中学生数学符号感的培养(共11页)

1、目录(ml) TOC o 1-3 h z u HYPERLINK l _Toc374387445 摘要(zhiyo) PAGEREF _Toc374387445 h 2 HYPERLINK l _Toc374387446 关键词 PAGEREF _Toc374387446 h 2 HYPERLINK l _Toc374387447 1 数学符号(fho)的释义 PAGEREF _Toc374387447 h 2 HYPERLINK l _Toc374387448 1.1数学符号的三种解释 PAGEREF _Toc374387448 h 2 HYPERLINK l _Toc374387449 1

2、.2数学符号的分类 PAGEREF _Toc374387449 h 3 HYPERLINK l _Toc374387450 1.3数学符号的特征 PAGEREF _Toc374387450 h 5 HYPERLINK l _Toc374387451 1.4数学符号的功能 PAGEREF _Toc374387451 h 6 HYPERLINK l _Toc374387452 2 数学符号感的培养 PAGEREF _Toc374387452 h 7 HYPERLINK l _Toc374387453 2.1充分利用学生已有的生活经验 PAGEREF _Toc374387453 h 7 HYPERL

3、INK l _Toc374387454 2.2充分挖掘符号的暗示功能 PAGEREF _Toc374387454 h 8 HYPERLINK l _Toc374387455 2.3加强数学符号间的转换训练 PAGEREF _Toc374387455 h 8 HYPERLINK l _Toc374387456 2.4重视师生之间、学生之间的符号语言交流 PAGEREF _Toc374387456 h 8 HYPERLINK l _Toc374387457 2.5对数学符号运算进行必要的训练 PAGEREF _Toc374387457 h 9 HYPERLINK l _Toc374387458 2

4、.6重视对符号的涵义和实质的分析 PAGEREF _Toc374387458 h 9 HYPERLINK l _Toc374387459 2.7对学生学习符号可能存在的困难要有清醒的认识 PAGEREF _Toc374387459 h 9 HYPERLINK l _Toc374387460 参考文献 PAGEREF _Toc374387460 h 10中学生数学符号感的培养夏晓丹 学号：20101101890数学科学学院(xuyun) 数学与应用数学专业2010级汉一班 指导老师 刘官厅(guntng)摘要(zhiyo)：数学学习实质上是数学符号的学习，教师在教学实践中要让学生理解数学符号意义

5、。数学符号最显著的特征是形式的简单性、内涵的精确性、应用上的可操作性以及使用上的统一性。有效的数学教学必须在明白数学符号的学习价值的基础上进行教学。数学符号学习要符合学生的心里发展水平基础上组织课堂教学，根据数学符号的本真意义采取恰当的教学策略。关键词：数学符号 释义 分类 特征 功能1 数学符号的释义1.1数学符号的三种解释 (1)狭义数学符号。狭义数学符号是指“有一定数学含义的专用标记”,主要指“中国数学物理名词委员会”审定的数学物理符号表中的数学符号,比如“=”、“ + ”、“-”、“ ”等。这种数学符号数量非常有限,而且都有严格规定。数学辞海第一至五卷正文之后的数学符号表中列出了数学物

6、理符号表中的全部数学符号及国内外数学界已普遍使用的数学符号,总共1158个。现代常用的数学符号仅有200多个,在中小学数学教材中常用的的数学符号只有几十个。 (2)中义数学符号。中义数学符号是指“用以表示数学概念、数学关系等的符号和记号” 或者“在数学文献中用以表示数学概念、数学关系等的符号和记号”,主要指得是用来表达数学对象的数学符号及其组合,它不仅包括狭义的数学符号,而且还包括它们的一些特定的符号组合,比如表示函数的符号“”就是由，三个狭义的数学符号组成的。这种数学符号是经过严格定义的,其数量总体上具有无限性,会随着数学的发展不断增加,但在数学教育或数学基础教育中的数量是有限的,它们在数量

7、上等于数学学习中需要掌握的可以符号化的数学对象的数量。例如,“三角形”可以符号化为“”,平行四边形”可以符号化为“”,但“四边形”却没有对应的数学符号。广义数学符号。广义数学符号是指能够剌激感官,在头脑中产生数学意义的客观存在,是数学文献、数学交流及数学教学中用来表达、传递、启示数学意义、数学信息的所有载体或剌激物,它不仅包括文字符号、中义数学符号、图表符号等人类专门创造的抽象符号,还包括实物、模型、实物图片等用来传达数学意义的自然实物符号。这种符号既包括经过严格定义的中义符号,也包括临时约定或创造的符号,还包括只有个体能够感受到其数学意义的个体性符号,它们在数量上是无限的,涵盖了所有与数学意

8、义有关的可称为符号的剌激物,是最广义的数学符号。它们在形式和意义的对应关系上复杂、多样,比如对于“三个苹果”、三”、“3”、“three”、“叁”、“111”等不同的符号,人们往往会获得相同的数学意义。1.2数学(shxu)符号的分类1.根据数学符号来源不同(b tn)分类 在符号(fho)意义建构过程中,对记号特征的感知、分析和记忆是十分重要的,而了解符号的来源不仅有助于对符号的记忆,而且有助于符号特征的感知和相似符号的区分。 (1)来源于语言文字的字母、词的首字母或缩写。由于数学,特别是现代数学主要是由西方数学家创立并发展起来的,因此数学符号主要来源于英语、希腊语、罗马语、德语等西方语言。

9、在传入我国时,数学符号保留下来,但数学符号所示的数学概念或数学命题翻译为汉语时往往并不准确。在数学教学中,教师应根据学生的认知水平,适时地介绍数学符号的相关知识,使学生形式关于数学符号的“知识块”,加深对数学符号的理解。例如,用“Q”表示“有理数”是因为有理数是两个整数的商,而Q是Quotient (商)的首字母。虚数单位i是imaginary (虚构的)第一个字母。在“ ”中,是英文单词Area(面积)的第一个字母,是单词radius (半径)的第一个字母。“正弦函数”的英文表达是“sinusoidal function”, 一般缩写为“sin”,把“角的正弦函数”表示为“ ”。 (2)来源

10、于数学家对数学对象的抽象或个性创意。例如,、等几何符号具有象形性,主要来源于数学家对数学对象的直接感知和抽象,而、等则完全是数学家的个人创意,被后人所欣赏而得以流传。 (3)来源于已有符号的组合或意义扩展。例如,“”既表示加法运算又表示正号。则是一个组合符号。需要注意的是,在数学发展中,经过数学家的不断修改与完善,现在的符号已经日益完美,而且呈现出一定的相关性和逻辑性,这些特征在数学符号教学中可帮助学生进行联想和记忆。例如,对于符号、可以进行人性化的解读,使小学生不感抽象、枯燥:“”是完全相同的两条平行短线,表示一种对待关系,当用斜线把它划掉时就表示不相等了。因为3表示多,所以当三条短线平行放

11、在一起时,就表示“大家”都是相等的,所以表示的是一种恒等关系。而“、”表示的是一种不对等关系,箭头指向小的一方,开口指向大的一方。2.根据数学符号意义建构方式(fngsh)不同分类 (1)数学(shxu)自然符号 数学自然符号是指通过感官直接从客观事物或现实情境中获得数学意义的符号。从自然数学符号中获得的意义通常称为感性经验,它是认识其他数学符号的基础。数学教学中,教师出示的实物、模型、教具等都是自然符号。需要特别指出的是,从自然数学符号中获得数学意义需要学生(xu sheng)具备一定的数学意识或在教师的引导下进行有目的的观察,才能发现其中的数学意义或数学关系。例如,教师在桌子上放三个苹果,

12、如果不进行引导,小学生眼中看到的只是苹果,不会与数字“3”联系在一起。教师让学生看一张照片时,如果教师不进行引导或提示,学生不会注意照片中共有多少人,其中男、女各几人,以及他们的位置关系等。诸如此类的数学信息的获得主要依赖于学生的数学感或数学意识。 (2)数学人工符号 数学人工符号是人们专门创造的用来表征数学意义的符号,它依附于客观事物,但所表达的数学意义不同于客观事物本身意义或者说与本身意义无关。获得人工数学符号的意义需要经历两个阶段:一是从客观事物中知觉并区分出人工数学符号;二是通过联想思维回忆起人工数学符号的意义。根据人工数学符号意义建构难度的不同,人工数学符号可分为四类:数学图像符号,

13、主要是指通过录像、录音、照相、绘画等科技手段记录下的自然符号,是教师创设教学情境的重要素材。数学文字符号,即数学中的自然语言符号,主要是指数学文献中用来表示数学概念、数学命题的数学专业术语和解释它们意义的自然语言文字。根据文字在数学交流中作用的不同,文字又分为解释性文字、概念性文字(数学专业名词)、命题性文字(数学命题文字)、约定性文字。数学专业符号,即数学中非自然语言的各种记号。主要是指狭义数学符号及其组成的数学表达式。根据表征对象的不同,符号可分为数学对象符号、数学关系符号。数学图表符号,即由数学文字或数学专业符号组成的各种符号组合或符号表达式,主要是指将有关数学符号按照一定的关系组合在一

14、起的直观的结构。在数学中,图表主要包括数学图示、数学图形、数学图像、数学图表、数学表格。 (3)数学行为符号 数学行为符号是指反映数学符号操作者的符号操作过程和个性心理特征的数学符号。数学符号是公共的,客观存在的,人们对符号的操作和处理却具有个性差异,这种差异对于教师了解学生的认知结构水平和兴趣、爱好等具有重要意义。例如,在课堂上,教师通过学生回答问题的行为表现就能够对学生的学习水平和个性特点做出基本的判断,通过分析学生的作业,可以判断学生的性别、学习兴趣、思维品质等方面的信息。因此,一个好的教师应注意分析学生的数学行为符号,通过各方面的行为表现了解学生,为学生提供针对性的指导。3.根据数学符

15、号所表达的意义不同分类 根据数学符号意义不同,数学符号可分为四类: (1)数学元素符号或数学词素。元素符号是指有明确数学意义,但不能独立表示数学对象,需要与其他符号联结才能表征数学信息的符号。元素符号是最小的记号单位,只是一些简单的笔画或音阶,但它是组成概念符号的基本元素。如构造英语单词的26个字母,构造汉字的各种笔画等。(2)数学概念符号。数学概念符号是指表示一个或多个确定的数学对象的符号它一般由元素符号组成或一个单独的数学符号。数学概念符号是表征数学对象的基本单位或最小单位,即表示某个确定认识(rn shi)对象的概念符号无法再分拆,分拆后的符号或者没有意义,或者不再表示当前的认识对象而表

16、示其他的认识对象。这一特性称为概念符号的整体性。例如,表示(biosh)一个函数,并不是符号，意义之和。所以,概念符号具有明确的意义,它在头脑中对应着一个人、物、事或关系在人脑中形成的整体心理形象。例如(lr)各种语言中的字、词或词组,数学语言中的数字符号、字母符号、关系符号、运算符号等单个符号是概念符号。、等也是概念符号。(3)数学命题符号。数学命题符号一般由元素符号和概念符号组成,指代的是对事物的一个判断。数学命题符号是为了表示认识对象自身的各种属性或不同认识对象之间各种关系的一个判断或陈述而将不同的概念符号按照约定的组合规则连结而成的符号序列,即通常所说的“句子”。从表征的内容看,命题符

17、号是表示信息的基本单位或最小单位。例如,数学中的各种定理、法则、公式等指代的是对事物的一个判断。从形式上看,命题符号是各种长短不一的符号序列,但这种符号序列是按照一定的约定规则排列的,不是任意的组合。例如,“2人+1人=3人”是有意义的,它遵循了数学符号的排列、组合规则,而“2=人+3”是没有意义的。由于在数学符号中存在大量的“嵌套”现象,对一些的复杂的数学命题符号表达式进行结构分析往往是一件比较困难的事。比如表示一个矩阵,不是对矩阵属性或特征的判断,因而是概念符号,不是命题符号,不能看作是信息。而是一个命题符号,向人们传递了一个信息:是一个矩阵。数学文本符号。文本符号是为了详细描述与某一主题

18、相关的事物的性质或关系而把相关的命题符号串联或组合起来符号序列。根据主题的从属关系,文本符号可分别称为段、节、章、篇等。例如,表示数学问题的符号是数学文本符号。从形式上看,文本符号至少含有两个以上的命题符号,即命题符号是文本符号的基本单位。从内容上看,文本符号是为了解决某个问题或描绘某个事物的状态、性质或变化,具有相对明确的主题,形成了一个相对封闭、自足的意义系统或体系。由于文本符号的主题无法在符号序列中直观显现出来,因此获得文本符号的主题需要具备相应的能力。一般情况下,依次从句、段、节、章到篇,符号的意义越来越复杂,只有获得前者的“言外之意”才能较好地把握后者的主题,获得后者的意义有助于发现

19、前者的“言外之意”。因此,在阅读文章时,后面的阅读有助于对前面文字符号的理解,阅读完全部文章后再读前面的文字又会新的理解,而隔一段时间后再重读文章又会有新的体会,而这些体会往往又是真正文章本身意义的。1.3数学(shxu)符号的特征 对于(duy)数学的符号语言，克莱茵指出(zh ch)：“数学的另一个重要特征是她的符号语言。如同音乐利用符号来代表和传播声音一样，数学也用符号来表示数量关系和空间形式。与日常讲话用的语言不同, 日常语言是习俗的产物，也是社会和政治运动的产物，而数学语言则是慎重地、有意地而且经常是精心设计的”。因而，数学符号是一种高度简化了的符号，这些符号发展到今天己经演变成一门

20、专业化的科学语言。它具有强烈而独特的特征，主要表现在以下几个方面:内涵的精确性数学符号能够为人们从事各种生产关系提供表述关系的精确模式，莱布尼兹认为好的数学符号可以“为我们提供了一条阿里阿德涅线，即一种看得见，摸得着的媒介，以便用来思维”。如符号语言以下几种表述关系在内涵上都作了明确的区分，就是好的符号。目前国际上微积分符号体系采用的是莱布尼兹形式而非牛顿形式，关键是莱布尼兹的符号体系简洁而且精确。如下面几种符号形式:“”同一关系；“”属于关系；“”包含关系. 由于数学符号对他们所要表述的范围都做了精确的界定，因而避免了“是”这一日常语言在表达上的含糊性。使用上的统一性数学符号已超越民族和国界

21、，是“国际通用语言”。1.4数学符号的功能 作为一种专业语言,除了具有一般语言所具有的语言功能和一般专业符号所具有的实用功能和知识承载功能外,数学符号还具有自身独特的数学教育功能。1.数学符号反映着数学的本质,对促进数学学科的发展有着重要作用 数学是需要进行高度抽象思维的学科。虽然数学源于人们的生活实践,但数学作为学科创立之后,就具有了独立性,在一定程度上可以脱离具体实践而独立发展。数学的这种相对独立性就集中体现在其自成体系的数学符号和数学语言上。一些特殊的数学符号甚至能精确的表述用日常语言难以具体表述或写出的概念,例如n、e?正是这些数学符号的引入,实现和促进了数学的发展。Cajori, F

22、loriarn指出,现代人的令人不可思议的计算能力要归功于阿拉伯数字符号、十进制小数与对数的发明。2.数学符号集中体现了数学的形式美,对培养学生数学兴趣具有重要作用 数学符号的美感可以帮助学生获得和提高数学学习的兴趣。数学符号不仅方便书写、运算和推理,而对数学的传播、普及起着重要的作用。数学符号简练、优美的形式魅力给数学发展以深层驱动力。在数学教学中,教师不失时机地向学生展示数学符号给我们带来的无穷魅力和美感,对于激发学生的学习兴趣和创造灵感都将是十分有益的。目前,很多教育专家倡导要注重数学文化的传播,适时介绍有关数学符号的渊源和发展过程应该是数学文化教育中的重要一环。3.数学符号是数学知识的

23、载体,直接影响数学学习的质量(zhling)与效率 按照(nzho)数学课程标准的要求,数学教育的总体目标是让学生“初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会,去解决日常生活中和其他学科(xuk)学习中的问题,增强应用数学的意识”,简单说就是要培养学生“用数学的眼光去认识自己所生活的环境和社会”。而任何一种思维方式或心智技能都必须借助于外部语言和符号才能进行。因此,只有掌握了数学符号,才能够发展数学思维方式和心智技能。古今数学大师们都很重视数学符号的作用。莱布尼茨认识到好的数学符号能节省思维劳动,运用符号的技巧是数学成功的关键之一。欧拉则意识到符号的简化和规则化,既有助于学生的学习,又有助

24、于数学的发展。符号感是学习数学的基础,没有符号感的培养难以实现数学教育的目标。4.数学符号是科学的语言,间接影响其他学科的学习效果。 数学是一门基础学科,学习数学,在一定程度上是为学习其他学科提供基础。这种基础的作用是通过数学符号和数学语言为媒介而实现的。符号体系最先由数学学科创立,并为其他学科所采用。因此,在数学教学中对符号感的培养,对于学生科学素质和综合能力的提局有着重要意义。5.数学符号对于人的发展具有潜移默化的陶冶作用。数学可以让人形成一种理性精神,这种精神突出表现在数学们的言行和性格特征。Casson Stanley说,人与数学越近,就与动物越远。Bush Vannevar说,数学家

25、不想玩弄数字,也不想用微积分进行等式转换,最喜欢一个人摆弄高水平的逻辑符号,而且完全任自己的直觉判断来选择操作程序。Darwin Charles则形容数学家的工作是在漆黑的房子里寻找并不存在的黑色帽子的盲人。EgrafovM.说,如果你问数学家他在做什么,你总会得到同样的回答:在思考。他们思考困难的、非同寻常的问题,不会思考普通的问题,而且只会写下答案。Flanimarion，Camille描述了数学家思考时的投入:数学家的脾气通常是难以忍受的,这可以得到心理学上的解释。他们的头脑长期处于紧张状态可能导致消化不良和精神忧郁的原因。King,Jerry P.描绘了数学家们的工作状态:数学家几乎总

26、是独自工作。数学家工作时总是独自坐在书房中,眼睛盯着杂乱地写在黑板上的各种方程或已经卷角的再版多次的数学资料,那是他想进行推广的结论。那是一种安静的工作,而且经常出现时间停滞的状态,数学家什么也不做,只是坐在那里,眼睛盯着白纸发呆。当你进来时,发现正在工作的数学家翘着腿凝视着窗外时,你应该说:“对不起,我不知道您在工作。”因为他确实可能正在工作。2 数学符号感的培养2.1充分利用学生已有的生活经验学生已有的生活(shnghu)经验中潜藏着丰富的“符号(fho)感”，这是发展(fzhn)学生的数学“符号感”的重要基础。比如，常见的交通信号、生活中一些电器的标识等。从某种意义上讲，我们是生活在一个

27、被“符号化”了的世界里。既往的数学教学实践表明，对学生而言，学会“数学符号运算”似乎是一个极大的困难。其中原因何在？主要问题在于我们以往的教学不承认学生已有经验中的“符号世界”，没有给学生提供机会经历“从具体事物，学生个性化的符号表示，学会数学地表示”这一逐步符号化、形式化的过程。因此，在教学中教师应充分利用学生已有的生活经验，同时积极引导和组织学生去认识、收集生活中的各种符号，并加以交流，使其建立事物与符号之间的对应关系，从而为数学符号感的培养奠定认知基础。例如, 用火柴棒拼摆正方形, 拼摆1个正方形需要4根火柴棒(如图所示)按照图中的方式，拼摆2个正方形需要几根火柴棒？ 拼摆3个正方形需要

28、几根火柴棒？ 拼摆10个正方形需要多少根火柴棒？ 拼摆100个正方形需要多少根火柴棒？你是怎样得到的？ 在拼摆2个、3个、10个正方形时，学生们可能会具体数一数火柴棒的根数，但当拼摆100个正方形时，就需要探索出正方形的个数与火柴棒的根数之间的关系，发现火柴棒根数的变化规律，而规律是一般性的, 需要用数学符号来表示.由此学生自然会意识到使用数学符号来表示火柴棒根数的变化规律的简捷性和普遍性。显然，此类例子也能够从一定程度上促进学生理解引入数学符号的普遍性和必要性。其实，对学生而言，数学难学的关键之一在于：数学的外在符号表达形式会转化为外部强加的僵硬的规则体系，也就是对数学与符号语言的关系缺乏正

29、确的认识与转化。2.2充分挖掘符号的暗示功能 由于按一定规则组织起来的数学符号是思维活动的物质载体, 其功能主要有揭示一般规律、构造数学模型和表达数学思维模式等，因此，它能刺激联想活动、诱发数学灵感。而我们在平时的数学教学中，往往只教给学生用符号表达的结果，而常常忽视了对数学符号的“最原始”的暗示功能的挖掘，从而导致学生多习惯于停留在数学符号操作的层面上，而不能达到真正借助于符号揭示其深刻的内涵层面。因此，在数学教学中要抓住数学符号创设的启发性原则，注意充分挖掘符号的暗示功能。例如：“ ” 暗示根号下非负；而则暗示，等。2.3加强数学符号间的转换训练 这里所说的数学符号间的转换，主要是指表示变

30、量(binling)之间关系的表格法、关系式法、图象法和语言表示之间的转换。由于一个数学对象从不同的角度去观察会产生不同的表达形式，因此(ync)，将一种“符号(fho)表达”从一个角度转换为另一个角度的“符号形式”，可以沟通知识之间的联系，也有利于问题的解决，这样也就存在着符号间转换的根据与可能。例如, “ 已知, 求的最小值”。可以转换为“求直线上的点到原点的距离的最小值”。进一步再转换为“求原点到直线的距离”。这样既沟通了代数与解析几何的联系, 又使问题变得简单易解。所以，在教学时要注意符号语言之间的转换训练，充分发挥各种语言的优势，从而使学生在语言转换的过程中加深对数学的理解。另外,

31、从数学学习心理的角度来看，不同的思维形式之间的转换及表达方式是数学学习的核心。因此, 能把变量之间关系的一种形式转换为另一种表示形式, 构成了数学学习过程中的重要方面。2.4重视师生之间、学生之间的符号语言交流 毫无疑问, 数学只有通过交流才能够深入和发展, 只有用文字和符号表达出来, 数学思想才变得清晰。也就是说, 数学是借助于数学符号语言与普通文字语言的结合才得以流传, 当然,学生是通过理解这些数学语言的内涵而掌握数学知识, 进而形成能力的。然而, 由于学生个人的数学认知结构存在差异, 因此, 他(她)对同一数学知识的理解就带有明显的个人特征。例如,在刚刚学习了完全平方公式以后, 用它来计

32、算时, 不少学生会出现形如这样的理解(在他们看来, 此处的“”与公式中的“”是一样的)。学习了分配律后, 也有不少学生会有如下“同理可得的结论”： 、等。通过交流, 可以帮助教师发现学生错误的理解, 从而引导学生自我反思、自我否定, 进而引起同学们的共鸣。通过交流,也可以使学生获得解决问题的不同思考角度,有利于学生在问题解决中充分地活动, 进而加深对数学的理解。2.5对数学符号运算进行必要的训练 标准认为, 必须对学生进行(jnxng)分阶段的、适当的数学符号运算的训练。如, 在进行相反数的教学时, 可安排如下练习:；等等。当然,我们并不主张进行繁杂的形式运算训练, 而应该增加实际情境、探索过程(guchng)、几何解决等以帮助学生理解数学符号的运算。2.6重视(zhngsh)对符号的涵义和实质的分析 如众所知, 数学符号的主要作用之一是用高度简约化的形式语言来表征具体的数学内容。而我们在实际的教学过程中往往会发现学生学习的数学知识过于表面化的现象。例如, 学生在学习数学符号时没有真正理解数学符号的意义及其蕴含的思想方