金融工程学：静态合成与线性代数 - 案例

1、从线性代数角度理解静态合成的规律（static synthesizing）三个小案例：1、用零息票债券的合成方案2、用完全不同年限息票债券的合成方案3、用部分相同年限的息票债券合成 1、假设三种到期日不同的零息票债券的面值都为100元，它们的当前市场价格分别为：1年后到期的债券价格为98元，2年后到期的债券价格为96元，3年后到期的债券价格为93元，不考虑交易成本，那么息票率为10每年付息一次的3年期附息票债券的价格是多少？ 思路：Sythesizing需要考虑的三个现金流：第一、二年的利息，和第三年的本金+利息。我们需要用零息票债券复制这三个现金流。 数学方法：假设synthesizing所

2、需一、二、三年期零息票债券数量分别为z1, z2, z3，则可以建立如下线性方程组100*z1=100* 10%100*z2=100*10%100*z3=100*(1+10%)写成矩阵形式，即：Sythesizing的可行性判别：三年期息票债券可以被合成，等价于z1,z2,z3有解。注意到方程左边的矩阵是满秩的（其行列式不等于0）所以，z1,z2,z3必然有解（线性代数的基本结论）。因此，上述合成肯定是可行的此问题数值解非常简单：z1=0.1, z2=0.1, z3=1.1. 2、现在假设有三种到期日不同的息票债券，分别为一年期，二年期，和三年期限，面值都为100元，息票率都为5%。它们的当前

3、市场价格分别为：1年后到期的债券价格为98元，2年后到期的债券价格为96元，3年后到期的债券价格为93元，不考虑交易成本，那么息票率为10每年付息一次的3年期附息票债券的价格是多少？ 思路跟以前一样：Sythesizing需要考虑的三个现金流：第一、二年的利息，和第三年的本金+利息。但我们需要用带息票的债券复制这三个现金流。 数学方法：假设synthesizing所需一、二、三年期息票债券数量分别为z1, z2, z3，则可以建立如下线性方程组105*z1+5*z2+5*z3=100* 10%105*z2+5*z3=100*10%105*z3=100*(1+10%)写成矩阵形式，即：Sythe

4、sizing的可行性判别：三年期息票债券可以被合成，等价于z1,z2,z3有解。注意到方程左边的矩阵是满秩的（其行列式不等于0）所以，z1,z2,z3必然有解（线性代数的基本结论）。因此，上述合成肯定是可行的因为是上三角矩阵，数值解可以从z3开始，初步求解z2和z1：z3=1.048，z2=0.045, z1=0.043 3、假设有三种不同的息票债券，一种为二年期，面值100元，息票率10%，当前市价96元；另外两种为三年期，面值野都为100元，息票率分别为5%和10%，而市场价格则分别为90元和93元，不考虑交易成本，那么息票率为8的3年期附息票债券的价格是多少？ 思路跟以前一样：Sythe

5、sizing需要考虑的三个现金流：第一、二年的利息，和第三年的本金+利息。我们也需要用带息票的债券复制这三个现金流。关键是相应的线性方程怎么建立？ 数学方法：假设synthesizing所需二年期10%、三年期5%、和三年期10%息票债券数量分别为z1, z2, z3，则可以建立如下线性方程组10*z1+5*z2+10*z3=100* 8%110*z1+5*z2+10*z3=100*8%105*z2+110*z3=100*(1+8%)写成矩阵形式，即：Sythesizing的可行性判别：三年期息票债券可以被合成，等价于z1,z2,z3有解。注意到方程左边的矩阵是满秩的（其行列式不等于0）所以，

6、z1,z2,z3必然有解（线性代数的基本结论）。因此，上述合成肯定是可行的因为是上三角矩阵，数值解可以从z3开始，初步求解z2和z1：z3=1.048，z2=0.045, z1=0.043总体思路：1现金流匹配的线性方程3个现金流，至少需要3个债券2合成，或复制的可行性等价于线性方程解的存在性3满秩，是解存在的一般性原则但其他特殊解也可能存在值得思考的问题如果给定的是三个不同息票率的三年期债券，是否能用这三个债券合成任意其他三年期债券？比如：给定息票率分别为5%，7%，10%的三年期息票债券价格（分别为90元,93元,95元，票面价格都为100元），那么能否通过无套利原理算出8%的三年期息票债券价格？如果我们按照以前的思路： 可合成，等价于 下述线性方程有解但是显然所以该线性方程可能无解（只在特殊情况有解）然而，对于5%,7%,10%的三年期息票债券，是可以合成8%的三年期息票债券的：也就是说0.31个5%,0.15个7%，加上0.54个10%的三年期息票债券Why?解释：如果全部是三年期息票债券，虽然有三个现金流，但实际上只有两个变量！我们只需要考虑1、前两年利息多少(z1)2、最后一年本息共计多少(z2)所以方程应该这样列：这个方程是满秩的：所以，两个不同息票率的三年期息票债券，就足以复制另外一个三年期息票债券。更进一步的说明：关于三个三年期息票债券，之前那个三阶