2011届数学高考复习全套精品课件：第05单元第2节 同角三角函数的基本关系与诱导公式

1、第二节 同角三角函数的根本关系与诱导公式根底梳理1. 同角三角函数根本关系式1平方关系： ;(2)商数关系：即同一个角的正弦、余弦的 等于1， 等于角的正切.2. 商数关系 成立的角的取值范围是平方和商sin2+cos2=12021届高考迎考复习更多资源请点击： :/高中教学网3. 诱导公式(1)公式一sin(+k2)= sin ,cos(+k2)= cos ,tan(+k2)= tan , 其中kZ.(2)公式二sin(-)= -sin ,cos(-)= cos ,tan(-)= -tan .(3)公式三sin(-)= sin ,cos(-)= -cos ,tan(-)= -tan .(4)

2、公式四sin(+)= -sin ,cos(+)= -cos ,tan(+)= tan .(5)公式五(6)公式六即+k2(kZ),-,的三角函数值，等于的 函数值，前面加上一个把看成 时原函数值的符号； 的正弦余弦函数值，分别等于的 函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号.4. 必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角. 角030456090120150180270 角的弧度数0sin 010-1cos 10-10tan 01不存在0不存在同名锐角余弦正弦题型一 三角函数式的求值【例1】分析 由cos 求sin ,可利用公式sin2+cos2=1,同时要注意象限的划分

3、.典例分析解 0,是第二或第三象限角.假设是第二象限角，那么sin 0,tan 0,假设是第三象限角，那么sin 0,tan 0,学后反思 (1)掌握常用的勾股数组：“3,4,5;“5,12,13;“8,15,17.(2)要根据问题的需要对公式sin2+cos2=1进行变形及1的代换，即sin2=1-cos2,cos2=1-sin2,1=sin2+cos2.(3)根据一个角的正弦、余弦、正切中的一个值求其余两个值(可简称为“知一求二)时,要注意由于这个角所在象限的情况不同,从而可能出现一组或两组结果:如果三者之中其一的具体值且角所在的象限也已指定,那么只有一组结果;如果三者之中其一的具体值但未

4、指定角所在的象限,那么要按角所在的象限进行讨论,这时一般有两组结果.举一反三1. sin(-)-cos(+)= ,求以下各式的值：1sin -cos ;(2) .解析: 由sin(-)-cos(+)= ,得sin+cos= .将两边平方，得1+2sincos= ,2sincos=- .又 ,sin0,cos0.(1) =1-2sincos= ,sin-cos= .(2)题型二 三角函数式的化简【例2】化简：分析 化简上式，要认真观察“角，显然需利用诱导公式，注意诱导公式的合理选用.解 方法一：方法二：学后反思 当角中含有 , ,2加减某个角时，要考虑用诱导公式进行化简.1诱导公式应用原那么是：

5、负化正、大化小、化到锐角为终了.22-可以化为+(-),也可以化为2+(-),-可以化为-(+),也可以化为-2+(-).举一反三2. 化简 题型三 三角函数恒等变形中的分类讨论思想【例3】化简：分析 化简时注意观察题设中的角出现了k,需讨论k是奇数还是偶数. 解析： 原式 解当k=2n(nZ)时，当k=2n+1(nZ)时， 综上，原式=-1.学后反思 对角中含有k的三角函数化简时，要对k分为偶数和奇数进行讨论：k为偶数时，参照2进行化简;k为奇数时，去掉偶数倍的后，参照进行化简.3. 求证： ,kZ.举一反三证明： 假设k是偶数，即k=2n(nZ)，那么左边= ;假设k是奇数，即k=2n+1

6、(nZ)，那么左边= .原式成立.题型四 三角函数公式在解三角形中的应用【例4】(14分)在ABC中，假设求ABC的三个内角.分析 由诱导公式可化简得sin A= sin B, cos A= cos B,进而由sin2A+cos2A=1可求出角A，进一步即可求出角B和角C.解由得 sin A= sin B, cos A= cos B，2 两式平方相加,得 ，6 10 学后反思 在ABC中，A+B+C=,2A+2B+2C=2, sin(A+B)=sin(-C)=sin C,cos(A+B)=cos(-C)=-cos C,tan(A+B)=tan(-C)=-tan C.以上结论要牢记，另外要注意“

7、三角形这一条件的限制作用.举一反三4. 在锐角三角形ABC中，求证：sin A+sin B+sin Ccos A+cos B+cos C.12 14 证明 :ABC是锐角三角形，A+B ,即 A -B0,sin Asin( -B),即sin Acos B;同理sin Bcos C,sin Ccos A,sin A+sin B+sin Ccos A+cos B+cos C.易错警示【例】(2021曲阜月考)直线l的倾斜角是，且 ,那么直线l的斜率k=_错解 因为直线l的倾斜角是,所以0,),又因为 ,sin2+cos2=1,所以 .于是l的斜率错解分析 在解答此题时，考生很容易因无视倾斜角的取值

8、范围，不注意对进行分类讨论，而只得到 的错误结果.因此在解决此类问题中，一定要养成全面考虑、分析问题的习惯.正解 因为直线l的倾斜角是，所以0,),又因为sin = ,sin2+cos2=1,所以于是l的斜率考点演练10. sin(3+)= ,求 的值.解析: sin(3+)= ,sin =- ,原式11. (2021扬州模拟)sin +cos = ,(0,),求tan 的值.解析：方法一：sin +cos = ,两边平方,得(sin +cos )2=1+2sin cos = 2sin cos = 又(0,),sin 0,又sin cos 0,cos 0, ,且sin -cos 0,由解得sin = ,cos = ,tan =sin cos = 方法二：联立方程,由得cos = -sin ,代入,得整理,得25sin2-5sin -12=0,解得sin = 或sin = (0,),sin 0,sin = 12 . 在ABC中，角A,B,C的对边分别为a，b，c，tan C= (1)求cos C; (2)假设CBCA= ,且a+b=9,求