云南省迪庆2022年高三下第一次测试数学试题含解析

1、2021-2022高考数学模拟试卷注意事项:1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2答题时请按要求用笔。3请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1为比较甲、乙两名高二学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为5分，分值高者为优），

2、根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述正确的是（ ）A乙的数据分析素养优于甲B乙的数学建模素养优于数学抽象素养C甲的六大素养整体水平优于乙D甲的六大素养中数据分析最差2已知函数，则（ ）A1B2C3D43是边长为的等边三角形，、分别为、的中点，沿把折起，使点翻折到点的位置，连接、，当四棱锥的外接球的表面积最小时，四棱锥的体积为（ ）ABCD4已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则（ ）ABCD5数列an是等差数列，a11，公差d1，2，且a4+a10+a1615，则实数的最大值为（）ABCD6设，满足约束条件，若的最大值为，则的展开式中项的系数为( )A60B80C

3、90D1207已知复数满足，其中为虚数单位，则（ ）ABCD8有一圆柱状有盖铁皮桶（铁皮厚度忽略不计），底面直径为cm，高度为cm，现往里面装直径为cm的球，在能盖住盖子的情况下，最多能装（ ）（附：）A个B个C个D个9函数f(x)=ln(x2-4x+4)(x-2)3的图象可能是下面的图象( )ABCD10已知为等腰直角三角形，为所在平面内一点，且，则（ ）ABCD11设，是非零向量，若对于任意的，都有成立，则ABCD12若为虚数单位，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知双曲线（，）的左，右

4、焦点分别为，过点的直线与双曲线的左，右两支分别交于，两点，若，则双曲线的离心率为_. 14已知向量满足，则_.15已知，则_。16已知正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为2，点P是上底面A1B1C1D1内一动点，若三棱锥P-ABC的外接球表面积恰为414，则此时点P构成的图形面积为_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）为提供市民的健身素质，某市把四个篮球馆全部转为免费民用（1）在一次全民健身活动中，四个篮球馆的使用场数如图，用分层抽样的方法从四场馆的使用场数中依次抽取共25场，在中随机取两数，求这两数和的分布列和数学期望；（2）设四个篮球馆一个月内各

5、馆使用次数之和为，其相应维修费用为元，根据统计，得到如下表的数据：x10152025303540y100001176113010139801477115440160202.993.494.054.504.995.495.99用最小二乘法求与的回归直线方程；叫做篮球馆月惠值，根据的结论，试估计这四个篮球馆月惠值最大时的值参考数据和公式：，18（12分）如图所示的几何体中，四边形为正方形，四边形为梯形，为中点.（1）证明：；（2）求二面角的余弦值.19（12分）武汉有“九省通衢”之称，也称为“江城”，是国家历史文化名城.其中著名的景点有黄鹤楼、户部巷、东湖风景区等等.（1）为了解“五一”劳动节当日

6、江城某旅游景点游客年龄的分布情况，从年龄在22岁到52岁的游客中随机抽取了1000人，制成了如图的频率分布直方图：现从年龄在内的游客中，采用分层抽样的方法抽取10人，再从抽取的10人中随机抽取4人，记4人中年龄在内的人数为，求；（2）为了给游客提供更舒适的旅游体验，该旅游景点游船中心计划在2020年劳动节当日投入至少1艘至多3艘型游船供游客乘坐观光.由2010到2019这10年间的数据资料显示每年劳动节当日客流量（单位：万人）都大于1.将每年劳动节当日客流量数据分成3个区间整理得表：劳动节当日客流量频数（年）244以这10年的数据资料记录的3个区间客流量的频率作为每年客流量在该区间段发生的概率

7、，且每年劳动节当日客流量相互独立.该游船中心希望投入的型游船尽可能被充分利用，但每年劳动节当日型游船最多使用量（单位：艘）要受当日客流量（单位：万人）的影响，其关联关系如下表：劳动节当日客流量型游船最多使用量123若某艘型游船在劳动节当日被投入且被使用，则游船中心当日可获得利润3万元；若某艘型游船劳动节当日被投入却不被使用，则游船中心当日亏损0.5万元.记（单位：万元）表示该游船中心在劳动节当日获得的总利润，的数学期望越大游船中心在劳动节当日获得的总利润越大，问该游船中心在2020年劳动节当日应投入多少艘型游船才能使其当日获得的总利润最大？20（12分）如图，矩形和梯形所在的平面互相垂直，.（

8、1）若为的中点，求证：平面；（2）若，求四棱锥的体积.21（12分）在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为；直线的参数方程为 （为参数），直线与曲线分别交于两点（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；（2）若点的极坐标为，求的值22（10分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求B；（2）若的面积为，周长为8，求b.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1C【解析】根据题目所给图像，填写好表格，由表格数据选出正确选项.【详解】根据雷达图得到如下数据：数学抽象逻

9、辑推理数学建模直观想象数学运算数据分析甲454545乙343354由数据可知选C.【点睛】本题考查统计问题，考查数据处理能力和应用意识.2C【解析】结合分段函数的解析式,先求出,进而可求出.【详解】由题意可得，则.故选:C.【点睛】本题考查了求函数的值,考查了分段函数的性质,考查运算求解能力,属于基础题.3D【解析】首先由题意得，当梯形的外接圆圆心为四棱锥的外接球球心时，外接球的半径最小，通过图形发现，的中点即为梯形的外接圆圆心，也即四棱锥的外接球球心，则可得到，进而可根据四棱锥的体积公式求出体积.【详解】如图，四边形为等腰梯形，则其必有外接圆，设为梯形的外接圆圆心，当也为四棱锥的外接球球心时

10、，外接球的半径最小，也就使得外接球的表面积最小，过作的垂线交于点，交于点，连接，点必在上，、分别为、的中点，则必有，即为直角三角形.对于等腰梯形，如图：因为是等边三角形，、分别为、的中点，必有，所以点为等腰梯形的外接圆圆心，即点与点重合，如图，所以四棱锥底面的高为，.故选：D.【点睛】本题考查四棱锥的外接球及体积问题，关键是要找到外接球球心的位置，这个是一个难点，考查了学生空间想象能力和分析能力，是一道难度较大的题目.4C【解析】根据题意，由函数的奇偶性可得，又由，结合函数的单调性分析可得答案【详解】根据题意，函数是定义在上的偶函数，则，有，又由在上单调递增，则有，故选C.【点睛】本题主要考查

11、函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意函数奇偶性的应用，属于基础题5D【解析】利用等差数列通项公式推导出，由d1，2，能求出实数取最大值【详解】数列an是等差数列，a11，公差d1，2，且a4+a10+a1615，1+3d+（1+9d）+1+15d15，解得，d1，2，2是减函数，d1时，实数取最大值为故选D【点睛】本题考查实数值的最大值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题6B【解析】画出可行域和目标函数，根据平移得到，再利用二项式定理计算得到答案.【详解】如图所示：画出可行域和目标函数，即，故表示直线与截距的倍，根据图像知：当时，的最大值为，故.展开式的通项为：，取

12、得到项的系数为：.故选：.【点睛】本题考查了线性规划求最值，二项式定理，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.7A【解析】先化简求出，即可求得答案.【详解】因为，所以所以故选：A【点睛】此题考查复数的基本运算，注意计算的准确度，属于简单题目.8C【解析】计算球心连线形成的正四面体相对棱的距离为cm，得到最上层球面上的点距离桶底最远为cm，得到不等式，计算得到答案.【详解】由题意，若要装更多的球，需要让球和铁皮桶侧面相切，且相邻四个球两两相切，这样，相邻的四个球的球心连线构成棱长为cm的正面体，易求正四面体相对棱的距离为cm，每装两个球称为“一层”，这样装层球，则最上层球面上的点距离桶底最远为c

13、m，若想要盖上盖子，则需要满足，解得，所以最多可以装层球，即最多可以装个球故选：【点睛】本题考查了圆柱和球的综合问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.9C【解析】因为fx=lnx2-4x+4x-23=lnx-22x-23，所以函数fx的图象关于点（2,0）对称，排除A，B当x0,x-230，所以fx0，排除D选C10D【解析】以AB,AC分别为x轴和y轴建立坐标系，结合向量的坐标运算，可求得点的坐标，进而求得，由平面向量的数量积可得答案.【详解】如图建系，则，由，易得，则.故选：D【点睛】本题考查平面向量基本定理的运用、数量积的运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、

14、运算求解能力.11D【解析】画出，根据向量的加减法，分别画出的几种情况，由数形结合可得结果.【详解】由题意，得向量是所有向量中模长最小的向量，如图，当，即时，最小，满足，对于任意的，所以本题答案为D.【点睛】本题主要考查了空间向量的加减法，以及点到直线的距离最短问题，解题的关键在于用有向线段正确表示向量，属于基础题.12B【解析】由共轭复数的定义得到，通过三角函数值的正负，以及复数的几何意义即得解【详解】由题意得，因为，所以在复平面内对应的点位于第二象限故选：B【点睛】本题考查了共轭复数的概念及复数的几何意义，考查了学生概念理解，数形结合，数学运算的能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，

15、每小题5分，共20分。13【解析】设，由双曲线的定义得出：，由得为等腰三角形，设，根据，可求出，得出，再结合焦点三角形，利用余弦定理：求出和的关系，即可得出离心率.【详解】解：设，由双曲线的定义得出：，由图可知：，又，即，则，为等腰三角形，设，则，即，解得：，则，解得：，解得：，在中，由余弦定理得：，即：，解得： ，即. 故答案为：.【点睛】本题考查双曲线的定义的应用，以及余弦定理的应用，求双曲线离心率.141【解析】首先根据向量的数量积的运算律求出，再根据计算可得；【详解】解：因为，所以又所以所以故答案为：【点睛】本题考查平面向量的数量积的运算，属于基础题.15【解析】由已知求，再利用和角正

16、切公式，求得，【详解】因为所以cos因此.【点睛】本题考查了同角三角函数基本关系式与和角的正切公式。16.【解析】设三棱锥P-ABC的外接球为球O，分别取AC、A1C1的中点O、O1，先确定球心O在线段AC和A1C1中点的连线上，先求出球O的半径R的值，然后利用勾股定理求出OO的值，于是得出OO1=OO1-OO，再利用勾股定理求出点P在上底面轨迹圆的半径长，最后利用圆的面积公式可求出答案【详解】如图所示，设三棱锥P-ABC的外接球为球O，分别取AC、A1C1的中点O、O1，则点O在线段OO1上，由于正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，则ABC的外接圆的半径为OA=2，设球O的半径为R，

17、则4R2=414，解得R=414.所以，OO=R2-OA2=34，则OO1=OO1-OO=2-34=54而点P在上底面A1B1C1D1所形成的轨迹是以O1为圆心的圆，由于OP=R=414，所以O1P=R2-OO12=1，因此，点P所构成的图形的面积为O1P2=.【点睛】本题考查三棱锥的外接球的相关问题，根据立体几何中的线段关系求动点的轨迹，属于中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1）见解析，12.5（2）20【解析】(1) 运用分层抽样，结合总场次为100，可求得的值，再运用古典概型的概率计算公式可求解果;(2) 由公式可计算的值，进而可求与的回归直线方

18、程；求出，再对函数求导，结合单调性，可估计这四个篮球馆月惠值最大时的值.【详解】解：（1）抽样比为，所以分别是，6，7，8，5所以两数之和所有可能取值是：10，12，13，15，所以分布列为期望为（2）因为所以，；，设，所以当递增，当递减所以约惠值最大值时的值为20【点睛】本题考查直方图的实际应用，涉及求概率，平均数、拟合直线和导数等问题，关键是要读懂题意，属于中档题.18（1）见解析；（2）【解析】(1)取的中点，结合三角形中位线和长度关系，为平行四边形，进而得到，根据线面平行判定定理可证得结论；(2)以，为，轴建立空间直角坐标系,分别求得两面的法向量，求得法向量夹角的余弦值；根据二面角为锐

19、角确定最终二面角的余弦值；【详解】（1）取的中点，连结，因为为中点，所以，为平行四边形，所以，又因为，所以；（2）由题及（1）易知，两两垂直，所以以，为，轴建立空间直角坐标系,则，易知面的法向量为设面的法向量为则可得所以,如图可知二面角为锐角，所以余弦值为【点睛】本题考查立体几何中直线与平面平行关系的证明、空间向量法求解二面角,正确求解法向量是解题的关键，属于中档题.19（1）；（2）投入3艘型游船使其当日获得的总利润最大【解析】（1）首先计算出在，内抽取的人数，然后利用超几何分布概率计算公式，计算出.（2）分别计算出投入艘游艇时，总利润的期望值，由此确定当日游艇投放量.【详解】（1）年龄在内

20、的游客人数为150，年龄在内的游客人数为100；若采用分层抽样的方法抽取10人，则年龄在内的人数为6人，年龄在内的人数为4人.可得.（2）当投入1艘型游船时，因客流量总大于1，则（万元）.当投入2艘型游船时，若，则，此时；若，则，此时；此时的分布列如下表：2.56此时（万元）.当投入3艘型游船时，若，则，此时；若，则，此时；若，则，此时；此时的分布列如下表：25.59此时（万元）.由于，则该游船中心在2020年劳动节当日应投入3艘型游船使其当日获得的总利润最大.【点睛】本小题主要考查分层抽样，考查超几何分布概率计算公式，考查随机变量分布列和期望的求法，考查分析与思考问题的能力，考查分类讨论的数

21、学思想方法，属于中档题.20 (1)见解析(2) 【解析】（1）设EC与DF交于点N，连结MN，由中位线定理可得MNAC，故AC平面MDF；（2）取CD中点为G，连结BG，EG，则可证四边形ABGD是矩形，由面面垂直的性质得出BG平面CDEF，故BGDF，又DFBE得出DF平面BEG，从而得出DFEG，得出RtDEGRtEFD，列出比例式求出DE，代入体积公式即可计算出体积【详解】（1）证明：设与交于点，连接，在矩形中，点为中点，为的中点，又平面，平面，平面.（2）取中点为，连接，平面平面，平面平面，平面，平面，同理平面，的长即为四棱锥的高，在梯形中，四边形是平行四边形，平面，又平面，又，平面，.注意到，.【点睛】求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法分割法、补形法、等体积法. 割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决等积法：等