第五讲Solow经济增长理论

1、 第五讲Solow经济增长模型一、问题的提出什么因素决定了经济增长？经济增长的一般趋势是什么？为什么国家或地区之间存在着收入差异？穷国能否赶上富国？二、生产函数投入与产出的函数形式Yt)二 F(K(t),A(t)L(t)其中，丫为产量，K为资本，L为劳动力，A为知识或劳动的有效性，t表示 时间。注意：AL为有效劳动，此种形式的技术进步为“劳动增进型”或“哈罗德 中性”。如果知识进入的形式为Y=(AK,L)，则此种技术进步是资本增进型或索罗 中性；如果知识进入的形式为 Y=AF(K,L)，则此种技术进步为希克斯中性。生产函数的特性假设规模报酬不变。F(cK,cAL)=cF(K,AL)，对于 c

2、0两个方面的含义：经济足够大，专业化收益被穷尽；其他投入品(如土地、 自然资源)相对不重要。规模报酬不变的假定使我们可以得到密集型式的生产函数：K1令 c=1/AL,则 F( ,1) F(K,AL)ALAL令有效劳动的人均资本k=K/AL，有效劳动人均产量y=Y/AL，则y=f(k),总产 量 Y=ALf(k)。边际产品递减。f(k)满足 f(O)=O,f (k)O,f ”(k)(n g)k(t)时，k(t)0 (储蓄大于投资)当 sf (k(t)(n g)k(t)时，k(t)(n g )k(t)时，k(t)o；当 sf (k(t)(n g )k(t)时，k(t)0,因此 的符号决定于f (k

3、 (s, n,g厂)与(n g，)ss的大小。*当 k (n +g+&)，葛0* c当 k k gold，f(k (s,n,g,6) (n * g *心)，0。这样k开始上升，一直达到k* 勺水平思考：s与k的动态变化有何不同？对Y/L的影响：先暂时性的增加，但随后收敛于原来的平衡增长速度。思考：如何证明？提示：Y/L=Af(k)。若k不变，Y/L以速率g (即A的增长率)增长。若k递增，则Y/L则由 于A和k的增长而增长，此时增长率超过g。然而，如果k达到新的k*值时，又 只有A的增长对Y/L的贡献，贝U Y/L的增长率又使g 了。结论：储蓄率的变化只会暂时性地影响增长率，而不会永久性地影响

4、。或者 说，储蓄率的变化只有水平效应，而没有增长效应：它改变了经济的平衡增长路 径，因而改变任一时点上的人均产量水平，但是没有改变处于平衡增长路径上的 人均产出的增长率。在索罗模型中只有技术进步率的变化有增长效应，所有其他变量都只 有水平效应。政策含义：投入驱动的经济增长不会持续。3.储蓄率变化对产出的长期影响考察储蓄率s变化对有效劳动人均产出y的影响(弹性分析)。由= k*(s, n, gr )可知：H = f(k*)血4.s:s由平衡增长的条件k二0得到：sf(k*(s,n,g, ) = (n g)k*(s,n,g,)两边对s求导数，sf(k*)主 f (k*) =(n g 、ss解得:*

5、f (k ):s (n g ) - sf (k )* *(n g ) - sf (k*)f(k )f(k )两边同乘s/y*，并用sf(k ) =(n g，)k代换s，得至U：s :y _f (k ) f (k )y:sf (k ) (n g ) - sf (k )_ (n g)k*f (k*)f (k*)f2(k )(n g )-(n g )k f(k )/ f(k )_(n + g + )k f (k )一 f(k*)(n g )-(n g )k*f(k*)/f (k*)一k*f(k*)/f(k*)1 -k*f (k*)/ f (k*)定义k* f (k*) / f(k*)为k=k*处的产

6、出的资本弹性： K(k*)，它也是资本收入占总收入的份额因此汕y ds：K（k ）1- K（k*）s :y为产出的储蓄率弹性。y :s举例：设:K(k*)=1/3，则-1=1/2,当储蓄率增加10%时，人均产出长期 y cs内仅变化5%。结论：储蓄率的显著变化对平衡增长路径上的产出变化只有较小的影响4 储蓄率变化的影响时间注意“收敛系数”，=(1 -K)(n g )与s无关。前例：假设n g - 6% , :- K = 1/3,则 =4% (表示k和y向k*和 y*每年移动剩余距离的4%),因此走完平衡增长路径距离的一半约需 18年时间。因此，当储蓄率增加 10%时，人均产出长期内仅变化5%。

7、第1年增长0.04(5%)=0.2%, 18 年后增长 0.5(5%)=2.5%。结论：储蓄率变化对人均产出变化的作用较缓慢。七、对索洛模型的总结和评论主要结论无论从任何一点出发，经济向平衡增长路径收敛，在平衡增长路径上， 每个变量的增长率都是常数。在其他外生变量相似的条件下，人均资本低的经济有更快的人均资本 的提高和更快的经济收敛速度。 人均产出(丫/L )的增长来源于人均资本存量和技术进步，但只有技 术进步才能够导致人均产出的永久性增长。通过调节储蓄率可以实现人均最优消费和最优资本存量的“黄金律” 增长。储蓄率的变化只会暂时性地影响增长率，而不会永久性地影响；储蓄 率的显著变化对平衡增长路

8、径上的产出变化只有较小的影响，且作用缓慢。批评(1)未能够解释长期经济增长的真正来源。把技术进步(劳动的有效性) 看成为外生给定的，而这恰恰是长期经济增长的关键。因此，索洛模型是通过“假 定的增长”来解释增长的。(2)在以资本的差异为基础解释收入的较大差别时，会遇到理论与现实不 符的问题：第一，所需要的资本差别很大；第二，如果不考虑劳动有效性的差别， 而将产量差别仅仅归因于资本差别，则意味着资本报酬率应有巨大的差别。例如：根据C-D生产函数，y二f (k)二k，一般的=1/3，设穷国变量* * 1/带*，若y/y =10，则k/k =10 1000。(如此大的资本存量差异！)资本的边际产品 M

9、Pk = f(k) =k 1 y(- 一1-，若 y/y =10， 则MPk/MP； =1/100。(如此高的资本报酬率差异！)八、经验检验1 增长因素分析(经济增长核算)在索罗模型中，人均产量的长期增长仅仅取决于技术进步，但短期增长则可 能或取决于技术进步，或取决于资本积累。因此，索罗模型表明，确定短期增长 的来源是一个经验问题。为做经济增长因素分析，再次考察生产函数Y(t) = F(K(t), A(t)L(t)，这意味着:Y(t)二：Y(t)氷(t)K(t)L(t)A(t)两边同除以丫(t)，得:Y(t) 一 K(t) ：Y(t) K(t) L(t) Y(t) L(t) . A(t) ；:

10、Y(t) A(t) Y(t) Y(t) ：K(t) K(t) Y(t) ：l(t) L(t) Y(t) ；:A(t) A(t):K(。將L(喘R(t)这里:k (t)为t时产出的资本弹性，L(t)t时产出的劳动弹性，且眄器说縊。两边同时减去得人均产量增长率的表达式：秽，并应用E n，可丫(t)Y(t)L(t)L(t)r喘墙R(t)上式把人均产量的增长分解为人均资本的贡献和一个余项即索罗剩余。索罗剩余被解释为对技术进步的贡献的测度，它反映了所有的其他增长源 泉。该分析框架的拓展：（1）考虑不同类型的资本和劳动，并对投入品质量的变 化作出调整。（2）运用随机前沿函数或DEA分析法将全要素生产率进行

11、分解。参 见：李小平等：国际贸易、技术进步和中国工业行业的生产率增长，经济学 （季刊）2008年1月。章祥荪等：中国全要素生产率分析：Malmqusit指数法评述与应用，数量 经济技术经济研究2008年第6期。李宾、曾志雄：中国全要素生产率变动的再测算：1978-2007年，数量经 济技术经济研究2009年第3期。收敛性（绝对收敛和相对收敛）参见：彭国华：中国地区收入差距、全要素生产率及其收敛分析，经济 研究2005年第9期。姚树洁等：中国大陆、香港和澳门地区的收入收敛性，经济研究2008 年第10期。储蓄（投资）、人口与产出的关系根据索罗模型，储蓄和人口增长通过其对人均资本的作用来影响人均产

12、量。 一个国家的储蓄率越高，其人均资本就越多，因而人均产出就越多；一个国家的 人口增长率越高，用于维持其资本-劳动比的储蓄就越多，因而人均资本和人均 产量就越低。在平衡增长路径上，产出对储蓄率s的弹性为：.（V：），产出对（n g，）的弹性为-,（1-），其中为资本的收入份额。因此：*aaln yln s ln（n g 、）1_o1a据此，可以建立经验方程估计储蓄和人口的变动对产出的影响。DEA分析方法简介：关于TFP变动的研究，目前主要有四种方法：增长核算法，生产函数法，随机前沿分析法，以及数据包络分析法（Malmquist指数法）。传统上采用索洛剩余法 来测算全要素生产率。这种方法的假设前

13、提在现实中往往是很难满足的，女口：生产函数的形式是已知的，经济主体的生产效率总是处在最佳水平，中性技术进步， 规模报酬不变等。数据包络分析有不需要对生产函数结构做先验假定、不需要对 参数进行估计、允许无效率行为存在、能对 TFP变动进行分解等优点，在近来研 究中受到了越来越多的关注。在测算全要素生产率的变化时大多运用基于投入的生产率指数法。根据Caves et al. （1982）基于投入的全要素生产率指数可以用 Malmquist生产率指数来 表示，这个指数测度了在时期t的技术条件下，从时期t到t 1的技术效率的变化。Malmquist生产率变化指数可以被分解为相对技术效率的变化和技术进步的

14、变化 （Fare et al., 1992） MI =EC*TC。其中，MI为两段时期之间的Malmquist生产率 变化指数，EC为技术效率变化指数，这个指数测度两个时期之间每个观察对象 到最佳实践边界的追赶程度（不同时期决策单元相对于生产前沿的距离）。TC为 技术进步变化指数，这个指数测度两个时期之间生产前沿（或技术边界）的移动。 这两个指标如果大于1意味着技术效率的改善或技术进步，而小于1则意味着技术 效率的降低或技术退步。DEA分析法的基本原理：把每一个行业看作一个生产决策单位，先确定每 一年各行业生产最佳前沿面，再把每一个行业的生产同最佳前沿面进行比较就 可以对各个行业的技术效率和生

15、产率变化进行测度。首先，确定一个行业的技术效率。一个行业的技术效率可以通过两条途径估 计：一个是基于投入的技术效率，即在一定产出下，最小投入与实际投入之比 来估计。另一个是基于产出的技术效率，即在一定的投入组合下，实际产出与 最大产出之比来估计。基于投入的技术效率。设在每一个时期t =1 , , , T ,第k =1 , , , K个行业 使用n =1 , , , N种投入xk,n，得到第m =1 , , , M种产出y；,m。生产技术的 前沿就是每一个给定产出的最小投入集。在设置好参照技术后，我们将行业在 固定规模报酬（C），投入要素强可处置（S）条件下的基于投入最小的技术效率 （CRS）分

16、解为以下三项的乘积：Fi (y ,x | C ,S) = Si (y ,x | S) * CNi (y ,x | V) * Fi (y ,x | V ,W)其中，Fi (y ,x| C ,S)为技术效率(CRS) ; Si (y ,x| S)为投入规模效率(Input Scale Efficiency); CNi (y ,x| V)为投入拥挤程度(Input Congestion Measure) ; Fi (y ,x| V ,W)为剩余技术效率(Residual Technical Efficiency)。其次，全要素生产率TFP二y t Xt。我们用两个Malmquist生产率指数的y /x几何平均值来计算生产率的变化，则Malmquist生产率变化指数可以被分解为相对技术效率的变化和技术进步的变化：Mi = E *TP在上式中，Mi为两段时期之间的 Malmquist生产率变化指数，E是技术 效率变化指数，这个指数测度两时期之间每个观察对象到最佳实践边界的追赶 程度