5空间问题基本概论

1、 8 Theory of Spatial Problems8.1 Differential Equations of Equilibrium8.5 Geometrical Equations and Physical Equations8.8 Axial Symmetry and Spherical Symmetry8.2 State of Stress at a Point8.3 Principal Stresses Maximum and Minimum Stresses即，已知x、y、z、xy、xz、yz求过P点任一斜面上的应力8.2 物体内任一点的应力状态过弹性体同一点P的不同截面上，

2、应力是不相同的，在空间问题中，可以用x，y，z，xy，xz，yz，来描述一点的应力状态State of Stress at a PointWhen the six stress components at a certain point P are known,we can find the stress acting on any inclined plane passing through the point.XNYNZNNxyzPABC过P点取图示四面体PABC为隔离体，其三个面平行于坐标面，各面上的应力分量如图所示,当四面体无限缩小时，则趋近于P点We isolate an eleme

3、ntary tetrahedron PABC, with its face ABC parallel to the inclined plane considered and its other three faces parallel to the coordinate planes. XNYNZNNxyzPABC将斜面ABC上的应力分解为XN、YN、ZN，斜面ABC的外法线为N，其方向余弦为：设ABC的面积为S，则四面体的体积为V，根据四面体的平衡条件：当四面体无限缩小时，The equilibrium condition of the tetrahedron in the x direc

4、tion yields整理得：From which we haveWhen the tetrahedron is made infinitesimal, the quotient will approach zero 最后得：同理得：设斜面ABC上的正应力为N剪应力NPABC由此可见：若已知某一点的六个应力分量x、y、z、xy、xz、yz，即可利用上述公式求斜面上的正应力和剪应力若ABC是物体的边界面，则XN、YN、ZN，即为面力分量X、Y、ZWhen the six stress components at a certain point P are known,we can find th

5、e normal and shearing stress acting on any inclined plane passing through the point.When the triangle ABC is on the boundary of a body, XN、YN、ZN will be the surface force components.空间问题的应力边界条件：上述式子即为应力分量的边界值与面力分量之间的关系The stress boundary conditions of a spatial problemThe relations between the bound

6、ary values of stress components and the given values of surface force components.8.3 主应力 最大与最小应力一、主应力过P点的某一斜面上的剪应力等于零时，该上斜面的正应力称为主应力，该斜面称为P点的应力主面，斜面的法线方向称为P点的一个应力主向二、主应力计算公式设斜面上的主应力为（全应力），其在x、y、z轴上的投影为XN、YN、ZNPrincipal Stresses Maximum and Minimum Stresses(Principal Stresses ) XNYNZNxyzPABC将其代入XN、YN

7、、ZN的表达式：且：整理得：这是关于l、m、n的齐次线性方程组,要使方程组有非零解， l、m、n前的系数所组成的行列式必为零，即：展开得：此方程的三个根1、2、3就是P点的三个主应力二、应力主向设1的方向余弦为：l1、m1、n1代入下列方程中的任意两式，比如，前两式由此方程组可解出 ， 再联立式 即可求出 l1、m1、n1 同理，可以求出 l2、m2、n2 和 l3、m3、n3 三、主应力之间的关系及最大、最小正应力物体内任一点是否存在主应力？存在几个主应力？他们之间的关系如何？方程至少有一个实根，即至少存在一个主应力和应力主面 设此主应力为3 ，且将z轴放在3的方向，即3 = z，zx=xz

8、=0；yz=zy=0 于是，平行六面体的应力分量如图所示1122xxyyxyxyyxyxoxy根据前2-3节分析，可以断定有两个主应力1和2，它们相互垂直且与3垂直 结论：受力物体中任意点一定存在三个互相垂直的主应力及应力主面且 1+2+3=x+y+z因为1 、2 、3随坐标而变化，所以1+2+3 ，x+ y +z也不随坐标而变结论：物体内任意点，互相垂直的三个面上的正应力之和不变，且等于三个主应力之和三个主应力中，最大的一个是最大正应力，最小的一个就是最小正应力特殊情况：三个主应力相等时，所有各截面上的正应力相等，且剪应力等于零同学可自行证明：最大、最小剪应力，在数值上等于最大于最小主应力之差的一半，作用在通过中间主应力且平分最大主应力与最小主应力的夹角的平分线上本 章 小 结1、空间问题的基本未知量：x、y、z、xy、xz、yz、x、y、z、xy、xz、yz、u、v、w，根据平衡微分方程、几何方程、物理方程可求解上述未知量2、空间