投资风险预测问题

1、作者授权21发布 投资风险预测问题的解决摘要本文通过分析历史数据潜在信息来预测未来风险走势。根据历史数据的统计特性，假设投资活动收益率服从对数正态的前提下提出了预测下一个投资活动周期的收益率的数学模型。然后建立比较普遍化问题的数学模型。考虑到模型的随机偶然性，要用多次模拟得到预测结果，然后对一组结果数据进行统计分析，分析结果数据的统计特性，实现对未来投资活动风险的准确估计。对T=3进行模拟得到准确具体的结果。投资额1000万时，根据数学模型，根据历史数据，预算得：下一周期内损失数额超过10万元的可能性为3.83%置信度为95%保证损失额的最大值为&7188万元要求下一周期损失超过10万元可能性

2、不大于5%,则初始投资额最大值为1147万元。一、问题的分析与解题思路进行投资决策中历史数据对投资决策分析预测下一个投资活动周期的风险情况具有很重要的指导意义。要从数值上实现对投资风险情况的分析预测。由大数定理可知，大样本容量的数据近似服从正态分布。在已知了N二255的样本收益额的情况下，不难对下一个投资活动的收益情况从概率分布上进行分析预测。基于这样的思想要预测第T个周期的数据信息，必须得到前T-1个周期的收益额数据。不难想到，可以随机产生T-1个随机数组成且符合历史数据分布特性的随机向量。作为前T-1个周期内的收益额，并且把这一向量加入历史数据中，这不但减少了随机数的偶然性造成的不准确性，

3、而且同时实现了对下一个值未投资活动的风险预测。为了进一步减少数据的偶然性，不妨使用多次模拟获得结果数据，即可组成一个结果数据的随机向量，借助Matlab软件强大的运算功能方便地实现了数据求解。然后对这一向量作统计得到统计信息，这样就可以比较准确地预测估计未来第T个周期的风险情况。三、具体问题的数学化表述从问题所提供的历史数据中有以下信息：样本容量N二255均值X=7.486标准差二9.852不妨假设数据服从正态分布(其均值卩二X二7.486，方差b2二A2二9.8522)经假设检验样本数据确实服从卩=7.486b2=9.8522的正态分布。在置信度为95%前提下均值的置信区间为6.2713，8

4、.7013标准差的置信区间为9.0647，10.79021(x-卩)2正态分布的密度函数f(x)二一.-e-2b2，分布函数F(x)=Jxf(x)dx根据历史数据所提供的信息卩二7.486b2二9.8522三问题（1）的简单模型及求解px2、在95%的置信度内求损失数额的最大值。即求解：卜f(x)二dt二xe2g2dt二95%解得x二-8.7188即在95%的置信度内求损失数额的最大值为8.7188万元。1、要求下一周期内损失数额超过10万元的可能性，即要求px-10的值:容易得解：3、（1）历史数据转化首先把历史数据作转化，即把收益额转化为收益率。第i天的收益额di，则第i天的收益率r二么，

5、显然，数据r（1i255）服从正态分布。i1000i均值山1000，方差L2)21因此收益率的密度函数f（t）二二-e那么，对于任意的投资额M，收益额M-r,（x-）22L2显然收益额M.r服从正态分布:均值：100075，置信区间:0.0063，0.0087;方差:詐二（亀E二叫置信区间：0.0091，0.0108。1_（t一）2经假设检验，数据高精度服从正态分布，密度函数门x）二心e_（2）、建立数学模型及求解根据题意，要求损失10万元的可能性不大于5%的投入额，即要求p_1ow5%，要求求解卩，满足:f_10f点）dg=5%g即：1(一t)2j_10；-e2l2dt=5%_gt巧2TOC

6、 o 1-5 h zMM&2=(c)2=()2(9.852)210001000M=1000解以上方程，解得M二1147.所以初始投资额小于1147万元时一周期内损失超过10万元的可能性不大于5%。初始投资额决定了下一周期内损失超过10万元可能性不大于5%的概率密度函数的均值和方差。4解决一般化问题的模型把问题一般化，即任意数值的初始投资额M,在保证最大损失不超过L万元的置信度为1-a，并要求分析T个投资活动周期的风险情况。证券投资活动中，在前面的论述中，已经假设收益率r是服从对数正态分布的随机变量，在这一前提条件下，可以通过数学方法来预测下一个投资活动周期的风险，从数值上对风险作出比较准确的估

7、计，这对于投资决策者来说无疑具有重要意义。四函数及变量声明1变量符号声明：样本容量：N。收益率离散型随机变量：r二r,rr，连续型随机变量：r12N样本收益率的均值：卩，标准差：Grr收益额离散型随机变量：d二d,dd，连续型随机变量：d12N样本收益率的均值：卩，标准差：Gdd初始的投资额(单位：万元)：M限定的最大损失额：L预测的周期数：T初始投资额为M，限定最大损失额为L的置信度：1-a2函数意义声明：样本收益率的密度函数：f(r)；样本收益额的密度函数：g(d)；样本收益率的概率累积函数：F(r)；样本收益额的概率累积函数：G(d)；样本数据X的平均值：mean(X)；样本数据X的标准

8、差：std(X)；均值为卩方差为b的正态分布：N(RQ2)；均值为卩方差为b的对数正态分布：LogNgQ2)；样本数据X和样本数据Y合并：XY；例如：X二1,2,3Y二4,5，贝U：XY二1,2,3,4,5；五1模型的理论基础以及相关推论的证明相关文献资料表明1，2证券投资活动中，收益率r二r,r,r(其中N为样12N本容量)作为随机变量并非服从正态分布，而是服从对数正态分布。即rLog(N32)所以，关于收益率r的概略密度函数为：f(r)二(lnre-2b21(lnr一卩)其概略累积分布函数：F(r)二Jrf(r)dr二Jre_2b2drggJ2兀br在此基础上，我们容易得到以下结论：推论：

9、如果随机变量XLogN(P,b2)，则有：C-X口C-LogN(卩+InCQ2),其中C为常数。Y证明：设Y二CX，即X二CX口LogN(RQ2)，也就是：一口LogN(卩Q2)C随机变量X的分布密度函数：(ln(-卩)2ie22兀cC卩nY(InC+卩)卩e2C22兀cY所以，Cf(Y)=C1L)=1a；*这里：W(r*)表示收益额的密度函数，是连续型随机变量。显然W(r*)=f(r*)M由于f(r*)为对数正态分布密度函数，由前面的推论，在M值恒定条件下，W(r)为对数正态分布密度函数。1(1r*-卩*2f(r*)=e2c22kc*r*d*1000,d*=dd,d为历史样本数据，即d二d,

10、d12d；d为T-1个255TOC o 1-5 h z服从与d相同分布性质的随机数，样本容量为T-1，即d二d,dd。12T-1卩*=mean(r*)；c*=std(r*)所以，表达式(*)具体可写为：(lnr*p*)2e2c2dtn1exr*f1严M=一l-c*r*=r,rr,r,rr1225512T1卩=mean(r*)c=std(r*)只要已知表达式(*)中M,T,x的两者，就可以求解第三者。由于d=d,dd是随机产生的，个别的事例具有极大的偶然性，所以所得12T1结果的参考价值不高。为了得到比较准确的解，根据模型的映射关系，采用多次模拟得到随机的解向量，然后对这这一向量作统计分析，从而

11、得到较有参考意义的解数据。(文中附录部分是下两个投资活动周期的模拟结果数据)3数学模型的结论数学模型的结论结论1在初始投资额为1000万元，下一个周期的损失额为10万元概率xi(1i100)的数据分布情况和符合其统计特性的连续密度分布情况如图所示结论2在初始投资额为1000万元，下一个周期以95%的置信度的最大损失额0i1i100)的数据分布情况和符合其统计特性的连续密度分布情况如图结论3下一周期损失额为10万元的可能性不大于5%的初始投资额X(1i100)i的数据分布情况和符合其统计特性的连续密度分布情况如图。4100次模拟的数据结果用来对T二3的风险预测分析根据6.2推导出100次结果是数

12、据随机变量,p,X(1i100)近似服从正态分布，iii它们的的数据分布情况和符合起统计特性的连续密度分布规律在6.2的三个推论中已经详细严密的推理并且得出明确的结论。根据这三个结论容易从数据上对第三个投资活动周期的风险情况作出估计分析。结论：初始投资额为1000万元，第三个投资活动周期的损失额为10万元概率出现在区间0.0379,0.0383内的概率为95%；初始投资额为1000万元，下一个周期以95%的置信度的最大损失额出现在-8.7872,-8.7142内的概率为95%；初始投资额为1000万元，第三个投资活动周期损失额为10万元的可能性不大于5%的初始投资额出现在区间1143.5,11

13、内4的概率为95%。六.模型评价分析不同人分析同一问题所做的模型不同原因在于对历史数据信息挖掘的角度不同，正确分析历史数据成为建立模型的前提。对于本问题也有人认为投资收益率作为随机变量服从正态分布，这是一中常规的理解，有基于此所作的对未来风险预测对决策者也有一定的指导价值。模型的正确与否有待于事实的验证或者是理论上的推理证明等等来判断。成熟经典的数学模型需要在生产实践中不断进行改进和完善。另外，建立模型的原理方法极大程度上地依赖于求解模型的运算能力，所以说同一个数学问题由处于不同时代的人去解决，所作的模型方法是完全不一样的，这是因为计算机技术水平决定了运算能力。计算机技术相对发达的现在，运算能力强大为理论推导和证明大大减少了工作量，很多问题可以由计算机模拟来实现对理论