高三数学诊断性考试理科试题(含答案解析)

1、第页 第页 高考数学理科试题（含答案）第I卷（共60分）、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.若复数z满足i (i是虚数单位)，则z=() z iA. 1 B . -1 C . i D . i2.已知集合A 2,0, 2 , B2 一 一 一 . . 一 . . 一 .xx 2x 3 0 ,集合P AI B,则集合P的子集个数是A. 1 B2 C . 3 D .4.下表是某厂节能降耗技术改造后生产某产品过程中记录的产量X （吨）与相应的生产能耗 y （吨标准煤）的几组对照数据，用最小二乘法得到y关于x的线性回归方程 ? 0.7

2、x 则？（）2x y 4.已知实数x, y满足 x 2y 4 ,则z 3x 2y的最小值是() y 0A. 4B . 5 C. 6 D. 75.执行如图所示的程序框图，若输入t1,3 ,则输出s的取值范围是（）图I图2A.e2,1 B . 1,e C. 01 D . e2,e6.甲、乙、丙三人各买了一辆不同品牌的新汽车，汽车的品牌为奇瑞、传祺、吉利 .甲、乙、丙让丁猜他们三人各买的什么品牌的车，丁说：“甲买的是奇瑞，乙买的不是奇瑞，丙买的不是吉利.”若丁的猜测只对 了一个，则甲、乙所买汽车的品牌分别是（A.吉利，奇瑞b .吉利，传祺 c. 奇瑞，吉利D .奇瑞，传祺7.如图1,四棱锥P ABC

3、D中，PD 底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,M是侧棱PD上靠近点P的四等分点，PD 4.该四棱锥的俯视图如图 2所示，则 PMA的大小是（BD8.在区间A.7129.双曲线3rc.56712,上随机取一个实数 X,2 2-C.12则事件1 J3sin x cosx J2”发生的概率是（）2 xE ,匚.2a2 y b21 （a 0, b 0）的离心率是 J5 ,过右焦点F作渐近线l的垂线，垂足为 M ,若OFM的面积是1,则双曲线E的实轴长是（）10.已知/C-x2 y2A.夜 B ,272C. 1 D222by1 a b ；为 x2r2,圆 C2：(x a)2 (y b)2 (r 0)

4、交于不同的 A(x1，y1), B(x2,y2)两点，给出下列结论：a(x1 x2) b(y1 y2) 0；2axi正确结论的个数是（）A. 0 B . 1 C. 2 D11. ABC 中，AB 5, ACuuin uuur10, AB AC25 ,点P是 ABC内（包括边界）的一动点，且uuu 3 uuu 2 uuur AP -AB - AC (55uur2 ,则AP的最大值是（3、32b , V37c.12.对于任意的实数x 1,e,总存在三个不同的实数y 1,4,使得 y2xe1 y ax In x 0 成立，则实16 2 ree-) e数a的取值范围是()16 31616 2 3A-

5、- B - (0,-C.-,e2 3)e eee e第II卷（共90分） # 二、填空题(每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上).(2 x)(x 1)4的展开式中，x2的系数是 .奇函数f(x)的图象关于点(1,0)对称，f(3) 2,则f(1) .已知圆锥的高为3,侧面积为20 ,若此圆锥内有一个体积为 V的球，则V的最大值为.如图，在 ABC中，BC 2, ABC AC的垂直平分线DE与AB,AC分别交于D, E两点, 3且DE 亚，则BE2.2三、解答题 (本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.).已知数列 an的前n项和Sn满足：aan S1 Sn .(

6、i)求数列 an的通项公式；(n)若a。 0 ,数列log 2 |n的前n项和为Tn,试问当n为何值时，Tn最小？并求出最小值.十九大提出，加快水污染防治，建设美丽中国 .根据环保部门对某河流的每年污水排放量X (单位:吨)的历史统计数据，得到如下频率分布表：(I)求在未来3年里，至多1年污水排放量 X 270,310的概率;(n)该河流的污水排放对沿河的经济影响如下：当 X 230,270时，没有影响；当 X 270.310时,经济损失为10万元；当X 310,350时，经济损失为60万元.为减少损失，现有三种应对方案：方案一：防治350吨的污水排放，每年需要防治费 3.8万元；方案二：防治

7、310吨的污水排放，每年需要防治费 2万元；方案三：不采取措施.试比较上述三种文案，哪种方案好，并请说明理由 第页第页 .如图，在五面体 ABCDPN中，棱PA 底面ABCD , AB AP 2PN .底面ABCD是菱形,BAD 3(I)求证：PN/ AB；(n )求二面角 B DN C的余弦值. 22x y.如图，椭圆E:2 与 1(a b 0)的左、右焦点分别为 F2, MF2 x轴，直线MF1交y轴 a b于H点，OH , Q为椭圆E上的动点，F1F2Q的面积的最大值为1.4(I)求椭圆E的方程;(n)过点S(4,0)作两条直线与椭圆 E分别交于A、B、C、D ,且使AD x轴，如图，问

8、四边形ABCD的两条对角线的交点是否为定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由a.已知函数f (x) ax 一 4ln x的两个极值点x1，x2满足xx?,且e x 3,其中e为自然对数的x底数.(i)求实数a的取值范围;(n)求f(x2) f (x1)的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选彳4-4 :坐标系与参数方程以直角坐标系的原点 O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且在两种坐标系中取相同的长度单位.曲线C的极坐标方程是2 16.1 3cos(I)求曲线C的直角坐标方程；(n)设曲线C与x轴正半轴及y轴正半轴交于点 M,N,在第

9、一象限内曲线 C上任取一点P ,求四边形 第页OMPN面积的最大值.23.选彳4-5 :设函数 f(x) x a x 3a .(i)若f(x)的最小值是4,求a的值；(n)若对于任意的实数 x R,总存在a 2,3 ,使得m2 4 m f (x) 0成立，求实数m的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: ABBCC 6-10: ACBDD 11、12: BA二、填空题13.1614. 215.25616.- . 3812三、解答题.解：(I)由已知a1an S Sn,可得当n 1时，a； a1 a1，可解得a1 0 ,或a1 2 ,当n 2时，由已知可得2冏1 & Sn 1 ,两式相减得 明 a

10、n 1) an.0.若ai0 ,则an 0 ,此时数列an的通项公式为an若 a1 2 ,则 2俎 an i) an,化简得 an 2an1,即此时数列an是以2为首项，2为公比的等比数列，故 an 2n.综上所述，数列an的通项公式为an 0或an 2n.(n)因为烝0,故a。 2n.、ra设bn log2，则bn n 5 ,显然bn是等比数列，32由n 5 0解得n 5, 当n 4或n 5 , Tn最小，日/古注5( 4 0)最小值为T5 10.21.解：(I)由题得 P(270 X 310) 0.25 一，41设在未来3年里，河流的污水排放量X 270310的年数为Y,则Y: B(3,-

11、).4设事件“在未来3年里，至多有一年污水排放量X 270,310 ”为事件A,则0 3 3132127P(A) P(Y 0) P(Y 1) C3(-)C3(-)- -.444 3227在未来3年里，至多1年污水排放量 X 270,310的概率为 三.32(n)方案二好，理由如下：由题得 P(230 X 270) 0.74, P(310 X 350) 0.01 .用S1，S2,S3分别表示方案一、方案二、方案三的经济损失.则S 3.8万元.S2的分布列为:Sz7 62P0.990.01E(S2) 2 0.99 62 0.01 2.6.S3的分布列为:$口01060P0.7410.25p0.01

12、E(S3) 0 0.74 10 0.25 60 0.01 3.1.，三种方案中方案二的平均损失最小，所以采取方案二最好.解：(I)在菱形 ABCD 中，AB/ CD, 第页第页 第页 CD 面 CDPNAB 面CDPN , AB/ 面 CDPN .又 AB 面 ABPN ,面 ABPN I 面CDPN PN , AB/ PN .(n)作CD的中点M ,则由题意知AM AB ,. PA 面ABCD ,PA AB, PAAM .如图，以A点为原点，建立空间直角坐标系B r设AB2 ,则 B(2,0,0) , C(1,V3,0),D( 1,73,0) , N(0,0,2),jjurBD_ uuur(

13、3,百0) , DN(1, .3,2)uurCD ( 2,0,0).设平面BDN的一个法向量为r ni(M, y)，则由nujurBDr jur0, n1 DN0,3x1 、3 yl 0Xi. 3yi 24令X1yV3, Z11,r r即n1(1 后)，同理,设平面rDNC的一个法向量为n2(X2, y2,Z2)由n2uuurBDr uurn2 DN0,得 x23 y2 2z22X2 0令Z21,rx20 ,即 n2、.3(0,-2-,1)cosni,n2r r n1 n2等即二面角DNc的余弦值为435.720.解:(i)设F(c,0),由题意可得2 c2 a2 y b21,即 yMba O

14、H是 F1F2M的中位线，且 OH|MF2 | 也，即 b- Y2,整理得 a2 2b4. 2 a 2又由题知，当Q在椭圆E的上顶点时，F1F2M的面积最大,1222一 - - 2c b 1 ,整理得 bc 1,即 b (a b ) 1 , 2联立可得2b6 b4 1,变形得(b2 1)(2b4 b2 1) 0,解得b2 1,进而a2 2.2，椭圆E的方程式为y2 1. 2(n )设 A(x1，y1)，B(X2,y2),则由对称性可知 D(X1, y1)，B%, y1).设直线AC与x轴交于点(t,0),直线AC的方程为x my t(m 0),联立my t,消去y2 12)y22mtyt2 2

15、0,2mtt2 2. y1y2yy2m2 2由A、B、S三点共线kASkBS ，即y1x1 4y2x2 4将 x1 my1 t , x2my2 t 代入整理得 y1(my2 t t) y2(my1 t 4) 0,即 2my1y2 (t 4)( yy2)一 2 一 一2m(t 2) 2mt(t 4)m2 2 一“ 110 ,化简得2m(4t 2) 0,解得t ,2故直线AC过定点(-,0).同理可得BD过定点(工,0), 221于是直线AC的方程为x my 1, 2,一,一 1直线AC与BD的交点是定点，定点坐标为 (1,0).2ax 4x a2，x2a 421.解：(I) f (x) a /一

16、 x x由题意知x1,x2即为方程ax24x0的两个根.由韦达定理:x1x2Xix2Xix241x2x24x2x2 1入2 I又yx2 在x2e,3上单调递增，(4e 6、a (口,5)(n) f (x2) f (x1) ax241n x2 ax241n x1,x2xiXi ,f (X2)X2f (x1)ax24lnx2ax2 axx2,14ln -x2c ,1、2a(x2)X28ln x2,4x2代入得f(x2) f(xi)8x2(x281nx228(x； 1)x28ln x2,令tx2 (e2，于是可得h(t)8t 8164故h(t)- (t 1)2t4(t2 2t 1)t(t1)24(t 1)2 t(t 1)2 h(t)在(e2,9)上单调递减,32 f (x2)f (Xi)( 8ln 3,5旦)2)e 122.解：(I)由题可变形为2cos216,22 o 2x y 3x16,2幺1.16(H)由已知有M (2,0),N(0,4),设 P(2cos,4sin),(0,-).2于7由 SOMPNSVOMPSVONP2 4sin4