课件：常微分方程

1、第九章微分方程解第一节 微分方程的基本概念凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.例 若未知函数是一元函数，称常微分方程，否则称偏微分方程. 本章只讨论前者. 方程中所含未知函数的导数的最高阶,称为微分方程的阶 .一阶微分方程高阶(n阶)微分方程使方程成立的函数称微分方程的解.微分方程的解的分类：(1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同.(2)特解: 确定了通解中任意常数以后的解.初始条件: 用来确定任意常数的条件.过定点的积分曲线;一阶:二阶:过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.例：以下函数 ,（

2、 ）可以看作某个二阶微分方程的通解： (A) y = c1 x2 + c 2 x + c 3 （B） x2 + y2 = c (C) y = ln(c1 x ) + ln(c 2 sinx ) （D）y = c1 sin2 x + c 2 cos2 x y = c1 e c2 + x 解：（B） x2 + y2 = c 中只有一个任意常数 ，不能是二阶微 分方程的通解 ；(A) y = c1 x2 + c 2 x + c 3 中有三个任意常数，也不能是二阶微 分方程的通解 ；(C) y = ln(c1 x ) + ln(c 2 sinx ) = lnc1 + lnc 2 + + ln x +

3、ln sinx = ln(c1 c 2 ) + ln x + ln sinx , 实质上只有一个任意常数 ，不能 是二阶微分方程的通解 ；（D）y = c1 sin2 x + c 2 cos2 x = (c1 - c 2 ) sin2 x + c 2 中 sin2 x 与 1 线性无关， （E）y = c1 e c2 + x =（ c1 e c2 ） e x ，实质上也只有一个任意常 数 ，不能是二阶微分方程的通解 ；有两个独立的任意常数，均是二阶微分方程的通解 ；第二节 可分离变量的微分方程为微分方程的通解.两边积分,为可分离变量的方程. 称则一 可分离变量的微分方程解例1解或解例2解例3求

4、解实例 二 齐次方程的微分方程称为齐次方程.2.解法作变量代换代入原式得1.定义两边积分即得通解. 注意：须将u代回.解例1解例2三 可化为齐次方程的方程的微分方程称为可化为齐次方程的方程.当c=c1 =0时，为齐次方程。我们看c，c1 不全为零时。第三节 一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式:上方程称为齐次的.上方程称为非齐次的.例如线性的;非线性的.一、线性方程齐次方程的通解为1. 线性齐次方程一阶线性微分方程的解法使用分离变量法2. 线性非齐次方程常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.实质: 未知函数的变量代换.作变换积分得所以一阶线性非齐次微分方程的通解为:对应齐

5、次方程的通解非齐次方程特解解例1解例2解例3解法:二、伯努利(Bernoulli)方程求出通解后, 将 代入即得原方程的通解 .代入上式解得原方程的通解为 例4解例5 两边关于 x 求导 ，得 由于 x = 1 时 ，f ( 1 ) = 0 , 故有 2 + C = 0 ， 从而 C = -2 . 为标准的一阶线性非齐次微分方程，其通解为 (1)形如的方程称为n阶线性微分方程, 特别, (2)称为n阶齐次线性微分方程. 补充 高阶线性微分方程(3)线性微分方程的解的结构先讨论二阶齐次线性方程也是(3)的解.定理1(4)进一步，则(4)就是就是(3)的通解.1. 齐次线性方程解的结构(2)推论(

6、齐次线性方程的叠加原理) 的n个线性无关的解, 则它们的任意线性组合即为方程(2)的通解.2. 非齐次线性方程解的结构回顾：一阶线性微分方程对应齐次方程的通解非齐次方程特解2. 非齐次线性方程解的结构定理2(5)的一个特解,(3)的通解,那么(5)的通解为定理3 (非齐次线性方程的叠加原理) 和的特解,例1解例2解(1)为二阶常系数齐次线性微分方程, 第四节 二阶常系数线性微分方程 于是方程通解为 其中p,q是常数.称一. 二阶常系数齐次线性微分方程(1)(2) 代数方程(2)称为微分方程(1)的特征方程,它的根称为特征根. (3)小结 特征根的情况通解的表达式 实根实根复根解特征方程为故所求

7、通解为例1例2解特征方程为解得故所求通解为解特征方程为故通解为例3设，计算极限的值。则原问题转化为求和函数在处的值故所求值为解：设例3证明二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程通解结构f(x)常见类型难点：如何求特解？方法：待定系数法.二 常系数非齐次线性微分方程 则综上讨论设特解为其中代入原方程,或利用下式来确定Q(x).解对应齐次方程通解特征方程特征根例1解对应齐次方程通解特征方程特征根代入原方程通解为例2得解对应齐次方程通解特征方程特征根代入得例3共轭解于是例4解例5解例6例7 某商品的需求量Q对P的弹性为E(P)=-Pln4，又知该商品的最大需求量为1600，求需求量Q对价格P的函数关系

8、。解E(P)= =-Pln4 即 解例8 过点A( )的曲线C位于平面XOY的第一象限内，已知C上任意一点P处的切线与Y轴的交点为B，在Y轴上的截距等于点P与B间的距离，求曲线C的方程。3. 二阶常系数线性微分方程的求通（特）解方法（1）二阶常系数线性齐次微分方程 a y + b y + c y = 0 情况 根据求解理论，为了求出该类方程的通解, 只要设法 求出它的两个线性无关的特解 就可以了 。令 y = Ax = e rx ( A 或者说 r = ln A 为待定常数 )， 代入方程整理后, 得: ( ar2 + br + c ) e rx = 0 = ar2 + br + c = 0

9、， 当 = b2 - 4ac 0 时, 求解一元二次方程 a r2 + b r + c = 0， 可找到两个不等的实根 r1 与 r2 . 这样, 我们实际上得到了原微分方程两个线性无关的特解: y1( x ) = e r1 x 与 y2( x ) = e r2 x .因此, 当 = b2 - 4ac 0 时, 原微分方程的通解为: y = c1 y1(x) + c2 y2(x) = c1 e r1 x + c2 e r2 x ( c1 , c2 是任意常数 ).经观察， y 、 y 、 y 应是同类型函数！只有指数函数 A x 才有此特性！ 当= b2 - 4ac 0 时, 因为 r1 =

10、r2 = - b / 2a ,求解一元二次方程 a r2 + b r + c = 0 ，我们此时只能得到一个特解: y1(x) = e r1 x = e r2 x 为了找到另一个线性无关的特解, 我们令: = y2(x) = u(x) e r1 x + r1 u(x) e r1 x , = y2(x) = u(x) e r1 x + 2r1 u(x) e r1 x + r12 u (x) e r1 x 将它代入原微分方程, 经整理后可得: au(x) + ( 2ar1 + b ) u(x) + ( ar12 + br1 +c ) u(x) e r1 x = 0 . 因为 = b2 - 4ac0

11、 且 r1 = - b / 2a , 故有 ( 2ar1 + b ) = 0 和 ar12 + br1 + c = 0 , 这样, 上面的等式简化成: au(x) = 0 , 或 u(x)= 0 ! 显然 , 可取 u ( x ) = x ! y2 (x) = u (x) y1(x) = u (x) e r1 x , 其中 u ( x ) 为待定的新未知函数 。于是, y2 (x) = u (x) e r1 x = x e r1 x 就是另一个与 y1(x) = e r1 x 线性无关的特解. y (x) = c1 y1 ( x ) + c2 y2 ( x ) = c1 x e r1 x +

12、c2 e r1 x = ( c1 x + c2 ) e - bx / 2a ( c1 , c2 是任意常数 ) .从而 当= b2 - 4ac 0 时, 原微分方程的通解是 : 当 = b2 - 4ac 0 时, 一元二次方程 a r2 + b r + c = 0 没有实 根 , 只有两个共轭的虚数根: ( 以后 , 为了方便计 , 我们称该一元二次方程是二阶线性常系数 微 分方程 a y + b y + c y = 0 的 特征方程 ) r =i , 其中 = - b / 2a , = ( 4ac b2 )1/2 / 2a , 以上推导方法失效. 仍沿用 “引进新未知函数 ” 的思路, 令

13、: y (x) = u(x) er x , ( r 为待定常数 , u(x) 为待定的新未知函数 ) = y (x) = u(x) e r x + r u (x) e r x , = y(x) = u(x) e r x + 2 r u (x) e r x + r2 u (x) e r x 代入原微分方程, 整理后得: = a u(x) + ( 2a r +b ) u(x) + ( a r2 + b r + c ) u(x) = 0 . 为了简化关于 u(x) 的微分方程,尽管此时已不能令 u(x) 的系数为零,但我们可以令 u(x) 的系数为零 ! 为此，取 r = - b / 2a , u

14、的方程化为:a u(x) + ( a r2 + b r + c ) u(x) = 0 , 或 u(x) + 2 u(x) = 0 , 其中= ( 4 a c b2 )1/2 / 2a . 方程至少有以下两个函数: u1(x) = cosx , u2(x) = sinx .故可取 y1(x) = ex cosx , y2(x) = ex sinx 由上面的推理过程可知,它们是原微分方程的两个特解.由于 y1 (x) / y2 (x) = ctgx 不是常数, 故它们也是两个线性无关的特解. 于是 , 当 = b2 - 4ac 0 时, 原微分方程的通解可以写为 : y (x) = c1 y1(x

15、) + c2 y2 (x) = c1 ex cosx + c2 ex sinx = ex ( c1 cosx + c2 sinx ) 什么函数的二阶导函数与原函数是同一类型函数 ？ 且它们的符号 相反？ 现将上面的讨论, 归纳总结成以下表格形式： 特征方程 微分方程 a r2 + b r + c = 0 的根 a y + b y + c y = 0 的通解= b2 - 4ac 0 互异实根r1 r2 y = c1 e r1 x + c2 e r2 x= b2 - 4ac = 0 重根 r = - b / 2a y = (c1x + c2 ) e - bx / 2a= b2 - 4ac 0 共轭

16、虚根r =i y = ex (c1 cosx + c2 sinx)由基本初等函数求导公式的启示, 容易找到满足上面微分例: 如果 x3, x3 + lnx 是方程 y + p(x) y = f (x) 的两个特解, 求（1） p(x) 与 f (x) 的表达式； （2）该方程的通解。解: 由已知 ，可以推知 lnx 是对应齐次方程 y + p(x) y = 0 的一个解 , 代入有：再将 x3 代入原方程，有： 同时，易见 1 是对应齐次方程 y + p(x) y = 0 的一个解 , 它与 lnx 线性无关 , 故对应齐次方程的通解为： y* = c1 lnx + c2 ；而原方程的通解为：

17、 y = c1 lnx + c2 + x 3 .(2)二阶常系数线性非齐次微分方程 a y + b y + c y = f ( x ) 情况定理: 如果 y*(x) 是非齐次方程 a y + b y + c y = f (x) 的一个特解, 而 y (x) 是对应的齐次方程 a y + b y + c y = 0 的通解, 则 y*(x) + y(x) 是非齐次方程 a y + b y + c y = f (x) 的通解.根据以上定理及二阶线性常系数齐次微分方程通解的求解公式可知 , 为求非齐次线性方程的通解, 关键是 求出它的一个特解 .为求非齐次线性方程的一个特解 , 我们仅对方程右段 f

18、 ( x ) 的两种 常见形式 进行求解。求解的方法采用待定系数法，求解的过程遵循如下不同情况操作。i ) f ( x ) = Pn ( x ) 情况 ，其中 Pn ( x ) 是 x 的一个 n 次多项式。可取特解猜想形式为： y*(x) = Qn ( x ) (b) 若特解猜想形式 y*(x) = Qn ( x ) 不成功，则可取特解形式为： y*(x) = x Qn ( x )(c)若特解猜想形式 y*(x) = x Qn ( x ) 仍不成功 ，则可取特解形 式为： y*(x) = x2 Qn ( x ) 说明: (a),(b),(c) 分别对应着 (a) 0不是特征方程 a r2 +

19、 b r + c = 0 的根，(b) 0 是单根 和 (c) 0 是重根 的情况。ii ) f ( x ) = m e x 情况 ，其中 是已知常数。若 不是特征方程 a r2 + b r + c = 0 的根，则可取特解形式为： y*(x) = e x Qn ( x ) (b) 若 是特征方程 a r2 + b r + c = 0 的单根，则可取特解形式为： y*(x) = x e x Qn ( x ) (c) 若 是特征方程 a r2 + b r + c = 0 的重根，则可取特解形式为： y*(x) = x2 e x Qn ( x ) 可取特解猜想形式为： y*(x) = k e x(

20、b) 若特解猜想形式 y*(x) = k e x 不成功，则可取特解形式为： y*(x) = k x e x(c) 若特解猜想形式 y*(x) = k x e x 仍不成功 ，则可取特解形式 为： y*(x) = k x2 e xiii ) f ( x ) = e x Pn ( x ) 情况 ，其中 是已知常数，Pn ( x ) 是 x 的一个 n 次多项式。说明: (a),(b),(c) 分别对应着 (a) 不是特征方程 a r2 + b r + c = 0 的根，(b) 是单根 和 (c) 是重根 的情况。iv ) f ( x ) = e x a cosx + b sin x 情况 ，其中

21、 , , a , b 是 已知常数。若 i 不是特征方程 a r2 + b r + c = 0 的根，则可取特解形式为: y*(x) = e x A cosx + B sin x ( A, B 为待定常数 )(b) 若 i 是特征方程 a r2 + b r + c = 0 的根，则可取特解形式为： y*(x) = x e x A cosx + B sin x ( A, B 为待定常数 )实例 综述之，在 二阶常系数线性非齐次微分方程 a y + b y + c y = f ( x ) 中 ， 如果 (a) 不是特征方程 a r2 + b r + c = 0 的根，则(c) 是特征方程 a r2

22、 + b r + c = 0 的重根 ，则 可取特解形式为： y*(x) = e x Qn ( x ) ；(b) 是特征方程 a r2 + b r + c = 0 的单根，则可取特解形式为： y*(x) = x e x Qn ( x）；可取特解形式为： y*(x) = x2 e x Qn ( x ) 。 （2）当 f ( x ) = e x a cos x + b sin x （ 可等于零 ） 时 ， 如果 (a) i 不是特征方程 a r2 + b r + c = 0 的根，则可取特解形式为: y*(x) = e x A cos x + B sin x ； (b) i 不是特征方程 a r2

23、 + b r + c = 0 的根，则可取特解形式为： y*(x) = x e x A cos x + B sin x 。（1）当 f ( x ) = e x Pn ( x ) （ 可等于零 ）时 ， 5 微分方程应用实例 实例 电饭锅（新产品）销售量预测问题 寻求销售量 x 随时间 t 变化的曲线 x = x（t）, 从而给决策部门提供 销售预测信息 ，以便在 最佳时间点 上适时推出新一代的产品。已知信息：任何时刻 销售量对时间的（瞬时）增长率 与该产品在市场上的 潜在市场占有率 成正比。销售量 x（t）的增加值为 ：x（t + t ）- x（t） ；它在该时段上的每单位时间增长率为 ：由此，销售量对时间的（瞬时）增长率 为：因该产品的现时市场占有率为 ： 故该产品在市场的 潜在市场占有率 即为 ：故它的增长率为 ：在某时段 t , t + t 上，这样，所研究的问题数学形式可写为：这是一个微分方程的初值问题，其中的微分方程是 一阶可分离变量型方程 ，求解过程如下：销售量 x( t ) 随时间 t 变化的曲线在 t = t* 点上，销售速度 x (t) 达到最大值，此时销售量为：容易算出：销售速度 x( t ) 随时间 t 变化的曲线