金融工程学课件：10-3-1 期权二项式定价模型

1、第四节 期权定价10.4.1 期权二项式定价模型 110.4.1 期权定价模型 期权定价模型是用一个具体的公式来表述期权价格和影响期权价格的各个因素之间的关系。换句话说，如果已知各变量的数值，我们就可以对期权定价。 这里，我们主要以欧式看涨期权为例来说明期权定价模型的具体形式和这一模型怎样被推导出来的。因为欧式看跌期权可以通过平价公式求得。另外美式期权比较复杂，限于篇幅，暂不讨论。 2期权定价模型有两种，一种是“二项式模型”，另一种是“布莱克-斯科尔斯模型”。二项式模型所用的数学知识不深，比较简单和直观。布莱克-斯科尔模型的推导主要使用的是偏微分方程，虽然数学较深，但它是学者们所追随的和普遍使

2、用的一种方法。下面我们就来对这两个模型进行分析。需要说明的是，二者在结论上是一致的。3一、二项式模型（Binomial Option Pricing Model） 二项式模型或二项式期权定价模型，最初由卡科斯（Cox）、罗斯（Ross）和罗宾泰因（Rubinstein）在1979年金融经济学杂志（Journal of Financial Economics）上一篇论文所提出。后来卡科斯和罗宾斯泰因（1985年）又对之进行精细化，便成为今天所有期权定价模型教科书所遵循的范式。41基本假定 （1）市场不存在违约风险和交易费用 （2）期权所依赖的基础资产是股票 该股票的现期价值为 S，而且，股票价格

3、在以后每一期上升或下降的比例是固定的，分别设为 u 和 d。 （3）该期权为欧式看涨期权 （4）期权市场和股票市场是完全竞争的5 2单时期的二项式模型 假设当前是第 0 期，期权价格是 C。根据基本假设，第1期的股票价格可能上升，也可能下降。当第一种状态发生时（价格上升），股票价格由S变为Su；当第二种状态发生时（价格下降），股票价格由S变成Sd。SSuSdCCuCd6 这样，第1期的期权价格C也有两个取值：上升（ Cu ）或下降（Cd）。由于这种图形像一个叉开的树枝，所以被形象地称为“二叉树（Binomial Tree）”。 左图反映了股票价格的运动过程，第 0 期价格为 S，第1期价格为

4、Su 或 Sd 显然：7右图反映了欧式看涨期权价格的运动过程，第 0 期价格为 C，第 1 期的价格为 Cu 或 Cd。在一时期假设下，第 1 期也是期权的到期日，设期权执行价格为E，这样我们可以知道 Cu 和 Cd 的值： 上述期权价格 Cu 和 Cd 可以同时处于溢价 (In - the - money) 状态。 8假设： Cu 处于溢价状态，即 S(1+u) E， Cd 处于损价状态，即 S(1+d） E； 投资者可以以一个无风险的利率 r 大量借入或借出资金（或者是无风险债券），d r 50的时候，股票价格的变动率（或收益率）就趋向于服从一个对数正态分布。盖利茨（1994年）比较了n=1，n=10和 n=50 时的股票价格变化图式，检验了上述结果。 第二，当 n 足够大时，上述 n 时期的期权定价公式就会收敛于布莱克-斯科尔斯定价公式。其实上面的叙述已经隐含了这层意思。感兴趣的读者可以证明，当 ，n时期期权定价公式是否就是布莱克-斯科尔斯公式。 33 第三，在很多情况下，尽管二项式模型有很多缺点，但它能适用于所有期权的定价，特别是运用于美式期权和一些新式期权之中。由于篇幅的原因，这里我们不再说述。34练习与思考什么是二项式期权定价？它建立在哪些假设条件基础上? 你是如何看待二项式定价的正确性的？如何用二项式定价模型计算期权