2022年全等三角形第讲全等三角形与旋转问题教师版

1、第四讲全等三角形与旋转问题中考要求板块A 级要求考试要求C级要求B级要求全等三角形会识别全等三角形掌握全等三角形的概念、判定和性质，会运用全等三角形的性的性质及判会用全等三角形的性质和判定解决简质和判定解决有关问题定单问题知识点睛基本知识把图形 G 绕平面上的一个定点 O 旋转一个角度，得到图形 G ，这样的由图形 G 到 G 变换叫做旋转变换，点 O 叫做旋转中心，叫做旋转角，G 叫做 G 的象； G 叫做 G 的原象，无论是什么图形，在旋转变换下，象与原象是全等形很明显，旋转变换具有以下基本性质：旋转变换的对应点到旋转中心的距离相等；对应直线的交角等于旋转角旋转变换多用在等腰三角形、正三角

2、形、正方形等较规则的图形上，其功能还是把分散的条件盯对集中，以便于诸条件的综合与推演重、难点重点： 本节的重点是全等三角形的概念和性质以及判定，全等三角形的性质是以后 证明三角形问题的基础，也是学好全章的关键。同时全等三角形的判定也是 本章的重点，特别是几种判定方法，尤其是当在直角三角形中时，HL的判定 是整个直角三角形的重点难点： 本节的难点是全等三角形性质和判定定理的灵活应用。为了能熟练的应用性 质定理及其推论， 要把性质定理和推论的条件和结论弄清楚，哪几个是条件，决定哪个结论，如何用数学符号表示，即书写格式，都要在讲练中反复强化例题精讲【例 1】 如图，有四个图案，它们绕中心旋转一定的角

3、度后，都能和原来的图案相互重合，其中有一个图案与其余三个图案旋转的角度不同，它是( )【解析】 A【例 2】 如图，同学们曾玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的，其中菱形AEFG 可以看成是把菱形 ABCD 以 A 为中心 ( )GFA顺时针旋转60 得到B顺时针旋转120 得到C逆时针旋转60 得到D逆时针旋转120 得到AEBDC【解析】 D【例 3】 已知：如图，点C 为线段 AB 上一点，ACM 、CBN 是等边三角形求证：ANBM N【解析】 ACM 、CBN 是等边三角形，MCBAMFEBDC MCAC ， CNCB ，ACNACNMCB， ANBM【点评】此题放在例题之前

4、回忆，此题是旋转中的基本图形【例 4】 如图， C 是线段 BD 上一点，分别以BC、CD 为边在 BD 同侧作等边 ABC 和等边 CDE,AD 交 CE于 F， BE 交 AC 于 G，则图中可通过旋转而相互得到的三角形对数有( )A1 对B2 对C3 对D4 对EBAGKFDC【解析】 C【补充】已知：如图，点C 为线段 AB 上一点，ACM 、CBN 是等边三角形求证：CF 平分AFBNFH NMFMDED GEACBACB【解析】 过点 C 作 CGAN 于 G ， CHBM 于 H ，由ACNMCB，利用 AAS 进而再证BCHNCD，可得到 CGCH ，故 CF 平分AFB 【补

5、充】如图，点C 为线段 AB 上一点，ACM 、CBN 是等边三角形请你证明： AN BM ； DEAB； CF 平分 AFB NAMFEBDC【解析】 此图是旋转中的基本图形其中蕴含了许多等量关系MCN 60 与三角形各内角相等，及平行线所形成的内错角及同位角相等；全等三角形推导出来的对应角相等推到而得的：AFC BFC ；AN BM ， CD CE ， AD ME ， ND BE ；AMCN， CMBN； DEABACNMCB，ADCMCE，NDCBEC；DEC 为等边三角形ACM 、CBN 是等边三角形， MC AC ， CN CB ，ACN MCBACNMCB， AN BM由 ACNM

6、CB 易推得 NDCBEC，所以 CD CE ，又 MCN 60，进而可得 DEC 为等边三角形易得 DEAB过点 C 作 CG AN 于 G ， CH BM 于 H ，由 ACNMCB，利用 AAS 进而再证 BCHNCD，可得 AFC BFC ，故 CF 平分 AFB 【例 5】 如图， B ， C ， E 三点共线，且 ABC 与 DCE 是等边三角形，连结 BD，AE分别交 AC ， DC 于M ， N 点求证： CM CN ADBMNCE【解析】 ABC 与DCE 都是等边三角形AE 、 CG 求证： BCAC ， CDCE 及ACBDCE60 B ， C ， E 三点共线BCDDC

7、E180，BCAACE180BCDACE120在BCD与ACE中BCACBCDACEBCDACE，DCECCANCBMBCDACE120，BCMNCE60ACD60在BCM 与ACN 中BCACBCMACN60BCMACN， CMCN CBMCAN【例 6】 (怀化市初中毕业学业考试试卷) 如图，四边形ABCD 、 DEFG 都是正方形，连接AECG G FABD)E【解析】 ADCEDGCABC 和CDGADE在CDG 和ADE 中CDADCDGADECDGADE AECGDGDE【补充】( 2008 年全国初中数学竞赛海南区初赛) 如下图，在线段AE同侧作两个等边三角形CDE (ACE12

8、0 ) ，点 P 与点 M 分别是线段BE 和 AD 的中点，则CPM 是(BC DPMAEM 为线CM 且，A钝角三角形B直角三角形C等边三角形D非等腰三角形【解析】 易得ACDBCE所以BCE 可以看成是ACD 绕着点 C 顺时针旋转60 而得到的又段 AD 中点， P 为线段 BE 中点，故 CP 就是 CM 绕着点 C 顺时针旋转 60 而得所以 CPPCM60 ，故CPM 是等边三角形，选C【例 7】 如图，等边三角形ABC 与等边DEC 共顶点于 C 点求证：AEBD AED【解析】 ABC 是等边三角形，ACB60， ACBC EC BCDBACECBCDDCA60，同理ACED

9、CA60， DC在BCD 与ACE 中 ，AEBCACBCDACEBCDACE， BDDCEC【例 8】 如图，点 C 为线段 AB 上一点，ACM 、CBN 是等边三角形，D 是 AN 中点， E 是 BM 中点，求证：CDE 是等边三角形NM DEA C B【解析】 ACNMCB， AN BM ，ABM ANC又 D 、 E 分别是 AN 、 BM 的中点，BCENCD， CE CD ，BCE NCDDCE NCD NCE BCE NCE NCB 60CDE 是等边三角形【例 9】 如图， D 是等边 ABC 内的一点，且 BD AD ， BP AB ，DBP DBC ，问 BPD 的度数

10、是否一定，若一定，求它的度数；若不一定，说明理由A AP PDDB C B C【解析】 连 接 CD ， 将 条 件 B D A D， BP AB 这 两 个 条 件 ， 易 得 A C DB C D ( SSS ) ， 得BCD ACD 1ACB 30， 由 B P A B B C，DBP DBC ， BD BD ( 公 共 边 ) ， 知2B D PBD C ( SAS) ，BPD BCD 30故 BPD 的度数是定值【例 10】( 四川省中考题 ) 如图，等腰直角三角形 ABC 中，B 90，AB a ，O 为 AC 中点， EO OF 求证： BE BF为定值A AE O E O14

11、2 3B F C B F C【解析】 连结 OB 由上可知，1 2 90，23 90，1 3，而4 C 45， OB OC OBEOCF， BE FC ， BE BF CF BF BC a 【补充】如图，正方形 OGHK 绕正方形 ABCD 中点 O 旋转，其交点为 E 、 F ，求证： AE CF AB GA13ODE45HB2FCK【解析】 正方形 ABCD 中，1245， OAOBF 是 CB 的延长线上一点，且D而3490，45903 ，AOEBOF AEBF ， AEFCBFFCBCAB【例 11】( 2004 河北 ) 如图，已知点E 是正方形ABCD 的边 CD 上一点，点EAA

12、F 求证： DEBF AEF B C【解析】 证明：因为四边形 ABCD 是正方形，所以 AB AD ，BAD ADE ABF 90因为 EA AF ，所以 BAF BAE BAE DAE 90，所以BAF DAE，故Rt ABFRt ADE，故 DE BF 【补充】如图所示，在四边形 ABCD 中，ADC ABC 90， AD CD ， DP AB 于 P ，若四边形 ABCD的面积是 16，求 DP 的长D D EC CA P B A P B【解析】 如图，过点 D 作 DE DP ，延长 BC 交 DE 于点 E ，容易证得 ADPCDE ( 实际上就是把 ADP逆时针旋转 90 ，得到

13、正方形 DPBE ) 正方形 DPBE 的面积等于四边形 ABCD 面积为 16 ，DP 4【例 12】( 1997 年安徽省初中数学竞赛题 ) 在等腰 Rt ABC 的斜边 AB 上取两点 M 、 N ，使 MCN 45，记AM m ， MN x ， BN n ，则以 x、 m 、 n 为边长的三角形的形状是 ( )A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D随 x、 m 、 n 的变化而变化C CDA M N B A M N B【解析】 如图，将 CBN 绕点 C 顺时针旋转 90 ，得 CAD ，连结 MD ，则 AD BN n ， CD CN ，ACDBCN，MCDACMACD ACMB

14、CN 90 45 45 MCN MDCMNC， MD MN x2 2 2又易得 DAM 45 45 90，在 Rt AMD 中，有 m n x ，故应选 ( B)【巩固】如图，正方形 ABCD 的边长为 1，点 F 在线段 CD 上运动， AE 平分 BAF交 BC 边于点E求证： AF DF BE 设 DF x ( 0 x ) ，ADF 与 ABE 的面积和 S 是否存在最大值？若存在，求出此时 x的值及S 若不存在，请说明理由ADGAEDFBF【解析】 证明：如图，延长 CB 至点 G ，使得 BGB EDF ，连结 AG CC因为 ABCD 是正方形，所以在Rt ADF 和 Rt ABG

15、 中， ADAB，ADFABG90 ， DFBG RtADFRtABG(SAS)， AFAG ，DAFBAG 又 AE 是BAF 的平分线EAFBAE，DAFEAFBAGBAE 即EADGAE ADBC，GEAEAD ，GEAGAE ， AGGE 即 AGBGBE AFBGBE ，得证SSADFSABE1DFAD1BE AB 22ADAB1，S 1DF2由 知， AFBEBE，DF所以S1AF 2在 Rt ADF 中，AD1， DFx ，AFx21，S1x21EF ， H 为垂足，求证：2由上式可知，当2x 达到最大值时，S 最大而 0 x ，所以，当x1时，S 最大值为1x211222【例

16、13】 E 、 F 分别是正方形ABCD 的边 BC 、 CD 上的点，且EAF45， AHAHAB ADADF HF HBECGBEC【解析】 延长 CB 至 G ，使 BGDF ，连结 AG ，易证ABGADF，BAGDAF， AGAF 再证AEGAEF，全等三角形的对应高相等( 利用三角形全等可证得) ，则有 AHAB 【例 14】( 通州区 2009 一模第 25 题 ) 请阅读下列材料：已知：如图1 在 Rt ABC 中，BAC90， ABAC ，点 D 、 E 分别为线段BC 上两动点，若DAE45探究线段BD 、 DE 、 EC 三条线段之间的数量关系小明的思路是：把AEC 绕点

17、 A 顺时针旋转90 ，得到ABE ，连结 E D ，使问题得到解决请你参考小明的思路探究并解决下列问题： 猜想 BD、 DE 、 EC 三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明； 当动点 E 在线段 BC 上，动点 D 运动在线段 CB 延长线上时，如图 2，其它条件不变，中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明A AB D E C D B E C图 1 图2【解析】 DE2BD2EC2E AB证明：根据AEC 绕点 A 顺时针旋转 90 得到ABEAECABE BEEC ， AEAE ，CABE ，EAC在 Rt ABC 中 ABACABCACB45ABCABE90即E

18、 BD90E B2BD2E D2又DAE45BADEAC45FBEACE ABBAD45即E AD45AED DE DEAEDDE2BD2EC2AEBDECD 关系式DE2 2 2BD EC 仍然成立ADB 沿直线 AD 对折，得AFD ，连 FEDAB证明：将AFDABD AFAB ， FDDBFADBAD ，AFDABD又 ABAC ， AFACFAEFADDAEFAD45EACBACBAE90DAEDAB45FAEEAC又 AEAEAFEACE FEEC ，AFEACE45AFDABD180ABC135DFEAFDAFE1354590在 Rt DFE 中2 2 2 2 2 2DF FE

19、DE 即 DE BD EC【补充】 ( 1) 如图，在四边形 ABCD 中， ABAD，BD 90 ，E、F 分别是边 BC、CD 上的点，且EAF= 1BAD求证： EFBE FD ;2ADFB E C( 2) 如图 ，在四边形 ABCD 中， ABAD，B+ D 180 ，E、F 分别是边 BC、CD 上的点，且EAF= 1BAD， ( 1) 中的结论是否仍然成立？不用证明2AB DEFC【解析】 证明：延长 EB 到 G，使 BG=DF ，联结 AGABGABC= D 90 ， ABAD，ABGADFAGAF，1 21 3 2 3 EAF 1 BAD 2 GAE= EAF又 AEAE，A

20、EGAEFEGEFEG=BE+BG EF= BE FD (2) (1) 中的结论 EFBEFD 仍然成立 【例 15】( 北京市数学竞赛试题，天津市数学竞赛试题 )顶角为 120 的等腰三角形，以 D 为顶点作一个AMN 的周长如图所示，ABC 是边长为 1的正三角形，BDC 是60 的 MDN ，点 M 、 N 分别在 AB 、 AC 上，求BMANCBMANCE【解析】 如图所示，延长AC 到 E 使 CEBM DECD90， BMCE ，D在BDM 与CDE 中，因为 BDCD ，MBD所以 BDMCDE，故 MD ED 因为 BDC 120，MDN 60，所以 BDM NDC 60又因

21、为 BDM CDE ，所以 MDN EDN 60在 MND 与 END 中， DN DN ，MDN EDN 60， DM DE，所以 MNDEND，则 NE MN ，所以 AMN 的周长为 2【例 16】在等边 ABC 的两边 AB，AC 所在直线上分别有两点 M，N，D 为 ABC 外一点，且 MDN 60，BDC 120， BD CD ，探究：当点 M，N 分别爱直线 AB，AC 上移动时， BM，NC，MN 之间的数量关系及 AMN 的周长与等边 ABC 的周长 L 的关系如图， 当点 M，N 在边 AB，AC 上，且 DM=DN 时，BM，NC，MN 之间的数量关系式 _；此时Q =_

22、 L如图，当点 M，N 在边 AB，AC 上，且DMDN时，猜想 ( 1) 问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；如图，当点QM，N 分别在边AB，CA 的延长线上时，若AN=x ，则 Q=_( 用 x，L 表示 )【解析】 BM+NC=MN ;2L3( 2) 猜想：仍然成立证明：如图，延长AC 至 E，使 CE=BM ，连接 DEMBDECD SAS )BDCD,且BDC120，DBCDCB30由ABC 是等边三角形，MBDNCD90，DMDE,BDMCDE ，EDNBDCMDN60在MDN 与EDN 中DMDE2ABMDNEDNDNDNMDNEDN SAS )MNNENCBMAMN

23、 的周长 QAMANMN = (AMBM)(ANNC =ABAC而等边ABC 的周长L3ABEF 与 CD 平分Q2L3( 3)2x2L3【例 17】平面上三个正三角形ACF ， ABD， BCE 两两共只有一个顶点，求证：BCEFD A【解析】 连接 DE 与 DFDBA EBC ，BAD CAFDBE ABC ，BAC DAF在 DBE 与 ABC 中DB ABDBE ABCBE BCDBEABC (SAS) DE CA FC在 DFA 与 BCA 中DA BADAF BACAF ACDFABCA (SAS) DF BC EC DECF 为平行四边形， EF ， CD 互相平分【例 18】

24、已知：如图，ABC 、 CDE 、 EHK 都是等边三角形， 且 A 、D 、K 共线， ADDK 求证：HBD也是等边三角形EEKABC 的高，CCBBADKAMDHH【解析】 连结 EB， CECD ， CEEA ， BEAD ，所以 BEAD，并且BE与AD的夹角为 60 ，延长 EB交 AK 于 M ，则EBH360BHDHDEBED300HDMMDEMED180HDM18060MDEMED180HDMHDK 又因为 HKADBE ， BHHD 所以BEHDKH所以 HKHE ，EHDEHDDHKBHE【例 19】( 1997 年安徽省竞赛题) 如图，在ABC 外面作正方形ABEF 与

25、 ACGH ， AD 为其反向延长线交FH 于 M ，求证： ( 1)BHCF;( 2)MFMHFMHEAG【解析】 证明ABH AFC ; ( 2) 作 FPMD于P， HQMD于QBDCACD ，先证BAD ，AFP HAQ ，再证FPM HQM【补充】以 ABC 的两边 AB、AC 为边向外作正方形ABDE、ACFG ，求证： CE=BG ，且 CEBGGE AOFDB C【解析】 易证AECABG，故ACEAGB ，又 ACAG ，AOGBOC ，故 CEBG 【例 20】( 北 京 市 初 二 数 学 竞 赛 试 题 ) 如 图 所 示 ， 在 五 边 形 ABCDE 中 ，B E

26、90，AB CD AE BC DE 1，求此五边形的面积C CB BD DA E A EF【解析】 我们马上就会想到连接 AC 、 AD ，因为其中有两个直角三角形，但又发现直接求各三角形的面积并不容易，至此思路中断我们回到已知条件中去，注意到 BC DE 1，这一条件应当如何利用？联想到在证明线段相等时我们常用的“ 截长补短法”，那么可否把 BC 拼接到 DE 的一端且使 EF BC 呢( 如图所示 ) ？据此，连接 AF ，则发现 ABC AEF ，且 FD 1， AF AC ， AE AB ，ADF 是底、 高各为 1的三角形，其面积为1，而 ACD 与 AFD 全等，从而可知此五边形的

27、面积为 12【例 21】( 希望杯全国数学邀请赛初二第二试试题 ) 在五边形 ABCDE 中，已知 AB AE ， BC DE CD ，ABC AED 180，连接 AD 求证： AD 平分 CDE A AFBEBECDCD【解析】 连接 AC 由于 ABAE，ABCAED180AE ，所以 B 点与 E 点重合，而我们以A 为中心，将ABC 逆时针旋转到AEF 的位置 因 ABAEFAEDABCAED180，AFAC ， EFBC 所以 D 、 E 、 F 在一条直线上 ， C 点旋转后落在点F 的位置，且所以 DFDEEFDEBCCD 在ACD 与AFD 中，因为 ACAF ， CDFD

28、， ADAD ，故ACD AFD，因此ADCADF ，即 AD 平分CDE 家庭作业【习题 1】 如图，已知ABC 和ADE 都是等边三角形，B 、C 、 D 在一条直线上， 试说明 CE 与 ACCD 相等的理由E ABCD【解析】 ACAB ，CAEBAD ， AEADE是正方形ABCD 的边 AB 上任意一点，过AECADB) 已知：如图，点 CEBD又 BDBCCDACCD CEACCD【习题 2】 ( 湖北省黄冈市初中毕业生升学考试点 D 作 DFDE 交 BC 的延长线于点F 求证： DEDF ADEBCF【解析】 ADCEDFA90，AB2，BC3，CD1， E 是 AD 中点，ADECDF在ADE 和CDF 中DAEDCFADCDADECDFADECDF DEDF【习题 3】 ( 2008 山东 ) 在梯形 ABCD 中， ABCD，试判断 EC 与 EB 的位置关系，并写出推理过程BDCFDCEEABA【解析】 延长 BE 交 CD 延长线于点F E是 AD 中点，DEAE，ABCD，A90，EDFEAB90，ABEDFEC