微积分第九章课件

1、微 积 分（下册）第九章 重积分二 重 积 分第一节二重积分的计算第二节三重积分第三节重积分的应用第四节第九章 重积分重积分与定积分一样，也是由实际问题的需要而产生的.定积分的被积函数是一元函数，积分范围是区间；而重积分的被积函数是二元函数或三元函数，积分范围是平面或空间的一个区域.我们研究的是二重积分和三重积分，统称为重积分.重积分和定积分虽然形式不同，但本质是一样的，都是一种和式的极限.我们仍通过四步，即分割、近似、求和、取极限来建立二重积分和三重积分的概念，并研究它们的性质、计算和应用.本章主要介绍重积分的概念、性质及应用，重点讲解二重积分和三重积分的计算方法.二 重 积 分第 一节一、

2、二重积分的概念引例1设f(x,y)为定义在闭区域D上的非负连续函数.以曲面z=f(x,y)为顶，D为底的柱体称为曲顶柱体(见图9-1).下面讨论如何计算曲顶柱体的体积.图 9-1一、二重积分的概念分析若函数z=f(x,y)=常数，则上述曲顶柱体变为平顶柱体，它的体积可用公式 体积=底面积高来计算.现在曲顶柱体的高是变化的，故不能用上述公式来求体积.回忆一下，求曲边梯形面积的方法，这里可采用类似的方法来求曲顶柱体的体积，分为下列几个步骤：(1)分割.将D分成n个小闭区域1,2,n(小区域的面积也用这些符号表示)，相应地把曲顶柱体分割成n个以i为底的小曲顶柱体，每个小曲顶柱体的体积记为Vi(i=1

3、,2,n)，则曲顶柱体的体积一、二重积分的概念(2)近似.设i为小闭区域i的直径(一个闭区域的直径是指区域上任意两点距离的最大值)，当i很小时，由于f(x,y)连续，f(x,y)在同一小闭区域内变化很小，因此可将小曲顶柱体近似看作小平顶柱体，于是可用平顶柱体的体积公式来计算.在每个i中任取一点(i,i)，以f(i,i)为高而底为i的小曲顶柱体(见图9-2)的体积为Vif(i,i)i(i=1,2,n).图 9-2一、二重积分的概念(3)求和.这个曲顶柱体体积(4)取极限.设=max1,2,n，当0时取上述和的极限，所得的极限便为曲顶柱体的体积V，即一、二重积分的概念引列2 设有一平面薄片占有xO

4、y面上的闭区域D,它的面密度为D上的连续函数(x,y),这里(x,y)0.计算该薄片的质量M.一、二重积分的概念分析若函数(x,y)=常数，则薄片的质量可用公式 质量=面密度面积来计算.现在面密度(x,y)是变化的，故不能用上述公式来求.这时仍可采用处理曲顶柱体体积的方法来求薄片的质量.分为下列几个步骤：(1)分割.将D分成n个小闭区域1,2,n(小区域的面积也用这些符号表示)，第i个小块的质量记为Mi(i=1,2,n)，则平面薄片的质量一、二重积分的概念(2)近似.设i为小闭区域i的直径，当i很小时，由于(x,y)连续，(x,y)在同一小闭区域内变化很小，因此这些小块就可以近似地看作均匀分布

5、的.在每个i中任取一点(i,i)(见图9-3),则Mi(i,i)i(i=1,2,n).图 9-3一、二重积分的概念(3)求和.平面薄片的质量(4)取极限.设=max1,2,n，当0时取上述和的极限，所得的极限便为平面薄片的质量M，即上面两个实例的实际意义虽然不同，但解决问题的方法具有共性，最后都归结为同一形式的和的极限，把这种和式的极限抽象为二元函数在平面闭区域D上二重积分的定义.一、二重积分的概念定义1设z=f(x,y)是定义在有界闭区域D上的有界函数，将D任意分成n个小区域 1,2,3,n.在每个小区域i内任取一点(i,i)(i=1,2,n)，作和式 (9-1)一、二重积分的概念当n无限增

6、大，各小区域中的最大直径0时，不论区域D如何分割，也不论(i,i)如何选取，如果和式(9-1)的极限存在，则称此极限为二元函数z=f(x,y)在区域D上的二重积分，记作一、二重积分的概念一、二重积分的概念和式(9-1)的极限存在时，称f(x,y)在区域D上是可积的.可以证明，如果函数f(x,y)在区域D上连续，则f(x,y)在区域D上一定是可积的.如果f(x,y)在区域D上是可积的，则和式(9-1)的极限存在，且与D的分法和点(i,i)的选取及积分变量用什么字母表示无关，其值只取决于被积函数和积分区域.注一、二重积分的概念因此，在直角坐标系下，常用平行于x轴和y轴的两组直线分割D，于是小区域的

7、面积为i=xjyk(i,j,k=1,2,n).在直角坐标系中，面积微元记为d=dxdy.所以，在直角坐标系中，二重积分可记为一、二重积分的概念当被积函数z=f(x,y)0时，曲顶柱体在xOy面下方，因f(xi,yi)0，而当被积函数z=f(x,y)0时，二重积分表示曲顶柱体的体积，即一、二重积分的概念取极限后依然小于或等于0，即故此时二重积分表示曲顶柱体体积的相反数，即一、二重积分的概念二、 二重积分的性质二重积分与定积分具有相似的性质.下面假定f(x,y)在区域D上可积.这些性质均可通过定义得到证明，请读者自己练习.二、 二重积分的性质性质1常数因子可提到积分号外面二、 二重积分的性质性质2

8、函数和(差)的积分等于各积分的和(差)，即二、 二重积分的性质性质3(积分区域的可加性)如果积分区域D被一曲线分成D1,D2两个区域，如图9-4所示，则图 9-4二、 二重积分的性质性质4(比较性质)如果在区域D上总有f(x,y)g(x,y)，则二、 二重积分的性质性质5如果在区域D上有f(x,y)1，A是D的面积，则二、 二重积分的性质性质6(估值性质)设M与m分别是z=f(x,y)在区域D上的最大值与最小值，A是D的面积，则二、 二重积分的性质性质1(二重积分的中值定理)如果函数f(x,y)在闭区域D上连续，A是D的面积，则在D内至少存在一点(,)使得二、 二重积分的性质证因为f(x,y)

9、在闭区域D上连续，则f(x,y)在闭区域D上一定存在最大值M和最小值m，有积分估值性可得二、 二重积分的性质 二重积分的中值定理的几何意义：在区域D上，以曲面f(x,y)为顶的曲顶柱体的体积等于以区域D上某一点(,)的函数值f(,)为高的平顶柱体的体积.二、 二重积分的性质【例1】二、 二重积分的性质二、 二重积分的性质【例2】二、 二重积分的性质【例3】二、 二重积分的性质二重积分的计算第 二 节第二节 二重积分的计算第一节讨论了二重积分的概念，按照二重积分的定义来计算二重积分对少数特别简单的情况是可行的，但对一般的被积函数和积分区域来说，这不是一种切实有效的方法.为此，我们首先对曲顶柱体的

10、体积进行分析，从而导出二重积分的计算方法，即把二重积分化为两次定积分来计算，这种方法称之为累次积分法.一、 在直角坐标系下计算二重积分利用二次积分计算二重积分1.先介绍X型区域和Y型区域.如果区域D是由直线x=a,x=b与曲线y=1(x),y=2(x)所围成的(见图9-5),即D=(x,y)|axb,1(x)y2(x)，其中函数1(x)，2(x)在区间a,b上连续，那么此区域称为X区域.这种区域的特点是：穿过内部且平行于y的直线与区域的边界相交不多于两点.图 9-5一、 在直角坐标系下计算二重积分类似地，如果区域D=(x,y)|cyd,1(y)x2(y)，其中函数1(y)，2(y)在区间c,d

11、上连续，那么此区域称为Y型区域(见图9-6).这种区域的特点是：穿过内部且平行于x的直线与区域的边界相交不多于两点.图 9-6一、 在直角坐标系下计算二重积分假设积分区域为X型区域，即D=(x,y)|axb,1(x)y2(x)，根据二重积分的几何意义，当f(x,y)0时，以曲面z=f(x,y)为顶的曲顶柱体(见图9-7)的体积.下面利用第六章中计算“平行截面面积为已知的立体体积”的方法来求这个曲顶柱体的体积.图 9-7一、 在直角坐标系下计算二重积分在区间a,b上任意取定一点x0，过x0作垂直于x轴的平面x=x0与曲顶柱体相交，截面是一个以区间1(x0),2(x0)为底，曲线z=f(x0,y)

12、为曲边的曲边梯形，因此，该截面的面积由于x0的任意性，过区间a,b上任意一点x，且垂直于x轴的平面与曲顶柱体相交得到的截面面积为一、 在直角坐标系下计算二重积分(9-2)由此可见，计算二重积分，可以化为计算两次定积分，故又称为二次积分.一、 在直角坐标系下计算二重积分类似地,若区域D为Y型区域,即D=x,y1(y)x2(y),cyd,则有(9-3)一、 在直角坐标系下计算二重积分如果积分区域既不是X型区域，又不是Y型区域，则可把D分成几部分(见图9-8)，使每个部分是X型区域或是Y型区域，每部分上的二重积分求得后，根据二重积分的性质2，它们的和就是在D上的二重积分.图 9-8一、 在直角坐标系

13、下计算二重积分在直角坐标系下计算二重积分的步骤是：(1)画出积分区域D的图形，判断是X型还是Y型区域.(2)确定二次积分的上、下限.若D为X型区域，则固定x后，过点x从下至上作y轴的平行线与区域D相交，该平行线与区域D的下方边界的交点(即穿入点)的纵坐标值1(x)为积分下限；而该平行线与区域D的上方边界的交点(即穿出点)的纵坐标值2(x)为积分上限.如果区域D的下方边界(或上方边界)不是由一个函数表达式表示，则需将区域D分成若干小区域，使每一小区域的下方边界(或上方边界)都由一个函数表达式表示.类似地，可以确定Y型区域的二次积分的上下限.(3)用式(9-2)或式(9-3)化二重积分为二次积分.

14、(4)计算二次积分的值.一、 在直角坐标系下计算二重积分【例4】图 9-9一、 在直角坐标系下计算二重积分解法2如图9-10所示，也可把D看成是Y型区域，即D可用不等式1y2,yx2来表示.图 9-10一、 在直角坐标系下计算二重积分【例5】图 9-11一、 在直角坐标系下计算二重积分【例7】图 9-12一、 在直角坐标系下计算二重积分【例8】一、 在直角坐标系下计算二重积分图 9-13一、 在直角坐标系下计算二重积分【例9】图 9-14一、 在直角坐标系下计算二重积分若先对y积分，则需将D分为两个区域D1和D2，显然此式计算起来要麻烦得多(请读者自己完成).由此可见，选择合适的积分次序，对于

15、计算二重积分是至关重要的.一、 在直角坐标系下计算二重积分【例10】图 9-15计算二重积分 D3xydxdy，其中区域D是由x=0，y=0及x2+y2=1所围成的第一象限的图形，如图9-15所示.一、 在直角坐标系下计算二重积分一、 在直角坐标系下计算二重积分【例11】图 9-16一、 在直角坐标系下计算二重积分利用对称性计算二重积分2.利用被积函数的奇偶性及积分区域D的对称性，常会化简二重积分的计算.有关对称性的结论为：(1)二重积分的奇偶对称性.设函数f(x,y)在闭区域D上连续，若闭区域D关于y轴对称，则一、 在直角坐标系下计算二重积分一、 在直角坐标系下计算二重积分(2)二重积分的轮

16、换对称性.设函数f(x,y)在闭区域D上连续，若闭区域D中将x与y互换后，一、 在直角坐标系下计算二重积分【例12】一、 在直角坐标系下计算二重积分(2)用曲线y=x3将积分域D分成D1和D2两部分(见图9-17).显然D1关于y轴对称，函数(x,y)关于x是奇函数；D2关于x轴对称，函数(x,y)关于y是奇函数.故图 9-17一、 在直角坐标系下计算二重积分二、 在极坐标下计算二重积分有些积分在直角坐标系下计算很困难，而积分区域边界线用极坐标表示较为简单.如本章开头所提出的关于球的体积的计算公式推导，学习了定积分的几何意义以后，我们已经知道球的体积V=2DR2x2y2d，其中D:x2+y2R

17、2，该二重积分在直角坐标系下计算极为麻烦(有兴趣的读者不妨试试)，而在极坐标系下计算就很简单，为此我们推导极坐标系下二重积分的计算.二、 在极坐标下计算二重积分在平面解析几何中我们知道，平面上任意一点的极坐标(r,)与它的直角坐标(x,y)的变换公式为x=rcos ，y=rsin ,其中r0,02或.下面介绍在极坐标下二重积分的计算公式.二、 在极坐标下计算二重积分设函数f(x,y)在区域D上连续，区域D的边界曲线如图9-18所示，r=r1()，r=r2()()，又设r1()与r2()在,上连续.图 9-18二、 在极坐标下计算二重积分在直角坐标系中，我们用平行于x轴与y轴的两簇直线划分区域D

18、为一系列小矩形，与此类似，在极坐标系中我们用一簇r为常数的同心圆和为常数的过极点的一簇射线束作划分.将极角分别为与+的两条射线和半径分别为r与r+r的两条圆弧所围成的小区域记作，则(9-4)二、 在极坐标下计算二重积分计算极坐标下的二重积分，也要化为累次积分.我们按下面三种情况予以说明.(1)极点O在区域D之外的情况，如图9-19所示.这时区域D可表示为D=(r,)|,r1()rr2()图 9-19二、 在极坐标下计算二重积分(2)极点O在区域D的边界上，如图9-20所示.这时区域D可表示为 D=(r,)|,0rr()，于是图 9-20二、 在极坐标下计算二重积分(3)极点O在区域D的内部，如

19、图9-21(a)所示.这时区域D可表示为D=(r,)|02,0rr()，于是二、 在极坐标下计算二重积分图 9-21二、 在极坐标下计算二重积分二、 在极坐标下计算二重积分当区域D是圆或圆的一部分，或者区域D的边界方程用极坐标表示较为简单，或者被积函数为 等形式时，一般采用极坐标计算二重积分较为方便.注二、 在极坐标下计算二重积分【例13】注二、 在极坐标下计算二重积分【例14】图 9-22二、 在极坐标下计算二重积分二、 在极坐标下计算二重积分【例15】二、 在极坐标下计算二重积分【例16】图 9-23二、 在极坐标下计算二重积分二、 在极坐标下计算二重积分【例17】二、 在极坐标下计算二重

20、积分图 9-24二、 在极坐标下计算二重积分【例18】图 9-25计算二重积分I=Darctan yxd，其中D是由圆周x2+y2=4,x2+y2=1，直线y=x及x轴所围成的第一象限内的区域.解考察积分区域和被积函数都宜用极坐标计算.积分区域D如图9-25所示，用极坐标可表示为D=(r,)|04,1r2,二、 在极坐标下计算二重积分【例19】二、 在极坐标下计算二重积分图 9-26三重积分第 三 节一、 三重积分的概念类比引入1.在定积分和二重积分的讨论中，我们曾讲过有共性的实例，即求非均匀物体的质量.如果物体的密度是该物体上点P的连续函数f(P)，那么物体的质量根据物体的不同几何形状，便有

21、不同的积分概念.(1)物体是一个细的直线棒，则非均匀细棒的质量为其中f(x)是线密度函数(点P即为点x)，直线棒占有区间为a,b，于是一、 三重积分的概念(2)物体是一块平面薄片，则非均匀薄片的质量为其中f(x,y)是面密度函数点P即为点(x,y)，薄片占有区域为D(D为xOy面上的闭区域)，于是一、 三重积分的概念(3)如果物体是一空间立体，它占有空间为，又该如何计算它的质量呢？我们把空间立体任意分成n个小立体vi(i=1,2,n)，且以vi表示第i个小立体的体积，在小立体vi上任取一点Pi(i,i,i)，显然小立体的质量近似等于f(i,i,i)vi(i=1,2,n),于是，立体的总质量近似

22、地等于和式一、 三重积分的概念令为这些小立体的最大直径(直径定义如前描述)，我们自然会想到，当0时，上面的和式就会趋于这个立体的总质量，也就是说，立体的总质量为这种和式极限与定积分、二重积分的和式极限结构形式类似.它不仅在质量计算中，而且在物理、力学、工程计算中也经常会遇到，由此引出三重积分定义.一、 三重积分的概念三重积分定义2.定义2设f(x,y,z)是空间有界闭区域上的有界函数.将任意分成n个小闭区域v1,v2,vn，其中vi表示第i个小闭区域，也表示它的体积.在每个vi上任取一点(i,i,i)，作乘积f(i,i,i)vi(i=1,2,n)，如果当各小闭区域直径中的最大值趋于0时，这个和

23、式极限总存在，则称此极限为函数f(x,y,z)在闭区域上的三重积分，记作即 (9-5)其中dv称为体积微元.一、 三重积分的概念在直角坐标系中，如果用平行于坐标面的平面来划分，那么，除了包含的边界点的一些不规则小闭区域外，得到的小闭区域vi均为长方体.设长方体小闭区域的边长为xj,yk,zl，则vi=xjykzl.因此，在直角坐标系中，有时也把体积微元dv记作dxdydz，而把三重积分记作f(x,y,z)dxdydz，其中dxdydz称为直角坐标系中的体积微元.二、 三重积分的计算由计算二重积分的方法推广知，计算三重积分的基本方法是将三重积分化为三次定积分来计算.下面将在不同坐标系下分别讨论三

24、重积分化为三次定积分的计算方法，且只限于叙述计算方法，不作理论证明.二、 三重积分的计算在直角坐标系下计算三重积分1.1）投影法设函数fx,y,z在空间闭区域上连续，平行于z轴的任何直线与区域的边界曲面S的交点不多于两个.闭区域在xOy面上的投影为平面闭区域Dxy(见图9-27).以Dxy的边界为准线作母线平行于z轴的柱面.这柱面与曲面S的交线从S中分出的上、下两部分，它们的方程分别为S1:z=z1x,y,S2:z=z2x,y,其中z1x,y,z2x,y在Dxy上连续,并且z1x,yz2x,y.图 9-27二、 三重积分的计算式(9-8)把三重积分化为先对z、次对x、最后对y的三次积分.二、

25、三重积分的计算(1)类似地，如果平行于x轴或y轴且穿过闭区域内部的直线与的边界曲面S相交不多于两点，当把投影到yOz面上或zOx面上时，也可写出相应的三次积分.(2)若平行于坐标轴且穿过闭区域内部的直线与边界曲面S的交点多于两个,可仿照二重积分计算中所采用的方法,将分成若干个小区域来讨论.注二、 三重积分的计算【例20】二、 三重积分的计算【例21】计算三重积分xdxdydz，其中为三个坐标面及平面x+2y+z=1所围成的闭区域.解作闭区域如图9-28所示.图 9-28二、 三重积分的计算二、 三重积分的计算2）截面法计算三重积分也可以化为先计算一个二重积分、再计算一个定积分，即所谓截面法(或

26、先二后一法).设空间闭区域 =x,y,zx,yDz,c1zc2,其中Dz是竖坐标为z的平面截闭区域所得到的一个平面闭区域(见图9-29)，则有(9-9)图 9-29二、 三重积分的计算【例21】二、 三重积分的计算3）利用对称性计算在计算二重积分时，利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性可化简积分的计算，同理，对三重积分也有类似的结果.设f(x,y,z)在空间闭区域内连续.(1)若f(x,y,z)=f(x,y,z)，且关于yOz面对称或f(x,y,z)=f(x,y,z)，且关于zOx面对称或f(x,y,z)=f(x,y,z)，且关于xOy面对称,则二、 三重积分的计算(2)若f(x,y,z)=

27、f(x,y,z)，关于yOz面对称，则其中1=x,y,zx,y,z,x0.同理，对f(x,-y,z)=f(x,y,z),关于zOx面对称或f(x,y,-z)=f(x,y,z),关于xOy面对称也有类似的结论.二、 三重积分的计算(3)若f(x,y,z)=f(x,y,z)，f(x,y,z)=f(x,y,z)，关于yOz,zOx面对称，则其中1=x,y,zx,y,z,x0,y0.同理，对f(-x,y,z)=f(x,y,z),f(x,y,-z)=f(x,y,z),关于yOz,xOy面对称或f(x,-y,z)=f(x,y,z),f(x,y,-z)=f(x,y,z),关于zOx,xOy面对称也有类似的结

28、论.二、 三重积分的计算(4)若f(x,y,z)=f(x,y,z)，f(x,y,z)=f(x,y,z)，f(x,y,z)=f(x,y,z)，关于yOz,zOx,xOy面对称，则其中1=x,y,zx,y,z,x0,y0,z0.(5)若x,y,z依次轮换(xyzx)后，不变，即关于x,y,z轮换对称,则二、 三重积分的计算【例24】解A的左边等于0，右边大于0，所以A不对；同理B,D不对;1关于zOx面、yOz面对称，且f(x,y,z)=z关于x,y均为偶函数，又2关于x,y,z轮换对称，所以C正确.二、 三重积分的计算在柱面坐标系下计算三重积分2.设M(x,y,z)为空间内一点，并设点M在xOy

29、面上的投影P的极坐标为(,)，则这样的三个数,z就称为点M的柱面坐标(见图9-31)，这里规定,z的变化范围为：0+,02,z+.三组坐标面分别为常数，即以z轴为轴的圆柱面；常数，即过z轴的半平面；z常数，即与xOy面平行的平面.图 9-31二、 三重积分的计算显然，点M的直角坐标与柱面坐标的关系为x=cosy=sin z=z.(9-10)要把三重积分f(x,y,z)dv中的变量变换为柱面坐标，用三组坐标面常数，常数，z常数，把分成许多小闭区域，除了含的边界点的一些不规则小闭区域外，这种小闭区域都是柱体.现在考虑由,z各取得微小增量所成的柱体体积(见图9-32).这个体积等于高与底面积的乘积.

30、其中高为dz，底面积在不计高阶无穷小时为dd(即极坐标系中的面积微元)，于是得 dv=dddz，二、 三重积分的计算图 9-32二、 三重积分的计算这就是柱面坐标系中的体积微元.再由关系式(9-10)得其中F(,z)=f(cos,sin,z)，式(9-11)就是把三重积分的变量从直角坐标变换为柱面坐标的公式.变量变换为柱面坐标后的三重积分的计算，则可化为三次定积分来进行.化为三次定积分时，积分限应根据,z在积分区域中的变化范围来确定，下面通过实例来说明.(9-11)二、 三重积分的计算【例25】二、 三重积分的计算在球面坐标系下计算三重积分3.设M(x,y,z)为空间内一点，则点M也可用这样三个有次序的数r,来确定，其中r为原点O与点M之间的距离，为有向线段OM与z轴正向所夹的角，为从正z轴来看自x轴按逆时针方向转到有向线段OP的角，这里P为点M在xOy面上的投影(见图9-34).这样的三个数r,称为点M的球面坐标，这里r,的变化范围是0r0且在D上连续，则平面薄板的质量上述公式可以推广到空间物体的质量其中(x,y,z)为物体在点(x,y,z)处的密度，为物体占有的空间