函数的单调性极值与最值课件

1、第四节一、函数单调性的判定法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、曲线的凹凸与拐点函数的单调性与 曲线的凹凸性 第四章 二、函数的极值二、最值问题一、 函数单调性的判定法若定理 1. 设函数则 在 I 内单调递增(递减) .证: 无妨设任取由拉格朗日中值定理得故这说明 在 I 内单调递增.在开区间 I 内可导,机动 目录 上页 下页 返回 结束 证毕注意：例2. 确定函数的单调区间.解:令得故的单调增区间为的单调减区间为机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明: 单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点. 例如,2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 .例如,机动

2、 目录 上页 下页 返回 结束 确定函数单调区间的方法和步骤:(1) 确定函数的定义域; 的点(驻点)和(2) 求找使不存在的点;(3) 以(2)中所找点为分界点,将定义域分割成部分区间, 判断在每一区间上导数的符号，由定理得出结论。解 (1) 定义域例3 确定函数的单调区间.(2)令, 得当时,不存在,(3) 列表:增减增函数的单增区间为:单减区间为:例4. 证明时, 成立不等式证: 令从而因此且证证明 目录 上页 下页 返回 结束 * 证明令则从而即例5 证明不等式证明 令, 即在上单增,当时,当时,定义 . 设函数在区间 I 上连续 ,(1) 若恒有则称图形是凹的;(2) 若恒有则称连续

3、曲线上有切线的凹凸分界点称为拐点 .图形是凸的 .二、曲线的凹凸与拐点机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理2.(凹凸判定法)(1) 在 I 内则 在 I 内图形是凹的 ;(2) 在 I 内则 在 I 内图形是凸的 .证:利用一阶泰勒公式可得两式相加说明 (1) 成立;(2)机动 目录 上页 下页 返回 结束 设函数在区间I 上有二阶导数证毕推论 例2. 判断曲线的凹凸性.解:故曲线在上是向上凹的.说明:1) 若在某点二阶导数为 0 ,2) 根据拐点的定义及上述定理, 可得拐点的判别法如下:若曲线或不存在,但在 两侧异号,则点是曲线的一个拐点.则曲线的凹凸性不变 .在其两侧二阶导数不变号,机

4、动 目录 上页 下页 返回 结束 例3. 求曲线的拐点. 解:不存在因此点 ( 0 , 0 ) 为曲线的拐点 .凹凸机动 目录 上页 下页 返回 结束 例4. 求曲线的凹凸区间及拐点.解:1) 求2) 求拐点可疑点坐标令得对应3) 列表判别故该曲线在及上向上凹,向上凸 ,点 ( 0 , 1 ) 及均为拐点.凹凹凸机动 目录 上页 下页 返回 结束 上凹下凹上凹有拐点无拐点 综上, 曲线在上为下凹;点是拐点. 令得的拐点及凹凸区间. 例5 求曲线解 定义域为:当时,不存在.不存在在上为上凹.内容小结1. 可导函数单调性判别在 I 上单调递增在 I 上单调递减2.曲线凹凸与拐点的判别+拐点 连续曲

5、线上有切线的凹凸分界点机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、函数的极值及其求法定义:在其中当时,(1) 则称 为 的极大点 ,称 为函数的极大值 ;(2) 则称 为 的极小点 ,称 为函数的极小值 .极大点与极小点统称为极值点 .注意:为极大点为极小点不是极值点2) 对常见函数, 极值可能出现在导数为 0 或 不存在的点.1) 函数的极值是函数的局部性质.为极大点 , 是极大值 是极小值 为极小点 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理 1 (极值第一判别法)且在空心邻域内有导数,(1) “左正右负” ,(2) “左负右正” ,(自证)点击图中任意处动画播放暂停例1. 求函数的极值 .

6、解:1) 求导数2) 求极值可疑点令得令得3) 列表判别是极大点，其极大值为是极小点，其极小值为定理2 (极值第二判别法)二阶导数 , 且则 在点 取极大值 ;则 在点 取极小值 .证: (1)存在由第一判别法知(2) 类似可证 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 求函数的极值 . 解: 1) 求导数2) 求驻点令得驻点3) 判别因故 为极小值 ;又故需用第一判别法判别.定理3 (判别法的推广)则:数 , 且1) 当 为偶数时,是极小点 ;是极大点 .2) 当 为奇数时,为极值点 , 且不是极值点 .当 充分接近 时, 上式左端正负号由右端第一项确定 ,故结论正确 .证:利用 在 点

7、的泰勒公式 ,可得例如 , 例2中所以不是极值点 .极值的判别法( 定理1 定理3 ) 都是充分的. 说明:当这些充分条件不满足时, 不等于极值不存在 .例如:为极大值 ,但不满足定理1 定理3 的条件.机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、最大值与最小值问题 则其最值只能在极值点或端点处达到 .求函数最值的方法:(1) 求 在 内的极值可疑点(2) 最大值最小值特别: 当 在 内只有一个极值可疑点时, 当 在 上单调时,最值必在端点处达到.若在此点取极大 值 , 则也是最大 值 . (小) 对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出的可疑点是否为最大 值点或最小值点 .(小)例3. 求函数

8、在闭区间上的最大值和最小值 .解: 显然且故函数在取最小值 0 ;在及取最大值 5.机动 目录 上页 下页 返回 结束 因此也可通过例3. 求函数说明:求最值点.与最值点相同 , 由于令( 自己练习 )在闭区间上的最大值和最小值 .( k 为某一常数 )例4. 铁路上 AB 段的距离为100 km , 工厂C 距 A 处20AC AB ,要在 AB 线上选定一点 D 向工厂修一条 已知铁路与公路每公里货运价之比为 3:5 ,为使货D 点应如何选取? 20解: 设则令得 又所以 为唯一的极小点 ,故 AD =15 km 时运费最省 .总运费物从B 运到工厂C 的运费最省,从而为最小点 ,问Km ,公路, 清楚(视角 最大) ? 观察者的眼睛1