2012学案与评测数学高三一轮复习课件苏教版：第9单元 第五节　圆锥曲线的综合应用

1、第五节圆锥曲线的综合应用圆锥曲线的统一定义：平面内到_是圆锥曲线，当_时，轨迹是椭圆；当_时，轨迹是双曲线；当_时，轨迹表示抛物线，定点F是圆锥曲线的一个_，定直线l是该圆锥曲线与焦点F同侧的一条_根底梳理l上)的距离的比等于常数e的点的轨迹一定点F和到一条定直线l(定点F不在定直线0e1 e=1 焦点 准线 2. 如果曲线C上点的坐标(x，y)都是方程f(x，y)0的解，并且以方程f(x，y)0的解(x，y)为坐标的点都在曲线C上，那么，方程_叫做曲线C的方程，曲线C叫做方程_的曲线f(x，y)=0 f(x，y)=0 3. 求曲线方程的一般步骤有_；求曲线方程的常见方法有_ 建坐标系、设点、

2、列式、化简、证明(可省略) 直译法、定义法、相关点法、待定系数法4. 方程组的解与曲线的交点坐标之间具有对应关系，即方程组有几组不同的实数解，两条曲线就有_；反之，亦成立，这是_思想的应用几个公共点 数形结合 1.抛物线y210 x的焦点到准线的距离是_根底达标解析：焦点到准线的距离是p=5. 5 2. 双曲线 左支上一点P到左焦点的距离为4，那么P点到左准线的距离为_解析：设P点到左准线的距离为d，应用圆锥曲线的统一定义得 =e=2，解得d=2. 2 3. (选修21P52练习1改编)点P到直线l：2xy1的距离与到点F(1,1)的距离之比为m，假设点P的轨迹是椭圆，那么实数m的取值范围是_

3、(1，+) 解析：由圆锥曲线的统一定义知e= (0,1)，解得m1.4. (选修21P62练习2改编)曲线 与曲线x2y2r2(r0)有两个公共点，那么r的值为_解析：当r=a或r=b时恰有2个公共点，即r= 或2. 5. 设P为双曲线 y21上一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，那么点M的轨迹方程是_解析：设P(x0，y0)，M(x，y)，x= ，y= ，2x=x0,2y=y0， -4y2=1，即x2-4y2=1. x2-4y2=1 【例1】定点A(2， )，F是椭圆 的右焦点，在椭圆上求一点M，使AM2MF取得最小值，并求此时M点的坐标题型一圆锥曲线的定义、标准方程及其几何性质的综合

4、应用分析：点A在椭圆内部，利用圆锥曲线的统一定义将M点到焦点的距离转化为到相应准线的距离，再利用数形结合的方法求解经典例题解：椭圆 + =1中，a=4，c=2，e= ，记点 M到右准线的距离为MN，则 =e= ，MN=2MF，即AM+2MF=AM+MN，又点A在椭圆内部，故当A，M，N同时在垂直于右准线的一条直线上时，AM+2MF取得最小值，此时My=Ay= ，代入到 + =1得Mx=2 ，而点M在第一象限，M(2 ， 变式11点P为抛物线y24x上的动点，点F为抛物线的焦点，M(2,1)，求使PFPM取得最小值时的P点坐标解：容易判断点M(2,1)在抛物线内部，过点P向抛物线的准线x=-1作

5、垂线，垂足为Q，由抛物线的定义知PQ=PF，则PF+PM=PQ+PM，只要Q、P、M三点共线，PF+PM就取得最小值，所以所求P点坐标为 【例2】一动圆C与定圆A：x2y26x910相切，且圆C过点B(3,0)，求动圆圆心C的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线题型二有关动点的轨迹和轨迹方程的求解问题分析：根据题意判断两圆相内切还是外切，再利用两圆相切的充要条件建立等式，根据定义法确定曲线的类型，并写出曲线方程解：设动圆圆心为C(x，y)，半径为r，将圆A的方程配方得：(x-3)2+y2=100，由于点B(-3,0)在圆A的内部，故动圆C与定圆A内切，且动圆C在定圆A的内部，所以CA=10-r，C

6、B=r，两式的两边分别相加，得CA+CB=10，由椭圆定义知点C的轨迹是焦点为A(3,0)、B(-3,0)，长轴长等于10的椭圆，并且椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，2c=6,2a=10，c=3，a=5，b2=25-9=16，圆心C轨迹方程为 + =1，轨迹是椭圆变式21例2中的问题假设改为：点P在定圆O的圆内或圆上，动圆C过点P且与定圆O相切，讨论动圆C的圆心的轨迹形状，情况怎样呢？解：由于点P的位置不同，动圆C的圆心会有不同的轨迹形状，所以要分几种情况讨论设定圆O的半径为R，动圆C的半径为r.若点P与O重合(如图1)，动圆C的圆心的轨迹是以O为圆心， R为半径的圆；若点P在圆O内且与O

7、不重合(如图2)，则CP=r，CO=R-r，所以CP+CO=ROP，所以动圆C的圆心的轨迹是以O、P为焦点，R为长轴长的椭圆；若点P在圆O上(如图3)，则动圆C的圆心的轨迹是直线OP(除去点O和点P)图1 图2 图3【例3】(2021福建)抛物线C：y22px(p0)过点A (1 , 2)(1)求抛物线C 的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于？假设存在，求直线l的方程；假设不存在，说明理由题型三有关直线与圆锥曲线的位置关系的问题分析：将点A的坐标代入抛物线方程求出p的值；关于探索是否存在的问题，一般是先

8、假设存在，设出方程，与抛物线联立，将图象有公共点的问题转化为二次方程有解问题，再利用平行线间的距离公式求解 解：(1)将点A (1 , -2)代入抛物线C：y2=2px(p0)，解得p=2，所求抛物线C的方程为y2=4x，准线方程为x=-1.(2)假设存在适合题意的直线l，设其方程为y=-2x+t，由 得y2+2y-2t=0，直线l与抛物线C有公共点，D=4+8t0，解得t- .又直线OA与l的距离等于 ， = ，解得t=1.-1 ，1 ，存在适合题意的直线l，其方程为y=-2x+1.【例4】椭圆1(ab0)上存在一点M，它到左焦点的距离是它到右准线距离的两倍，求椭圆离心率的最小值题型四有关圆

9、锥曲线的最值和范围问题分析：利用圆锥曲线的统一定义将点M到左焦点的距离和到右准线的距离用同一变量表示，由题意建立方程，再利用椭圆的几何性质建立不等式求解解：设点M到左准线的距离为d，椭圆离心率为e，那么由圆锥曲线统一定义知点M到左焦点的距离为ed，那么M点到右准线的距离为 ，所以 +d= ，解得d= ，解得 eb0)的右焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60， .(1)求椭圆C的离心率；(2)如果AB ，求椭圆C的方程题型五有关圆锥曲线与向量等其它知识的综合问题分析：将向量转化为坐标运算，建立方程求解；利用弦长公式建立方程，与离心率联立成方程组求解解：设A(x1，

10、y1)，B(x2，y2)，由题意知y10，y20.(1)直线l的方程为y= (x-c)，其中c= .联立得(3a2+b2)y2+2b2cy-3b4=0，解得y1= ，y2= .因为 ，所以 ,即 所以离心率为e=(2)因为AB= |y2-y1|，所以 = .由 = 得b= a，所以 a= ，得a=3，b= ，椭圆C的方程为 + =1.(2021北京)椭圆C的左、右焦点坐标分别是( ，0)，( ，0)，离心率是 ，直线yt与椭圆C交于不同的两点M，N，以线段MN为直径作圆P，圆心为P.(1)求椭圆C的方程；(2)假设圆P与x轴相切，求圆心P的坐标；(3)设Q(x，y)是圆P上的动点，当t变化时，求y的最大值知识准备：1. 知道椭圆离心率的计算公式及根本量a，b，c之间的关系；2. 知道直线与圆相切的条件；3. 会三角换元和辅助角公式链接高考解：(1) = ，且c= ，a= ，b= = 1，椭圆C的方程为 +y2=1.(2)由题意知P(0，t)(-