二次函数-老师(共12页)

1、知识(zh shi)要点一、二次函数(hnsh)概念：1二次函数的概念(ginin)：一般地，形如yax2+bx+c（a,b,c是常数，a0）的函数，叫做二次函数。注意：二次项系数a0，而可以为零二次函数的定义域是全体实数2. 二次函数yax2+bx+c的结构特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次多项式。（含自变量的代数式是整式，自变量的最高次数是2， 二次项系数不为0.） 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项二、二次函数的解析式三种形式 一般式：yax2+bx+c （a，b，c为常数，a0）顶点式：ya(x-h)2+k 抛物线的顶点P（h，k）交点式：y=a(x-x1)(x-

2、x2) 仅限于与x轴有交点A（x1，0）和B（x2，0）的抛物线三、二次函数的图象和性质：四、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a. (决定了抛物线开口的大小和方向) 二次函数中，a作为二次项系数，显然a0 当时，抛物线开口(ki ku)向上，当时，抛物线开口(ki ku)向下；的绝对值越大，开口(ki ku)越小，反之的绝对值越小，开口越大。总结起来：决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定 开口的大小2. 一次项系数b （a和b共同决定抛物线对称轴的位置） 二次函数的对称轴是直线时，对称轴为轴；（即、同号）时，对称轴在轴左侧；（即、异号）时，对称轴在轴

3、右侧. ab的符号的判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则总结起来就是“左同右异”常数项c (决定了抛物线与轴交点的位置) 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正； 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为； 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置 总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的五、二次函数图象的平移1. 平移步骤： 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： 2. 平移(pn y)规律在原有函数(hnsh)的基础上“值

4、正右移(yu y)，负左移；值正上移，负下移”总的来说：“左加右减，上加下减”六、二次函数图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.七、二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便一般来说，有如下几种情况：一般

5、式：（，为常数，），适用条件：已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 顶点式：（，为常数，），适用条件：已知图像上点两坐标，且其中一点为抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 交点式（两根式）：（，是抛物线与轴两交点的横坐标）， 适用条件：已知图像上三点坐标，其中两点为抛物线与轴的两个交点（，0），（，0），一般选用交点式；八、掌握二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系(以a0为例）判别式二次函数a0对称轴：交点式：当x为全体实数时，y0一元二次方程 两根为（有两个不相等的实数根）（有两个相等的实数根）无实根九、二次函数常用(chn yn)解题方法总结： 求二次函数

6、(hnsh)的图象与轴的交点坐标(zubio)，需转化为一元二次方程； 求二次函数的最大（小）值利用顶点坐标公式，即当时，；或先配方利用顶点式求最值。 根据图象的位置判断二次函数中，的符号，或由二次函数中，的符号判断图象的位置，要数形结合； 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.考点分析考点一、二次函数的图象及性质【例1】(1)二次函数y3x26x5的图象的顶点坐标是()A(1,8) B(1,8) C(1,2) D(1，4)(2)已知抛物线yax2bxc(a0)的对称轴为直线x1，且经过点(1，y1)，(

7、2，y2)，试比较y1和y2的大小：y1_y2.(填“”“”或“”)解析：(1)抛物线的顶点坐标可以利用顶点坐标公式或配方法来求eq f(b,2a)eq f(6,23)1，eq f(4acb2,4a)eq f(43562,43)8，二次函数(hnsh)y3x26x5的图象(t xin)的顶点坐标是(1,8)故选A.(2)点(1，y1)，(2，y2)不在对称轴的同一侧，不能直接利用二次函数(hnsh)的增减性来判断y1，y2的大小，可先根据抛物线关于对称轴的对称性，然后再用二次函数的增减性即可设抛物线经过点(0，y3)，抛物线对称轴为直线x1，点(0，y3)与点(2，y2)关于直线x1对称y3y

8、2.a0，当x1时，y随x的增大而减小y1y3.y1y2.答案：(1)A(2)方法总结 1将抛物线解析式写成ya(xh)2k的形式，则顶点坐标为(h，k)，对称轴为直线xh，也可应用对称轴公式xeq f(b,2a)，顶点坐标eq blc(rc)(avs4alco1(f(b,2a)，f(4acb2,4a)来求对称轴及顶点坐标2比较两个二次函数值大小的方法：(1)直接代入自变量求值法；(2)当自变量在对称轴两侧时，看两个数到对称轴的距离及函数值的增减性判断；(3)当自变量在对称轴同侧时，根据函数值的增减性判断触类旁通1 已知二次函数yax2bxc(a0)的图象如图，则下列结论中正确的是()Aa0B

9、当x1时，y随x的增大而增大Cc0D3是方程ax2bxc0的一个根考点二、利用二次函数图象判断a，b，c的符号【例2】如图，是二次函数yax2bxc(a0)的图象的一部分，给出下列命题：abc0；b2a；ax2bxc0的两根分别为3和1；a2bc0.其中正确的命题是_(只要求填写正确命题的序号)解析(ji x)：由图象可知(k zh)过(1,0)，代入得到abc0；根据(gnj)eq f(b,2a)1，推出b2a；根据图象关于对称轴对称，得出与x轴的交点是(3,0)，(1,0)；由a2bca2bab3b0，根据结论判断即可答案：方法总结 根据二次函数的图象确定有关代数式的符号，是二次函数中的一

10、类典型的数形结合问题，具有较强的推理性解题时应注意a决定抛物线的开口方向，c决定抛物线与y轴的交点，抛物线的对称轴由a，b共同决定，b24ac决定抛物线与x轴的交点情况当x1时，决定abc的符号，当x1时，决定abc的符号在此基础上，还可推出其他代数式的符号运用数形结合的思想更直观、更简捷触类旁通2 小明从如图的二次函数yax2bxc的图象中，观察得出了下面五个结论：c0；abc0；abc0；2a3b0；c4b0，你认为其中正确的结论有()A2个 B3个C4个 D5个考点三、二次函数图象的平移【例3】二次函数y2x24x1的图象怎样平移得到y2x2的图象()A向左平移1个单位，再向上平移3个单

11、位B向右平移1个单位，再向上平移3个单位C向左平移1个单位，再向下平移3个单位D向右平移1个单位，再向下平移3个单位解析：首先将二次函数的解析式配方化为顶点式，然后确定如何平移，即y2x24x12(x1)23，将该函数图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位就得到y2x2的图象答案(d n)：C方法(fngf)总结 二次函数图象(t xin)的平移实际上就是顶点位置的变换，因此先将二次函数解析式转化为顶点式确定其顶点坐标，然后按照“左加右减、上加下减”的规律进行操作触类旁通3 将二次函数yx2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数解析式是()Ay(x1)22 By(x1)

12、22Cy(x1)22 Dy(x1)22考点四、确定二次函数的解析式【例4】如图，四边形ABCD是菱形，点D的坐标是(0，eq r(3)，以点C为顶点的抛物线yax2bxc恰好经过x轴上A，B两点(1)求A，B，C三点的坐标；(2)求经过A，B，C三点的抛物线的解析式解：(1)由抛物线的对称性可知AEBE.AODBEC.OAEBEA.设菱形的边长为2m，在RtAOD中，m2(eq r(3)2(2m)2，解得m1.DC2，OA1，OB3.A，B，C三点的坐标分别为(1,0)，(3,0)，(2，eq r(3)(2)解法一：设抛物线的解析式为ya(x2)2eq r(3)，代入A的坐标(1,0)，得ae

13、q r(3).抛物线的解析式为yeq r(3)(x2)2eq r(3).解法二：设这个抛物线的解析式为yax2bxc，由已知抛物线经过A(1,0)，B(3,0)，C(2，eq r(3)三点，得eq blcrc (avs4alco1(abc0，,9a3bc0，,4a2bcr(3)，)解这个方程组，得eq blcrc (avs4alco1(ar(3)，,b4r(3)，,c3r(3).)抛物线的解析式为yeq r(3)x24eq r(3)x3eq r(3).方法总结 用待定系数法求二次函数解析式，需根据已知条件，灵活选择解析式：若已知图象上三个点的坐标，可设一般式；若已知二次函数图象与x轴两个交点的

14、横坐标，可设交点式；若已知抛物线顶点坐标或对称轴与最大(或小)值，可设顶点式触类旁通4 已知抛物线yeq f(1,2)x2(6eq r(m2)xm3与x轴有A，B两个交点，且A，B两点关于y轴对称(1)求m的值；(2)写出抛物线的关系式及顶点(dngdin)坐标考点五、二次函数(hnsh)的实际应用【例5】我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售(xioshu)当地政府对该特产的销售投资收益为：每投入x万元，可获得利润Peq f(1,100)(x60)241(万元)当地政府拟在“十二五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投入100万元的销售投资，在

15、实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售在外地销售的投资收益为：每投入x万元，可获利润Qeq f(99,100)(100 x)2eq f(294,5)(100 x)160(万元)(1)若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少；(2)若按规划实施，求5年所获利润(扣除修路后)的最大值是多少；(3)根据(1)、(2)，该方案是否具有实施价值？解：(1)当x60时，P最大且为41万元，故五年获利最大值是415205(万元)(2)前两年：0 x50，此时因为P随x的增大而增大，

16、所以x50时，P值最大且为40万元，所以这两年获利最大为40280(万元)后三年：设每年获利为y万元，当地投资额为x万元，则外地投资额为(100 x)万元，所以yPQeq blcrc(avs4alco1(f(1,100)x60241)eq blc(rc)(avs4alco1(f(99,100)x2f(294,5)x160)x260 x165(x30)21 065，表明x30时，y最大且为1 065，那么三年获利最大为1 06533 195(万元)，故五年获利最大值为803 1955023 175(万元)(3)有极大的实施价值方法总结 运用二次函数的性质解决生活和实际生产中的最大值和最小值问题是

17、最常见的题目类型，解决这类问题的方法是：1列出二次函数的关系式，列关系式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围2在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值和最小值触类旁通5 一玩具厂去年生产某种玩具，成本为10元/件，出厂价为12元/件，年销售量为2万件今年计划通过适当增加成本来提高产品档次，以拓展市场若今年这种玩具每件的成本比去年成本增加0.7x倍，今年这种玩具每件的出厂价比去年出厂价相应提高0.5x倍，则预计今年年销售量将比去年年销售量增加x倍(本题中0 x11)(1)用含x的代数式表示(biosh)，今年生产的这种玩具每件的成本为_元，今年生产的这种玩具每件的出

18、厂价为_元；(2)求今年这种玩具(wnj)的每件利润y(元)与x之间的函数(hnsh)关系式；(3)设今年这种玩具的年销售利润为w万元，求当x为何值时，今年的年销售利润最大？最大年销售利润是多少万元？注：年销售利润(每件玩具的出厂价每件玩具的成本)年销售量课后习题1抛物线yx26x5的顶点坐标为(A)A(3，4) B(3,4) C(3，4) D(3,4)2由二次函数y2(x3)21，可知(C)A其图象的开口向下B其图象的对称轴为直线x3C其最小值为1D当x3时，y随x的增大而增大3已知函数y(k3)x22x1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是(D)Ak4 Bk4Ck4且k3 Dk4且k34如

19、图，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系正确的是(A)(第4题图)Amn，kh Bmn，khCmn，kh Dmn，kh5如图，已知二次函数(hnsh)yx2bxc的图象(t xin)经过点A(1,0)，B(1，2)，该图象(t xin)与x轴的另一交点为C，则AC长为_(第5题图)解析：3把A(1,0)，B(1，2)代入yx2bxc得eq blcrc (avs4alco1(1bc0，,1bc2，)解得eq blcrc (avs4alco1(b1，,c2，)yx2x2，解x2x20得x11，x22，C点坐标为(2,0)，AC3.6抛物线yax2bxc上部分点的横坐标x，纵坐标y

20、的对应值如下表：x21012y04664从上表可知，下列说法中正确的是_(填写序号)抛物线与x轴的一个交点为(3,0)；函数yax2bxc的最大值为6；抛物线的对称轴是直线xeq f(1,2)；在对称轴左侧，y随x增大而增大解析：由图表可知当x0时，y6；当x1时，y6，抛物线的对称轴是直线xeq f(1,2)，正确；抛物线与x轴的一个交点为(2,0)，对称轴是直线xeq f(1,2)，抛物线与x轴的另一个交点为(3,0)，正确；由图表可知，在对称轴左侧，y随x增大而增大，正确；当xeq f(1,2)时，y取得最大值，错误7抛物线yx2bxc的图象如图所示，若将其向左平移2个单位，再向下平移3

21、个单位，则平移后的解析式为_解析(ji x)：yx22x由题中图象(t xin)可知，对称轴为直线x1，所以(suy)eq f(b,2)1，即b2.把点(3,0)代入yx22xc，得c3.故原图象的解析式为yx22x3，即y(x1)24，然后向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得y(x12)243，即yx22x.82011年长江中下游地区发出了特大旱情，为抗旱保丰收，某地政府制定了农户投资购买抗旱设备的补贴办法，其中购买型、型抗旱设备所投资的金额与政府补贴的额度存在下表所示的函数对应关系.(1)分别求y1和y2的函数解析式；(2)有一农户同时对型、型两种设备共投资10万元购买，请你设计一个能获得最大补贴金额的方案，并求出按此方案能获得的最大补贴金额解：(1)由题意，得5k2，keq f(2,5)，y1eq f(2,5)x；eq blcrc (avs4alco1(4a2b2.4，,16a4b3.2，)eq blcrc (avs4alco1(af(1,5)，,bf(8,5)，)y2