，IkJIkJk!于是所求概率 P(A)m + n (k+1)!事后我们惊奇地发现，P(A)与k无关！但是如果我们换一种思维方式，则事先就可预知这一点。解法2设想将m个白千与n个黑球从1至m+n编了号，白球在前，黑球在后。对于每一种取法，我们只观察最后取得的球，记Hi=最后取得第i号白球,iEiEm+n；于H1,H2，Hm/成为的一个完备划分。特别注意到，它们互不相容且是等可能的，即对任彳51i

11、,m n -1k!P(H)=(m n)m n -1_ _ 1m + n k!因此，H1,H2，Hm+可视为重新选择的样本点，于是 Q的新样本点“总数为 m+n ,而事件A含m个新样本点”，从而P(A) =m- m n注 该解法的本质是更换基本事件组。相应的问题还可等价改叙为：袋中有m个不同的白球，n个不同的黑球，从中等可能取出 k个球，不观察取出的球，然后再取一球，求最后取得白球的概率”。稍后可以见到，全概率公式，贝叶斯公式对准完备划分也是成立的。2几何概型我们介绍几何概型的目的除去为了加深对概率的公理化定义的理解之外, 有助于对概率问题进行形象思维。还在于指出它为了统一起见，把长度、面积、体

12、积以及n维空间类似物或有限点集中点的个数统称为点集C的测度，并记作L(G),并且将相应点集称为可测集。设复是n维空间的可测集，有非零有PM测度(0L(G)y”如果随机试验E为向C随机投掷点M，且点M在G中均匀分布(它的含义是点 M必 落在Q上，而落在可测集 A的可能性大小与 A的测度成正比，而与 A的形状与位置无关), 则称E为几何概型的随机试验一一就是后来的均匀分布。依上述定义，合情定义事件 A的概率P(A)=L(A)L现在可以看到，概率的公理化定义蕴涵这个意义。例2.9(约会问题)二人约定从0到T时内在某地会面。先到者等候t(0tWT)时后离去，求二人能见面的概率。解这里默认二人独立均匀到

13、达约会地点。令x,y分别表示二人到达约会地点的时刻，则Q：0 xT,0yT,于是约会问题等价于随机向边长为T的正方形Q上均匀投掷点M(x,y),且二人能会面的充要条件为xy|Wt,用A表示事件“二人能见面”，则A=(x,y):|xyEt,因此P(A)=_ 2_2L(A) T -(T-t)L)T2( 如图2-1)注约会问题可抽象为下述问题设两点A,B独立几何型地落在0,T上，试求A与B的距离不超过t(0ctET)的概率。例2.10将长为a的线段随机截为三段，求它们可以构成三角形的概率。解这里默认截取过程是独立几何型的。设所截成三段长分别为x,y,axy5U0 xa,0ya,0axya,且将线段截为三段等价于向正方形Q:0 xa,0ya内均匀投掷点M(x,y),而所截古今名言敏而好学，不耻下问一一孔子业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随一一韩愈兴于诗，立于礼，成于乐一一孔子己所不欲，勿施于人一一孔子读书破万卷，下笔如有神一一杜甫读书有三到，谓心到，眼到，口到一一朱熹书痴者文必工，艺痴者技必良蒲松龄立身以立学为先，立学以读书为本一一欧阳修读万卷书，行万里路一一刘彝黑发不知勤学早，白首方悔读书迟颜真卿书卷多情似故人，晨昏忧乐每相亲于谦书犹药也，善读之可以医愚一一-刘向莫等闲，白了少年头，空悲切一岳飞发奋识遍天下字，立志读尽人间书办