向量向量叉乘向量点乘

1、向量-向量叉乘向量点乘2010年07月28日星期三14:33向量(Vector)在几乎所有的几何问题中，向量(有时也称矢量)是一个基本点。向量的定义包含方向和一个数(长度)。在二维空间中，一个向量可以用一对x和y来表示。例如由点(1,3)到(5,1的向量可以用(4,-2)来表示。这里大家要特别注意，我这样说并不代表向量定义了起点和终点。向量仅仅定义方向和长度。向量加法向量也支持各种数学运算。最简单的就是加法。我们可以对两个向量相加，得到的仍然是一个向量。我们有：V1(x1,y1)+V2(x2,y2)=V3(x1+x2,y1+y2)下图表示了四个向量相加。注意就像普通的加法一样，相加的次序对结果

2、没有影响(满足交换律)，减法也是一样的。Thesum&.fvectorsA+3+C+D点乘(DotProduct)如果说加法是凭直觉就可以知道的，另外还有一些运算就不是那么明显的，比如点乘和叉乘。点乘比较简单，是相应元素的乘积的和：V1(x1,y1)V2(x2,y2)=x1*x2+y1*y2注意结果不是一个向量，而是一个标量(Scalar)。点乘有什么用呢，我们有：AB=IAIIBIos()是向量A和向量B见的夹角。这里IAI我们称为向量A的模(norm),也就是A的长度，在二维空间中就是IAI=sqrt(x2+y2)。这样我们就和容易计算两条线的夹角：os()=AB/(IAIIBI)当然你知

3、道要用一下反余弦函数acos()啦。(回忆一下cos(90)=0和cos(0)=1还是有好处的,希望你没有忘记。)这可以告诉我们如果点乘的结果，简称点积，为0的话就表示这两个向量垂直。当两向量平行时，点积有最大值另外，点乘运算不仅限于2维空间，他可以推广到任意维空间。(译注：不少人对量子力学中的高维空间无法理解，其实如果你不要试图在视觉上想象高维空间，而仅仅把它看成三维空间在数学上的推广，那么就好理解了)叉乘(crossproduct)相对于点乘，叉乘可能更有用吧。2维空间中的叉乘是：Vl(xl,yl)XV2(x2,y2)=xly2ylx2看起来像个标量，事实上叉乘的结果是个向量，方向在z轴上

4、。上述结果是它的模。在二维空间里，让我们暂时忽略它的方向，将结果看成一个向量，那么这个结果类似于上述的点积，我们有：AxB=IAIIBIin()然而角度和上面点乘的角度有一点点不同，他是有正负的，是指从A到B的角度。下图中为负。另外还有一个有用的特征那就是叉积的绝对值就是A和B为两边说形成的平行四边形的面积。也就是AB所包围三角形面积的两倍。在计算面积时，我们要经常用到叉积。(译注：三维及以上的叉乘参看维基：/wiki/Cross_product)点-线距离找出一个点和一条线间的距离是经常遇见的几何问题之一。假设给出三个点，A，B和C，你想找出点C到点A、B定出的直线间距离。第一步是找出A到B

5、的向量AB和A到C的向量AC，现在我们用该两向量的叉积除以|ABI,这就是我们要找的的距离了(下图中的红线)。d=(ABxAC)/IABI如果你有基础的高中几何知识，你就知道原因了。上一节我们知道(ABXAC)/2是三角形ABC的面积，这个三角形的底是IABI,高就是C到AB的距离。有时叉积得到的是一个负值，这种情况下距离就是上述结果的绝对值。当我们要找点到线段的距离时，情况变得稍稍复杂一些。这时线段与点的最短距离可能是点到线段的某一端点，而不是点到直线的垂线。例如上图中点C到线段AB的最短距离应该是线段BC。我们有集中不同的方法来判断这种特殊情况。第一种情况是计算点积ABBe来判定两线段间。

6、如果点积大于等于零，那么表示AB到BC是在-90到90度间，也就是说C到AB的垂线在AB夕卜，那么AB上到C距离最近的点就是B。同样，如果BAAC大于等于零，那么点A就是距离C最近的点。如果两者均小于零，那么距离最近的点就在线段AB中的莫一点。源代码参考如下：/ComputethedotproduetABBCintdot(intA,intB,intC)AB=newint2;BC=newint2;AB0=B0-A0;AB1=B1-A1;BC0=C0-B0;BC1=C1-B1;intdot=AB0*BC0+AB1*BC1;returndot;/ComputetheerossproduetABxAC

7、inteross(intA,intB,intC)AB=newint2;AC=newint2;AB0=B0-A0;AB1=B1-A1;AC0=C0-A0;AC1=C1-A1;inteross=AB0*AC1-AB1*AC0;returneross;/ComputethedistaneefromAtoBdoubledistanee(intA,intB)intd1=A0-B0;intd2=A1-B1;returnsqrt(d1*d1+d2*d2);/ComputethedistaneefromABtoC/ifisSegmentistrue,ABisasegment,notaline.doubleli

8、nePointDist(intA,intB,intC,booleanisSegment)doubledist=cross(A,B,C)/distance(A,B);if(isSegment)intdot1=dot(A,B,C);if(dot10)returndistance(B,C);intdot2=dot(B,A,C);if(dot20)returndistance(A,C);returnabs(dist);上面的代码看起来似乎是很繁琐。不过我们可以看看在C+和C#中，采用了运算符重载的类point，用我代表点乘，用人代表叉乘(当然+-还是你所希望的)，那么看起来就简单些,代码如下：/ComputethedistancefromABtoC/ifisSegmentistrue,ABisasegment,notaline.doublelinePointDist(pointA,pointB,pointC,boolisSegment)doubledist=(B-A)人(C-A)/sqrt(B-A)*(B-