自动控制原理第7章-离散控制系统分析课件

1、目 录第1章绪 论第2章自动控制系统的数学模型第3章自动控制系统时域分析第4章根轨迹法第5章频域分析法第6章自动控制系统的设计与校正第7章离散控制系统分析第8章非线性控制系统分析第7章离散控制系统分析自动控制系统的设计一般分为系统分析和系统综合两大内容，系统分析指给定系统的结构和参数，采用时域分析方法或频域分析方法，通过计算与作图来求得系统可以实现的性能的过程。前几章讲述的内容都是系统分析的内容。系统综合是系统分析的逆命题，即已知控制系统所要实现的性能，设法构成、实现满足给定性能要求的控制系统的过程。控制系统的分析方法有时域分析法、根轨迹法、频率分析法等，而在系统分析的基础上将原有的系统的特性

2、加以修正与改造，利用校正装置使得系统能够实现给定的性能要求，这个过程称为系统校正。系统校正过程也是系统综合的过程。经典控制理论中的系统校正研究所采用的方法主要有根轨迹法和频率法。两种方法可以自成体系独立进行，也可以互为补充。本章以频率法为主讲述系统校正的若干问题。7.1 信号的采样与保持一、 信号的基本形式(basic form of signal)1)连续信号 (continuous ) 2）采样信号sampling3）采样保持信号(sampling holding)因此，一个计算机控制系统包括四种信号：连续信号、采样信号、采样保持信号、数字信号。4）数字信号(digital)：用量化单位q

3、来度量采样信号幅值后所得的信号。如图d量化图d整个计算机控制系统信号变换过程如下：模拟信号采样信号数字信号采样采样保持信号模拟信号-+模拟信号采样信号数字信号数字信号模拟信号量化、保持功能由A/D转换器完成，采样开关为软开关，由程序的脉冲序列完成，故整个计算机控制系统信号变换过程等效如下：经A/D转换器量化经采样开关经保持经D/A转换二、信号的数学表示(math form of signal )1、理想采样开关的数学表示单位脉冲函数是一个幅值为1，宽度为0的脉冲量，图形表示如右，其数学表达式为由于理想采样开关的闭合时间很短，所以图中其波形看作是一个有强度、无宽度的脉冲序列，其数学表达式为其中2

4、、采样信号的数学表示连续信号用 表示，采样信号用 表示。KTf(t)f*(t)由采样过程知，连续信号与采样信号分别是采样开关的输入/输出信号，则有KTf(t)f*(t)3、零阶保持器的数学表示(zero-order holder)保持器有零阶保持器、一阶保持器、二阶保持器等。实际中，用的最多的是零阶保持器。其图如下由图得，零阶保持器的数学表示为：三、 数字控制系统中采样周期T的确定1、理论依据香农采样定理：为了使采样信号能不失真的反映连续信号 的变化规律，采样频率 至少应该是 频谱的最高频率 的两倍,即采样定理给出了采样周期的上限值：2、实际过程中T的选择因素(采样周期:sampling pe

5、riod)理论上，采样周期越小，离散信号复现连续信号的精度越高，但在实际操作中，采样周期不应小于设备输入/输出及计算机执行程序消耗的时间 ，即 T太小：增加计算机的计算负担；同时，采样间隔太短，偏差变化不大且调节过于频繁，使得执行机构不能及时响应。 T太大：调节时间隔长，干扰输入得不到及时调节，系统动态品质变坏，对某些系统，过大的采样周期可能导致系统不稳定。 因此， 实际操作中，选择采样周期时，要综合考虑系统的下列因素。系统动态指标（dynamic criterion） 一般取 (settling time)为过渡时间（调节时间）:被控量进入偏离稳态值的误差为5(或2)的范围并且不再越出这个范

6、围所需的时间。2、系统的动态特性（dynamic character）若对象为 ，一般取 若对象为 ， 3、给定值的变化频率（variety frequency） 若加到被控对象上的给定值变化频率越高，采样频率也应越高以使给定值的改变得到快速反映。4、执行机构的类型(actuator type) 若执行机构动作惯性大，则采样周期可相应大一些，反之则可小些。5、计算机的运算速度(operation speed) 采样周期必须保证计算机执行控制算法的足够时间。各回路可选择不同的采样周期。 6、被控量的性质(quality of object)如温度对象，热惯性较大，反映较慢，调节不宜过于频繁，可选

7、择较大的采样周期，而对于流量对象，变化迅速，反映快，则选择较小的采样周期。常见被控对象的采样周期经验值如下表：被控量流量压力液位温度位置电流环速度环采样周期15s310s68s1020s1050 ms15 ms520 ms研究一个实际的物理系统，首先要解决它的数学模型和分析工具问题，计算机控制系统是一种采样控制系统，即离散系统。离散系统的研究方法有很多是与连续系统相对应的。线性连续控制系统线性离散控制系统微分方程差分方程拉普拉斯变换Z变换传递函数脉冲传递函数状态方程离散状态方程 7.2 Z变换及其应用 7.2.1 Z变换(Z transform）一、定义（definition）由前面得，采样信

8、号得数学表达式为：对上式两边取拉氏变换，令 则令 ，解得 ，则定义：几点说明：1、Z变换定义是关于z的幂级数。只有当级数收敛时，才称为采样函数的Z变换。2、Z变换是针对采样函数 而言。即是说Z变换由采样函数决定，它只对采样点有意义，反映的是采样时刻的信息，对非采样时刻不关心。故Z变换与采样函数是一一对应的。上述关系说明：一个采样函数 对应一个Z变换，一个Z变换对应一个采样函数, 但是由于一个采样函数 可对应无穷多的连续函数 ,因为采样函数只是考查得一些离散点的值。如下图所示： 3、Z变换的物理意义表现在延迟性上。上式中，通项 ，由 决定幅值， 决定时刻，称 为位移(延迟)算子,n为位移量。二、

9、Z变换的性质(character)1、线性性质2、延迟性质3、超前性质4、初值定理(initial value theorem)5、终值定理(finial value theorem)常见函数的Z变换表如下三、Z变换的求法(Z transform methods )1、级数求和法(series summing)(1)展开采样函数(expanding)(2)求拉氏变换(transforming)(4)然后按级数的性质写出级数的和函数(3)令例1 求单位阶跃函数 的Z变换解：因故例2 求 的Z变换求拉氏变换得令 令解：因2、部分分式法(partial fraction decomposition)

10、方法：已知 的表达式，将其化成部分分式之和，再查拉氏变换表例1 已知 ， 求解：查表得得用部分分式法求Z变换时，系数求法一般采用以下两种方法：1、凑（适用于展开项数不多的场合）2、留数法（适用于任何场合）设传递函数的一般表达式为：重根系数的求法单根系数求法当 时 也即特征方程有重根例：求的Z变换7.2.2 Z反变换(Z inverse transform)一、定义(definition)根据 求采样函数 或离散函数 的过程称为Z反变换。记为也可利用MATLAB中的命令residue进行部分分式展开，命令格式为：r,p,k=residue(num,den)二、求法(methods) 求Z反变换的

11、方法有长除法和部分分式法 1、长除法（幂级数展开法series expansion) 方法：将 展开成如下形式式中以 的升幂顺序排列，然后求出对应的 即可。先将分子分母分别按 的升幂排列，然后通过分子除以分母得到其幂级数的展开式。若 为两个有理多项式之比表示,即例1 设求解：分子除以分母得例2 求 的Z反变换写出前五项分子分母同除以 得解：按要求整理得长除后得则特点：此种方法在实际中应用较为方便，只需要计算有限项就够了，缺点是得到 的一般表达式较难。2、部分分式法(partial fraction decomposition)方法：将 展开成部分分式之和的形式，然后通过查表求出各部分分式的Z反

12、变换。需要指出的是：参照z变换表可以看到，所有z变换函数在其分子上都有因子z。因此，先把 除以z，将作为一个整体进行部分分式展开，然后将所得结果每项乘以z得 的部分分式。最后查表即可。下面按照f(z)的特征方程无重根和有重根两种情况举例说明。若其一般表达式如下：则按部分分式展开，得系数c的求法：（1）当 时，也即f(z)无重根时。例1 求 的Z反变换解：将上式变形得从而有特征方程 的解为则有解得所以故有查表得所以所以（2）当 时 也即特征方程有重根重根系数的求法单根系数求法令分母为0得分解因式得重根单根则例3 求 的Z反变换 则故查表得用z变换求解差分方程与连续系统用拉氏变换求解微分方程类似。

13、其思想是：首先通过Z变换，将离散时域问题转化到z 域中考虑，将差分运算转换为代数运算，然后通过Z反变换求得离散解 7.3.1差分方程(difference equation) 反映各采样时刻输出与输入之间的关系的方程。如：7.3 离散系统的数学模型步骤：先对差分方程进行Z变换，然后写出 最后求 的Z反变换例 用Z变换求 的解，已知初始条件为超前性质延迟性质将初始条件代入得解：对上述差分方程两边Z变换，利用超前性质得查表得总结：关于Z变换以及Z反变换的求法重点掌握部分分式法和差分方程求解法。7.3.2 脉冲传递函数一、定义连续系统的对象描述方式有：微分方程、结构方框图、传递函数等。离散系统对象描

14、述方式：差分方程、结构方框图及脉冲传递函数。二 开环系统的z传递函数三、串连环节的z传递函数离散系统串连时其z传递函数的求法与采样位置有关。结论：（1）当开环系统由多个线性环节串连而环节之间无采样开关隔开时，开环系统的z传递函数等于各个环节传递函数乘积的z变换。（2）当开环系统由多个线性环节串连而环节之间有采样开关时，开环系统的z传递函数等于各个环节z传递函数之乘积四、并联环节z传递函数 五、闭环z传递函数 -+举例：一个计算机控制系统结构如下所示，求其脉冲闭环传递函数利用Z变换线性性质及延迟性质得总结：以后可以直接将广义传递函数中的 项移到Z变换符号之外变成 ,其余部分按照前面的Z变换方法求

15、得。7.4离散系统的稳定性与稳态误差分析一、s域到z域的变换根据Z变换的定义有 ,当s平面上虚轴上的所有点对应在z平面的单位圆上当s平面的左半平面上的所有点对应在z平面的单位圆内s平面的右半平面上的所有点对应在z平面的单位圆外当二、离散系统的稳定性及稳定条件连续系统稳定判据（劳斯判据）：系统的闭环极点全部在s平面的左半平面内即小结：s平面的左右平面上的点对应z平面的单位圆内外。注意：从s平面到z平面的映射是唯一的，但从z平面到s平面的映射是多值的。根据s平面与z平面的映射关系:连续系统稳定条件s平面左半平面上的所有点对应离散系统在z平面的单位圆内。结论：离散系统稳定的条件，即：系统的所有闭环极

16、点都在z平面的单位圆内。三、离散系统的劳斯稳定判据判据：离散系统的闭环特征方程经过双线性变换 后，若特征方程的根全部具有负实部，则系统稳定。证明：令由步骤如下：当z平面单位圆上所有点映射到w平面的虚轴上当z平面单位圆内所有点映射到w平面的左半平面内当z平面单位圆外所有点映射到w平面的右半平面内举例 系统结构如右所示先求出闭环特征方程 ; 再做双线性变换,即将 代入 中,得到 ；最后用劳斯判据判定 的根是否全部在左半平面内。已知-求使闭环系统稳定的K的范围。解：系统闭环脉冲传递函数将 代入特征方程整理得特征方程三、参数对稳定性的影响1.开环增益对系统稳定性的影响由上面例子可以看出，开环增益K增大时，系统可能变得不稳定，即增大K对系统稳定性不利。2