随机信号与系统chapter

1、随机信号分析 第2章 随机信号第2章 随机信号信号携带某种信息、随时间、空间或其他某个参量变化的物理量，是时间的函数：如f(t), s(t) 本章讨论内容：随机信号的定义、基本概念；几个典型的信号及分析方法；随机信号一般特性与描述方式；高斯信号和独立型号。第2章 随机信号引例1 (热噪声电压) 电子元器件由于内部微观粒子(如电子)的随机热运动引起的端电压称为热噪声电压。 热噪声电压在任意确定时刻t0的值是一个随机变量，记为Vt0(e), 其中e是某种可能的热运动，e. 对任意的时刻t，热噪声电压需要用一族随机变量来描述，记为V(t,e),t0, e ，简记为V(t),t0第2章 随机信号引例2

2、(运动目标距离的测量误差) 测量运动目标的距离，测量的结果存在随机误差. 以t0(e)表示在时刻t0的测量误差，它是一个随机变量，其中e是导致测量误差的某个基本事件e。 当目标随着时间t按一定规律运动时，测量误差随时间t变化，是依赖于时间t的一族随机变量，记为(t,e),t0, e ，简记为(t),t02.1 定义与基本特性 定义2.1：对随机实验样本空间上的每一个样本，定义函数X(t, ),则确定了一个具有一定统计特性的随机函数，称为随机过程(Stochastic or random process)，或随机信号(Random signal) 定义2.2：给定参量集T,对所有的tT,都有随机

3、变量X(t, )与之对应，称随机变量族X(t, ), tT 为随机过程. T为实数集R=(-,+)或其子集,如果T为整数集或其子集, X(t, )就是随机序列或离散随机信号。2.1 定义与基本特性X(t, )的含义：固定时，是时间t的函数，称为样本函数(Sample function)，对应于某次试验的结果； t固定时，是一个随机变量；t和都固定时，是一个确定数值，称为状态(State);t和都发生变化，构成了随机过程（或信号）的完整概念。2.1 定义与基本特性一阶(维)概率分布函数： FX(x;t)是t时刻的随机变量直至x处的累积概率值。一阶(维)概率密度函数为二阶(维)概率分布函数：X(t

4、1),X(t2) 表示X(t1),X(t2)直至(X1,X2)处得联合累积概率值二阶(维)概率密度函数为2.1 定义与基本特性例2.1 掷币实验产生信号:正面(记为H)对应250Hz的余弦波，反面(记为T)对应250Hz的正弦波。求：1) t=1ms时随机信号的概率密度和均值；2)任意时刻t的概率密度和均值。解：随机信号：1) t=1ms时随机信号的概率密度：均值： 2)概率密度函数：均值： 2.1 定义与基本特性例2.2 掷币实验产生信号(如例2.1) :求1) t1=1ms和t2=0.5ms时的二维联合概率密度；2) 任意t1,t2时刻的二维联合概率密度(1)正、反面概率都为0.5，取值分

5、别为于是 (2) 正、反面概率都为0.5，取值分别为于是 解：2.1 定义与基本特性基本数字特征：随机信号的数字特征本质上就是带参量的随机变量的数字特征。均值：方差与标准差：自相关函数：均方值函数：2.1 定义与基本特性协方差函数：相关系数：定义归一化随机信号2.2典型信号举例1) 随机正弦信号随机正弦信号定义为：A,部分或全部为随机变量.电路与系统中,几乎总要产生,发送与接收正弦振荡信号,它本质上都是随机的。一种典型的随机正弦信号为： 其中0是确定量，A与彼此独立，并且分别服从参数为2的瑞利分布和0,2)均匀分布。相位服从0,2)均匀分布的信号统称为随机相位信号(简称随相信号)2.2典型信号

6、举例基本特性：2. 自相关函数：1. 均值：2.2典型信号举例幅值A为瑞利分布3. 一、二阶概率密度函数：令X1=X(t1), X2=X(t2),其中t1t2A与彼此独立，联合概率密度函数2.2典型信号举例二元雅克比行列式利用二元联合密度函数的相关公式可得2) 伯努利(Bernoulli)序列2.2典型信号举例Xn, n=1,2,各个Xn是取值(0,1)独立同分布随机变量，且PXn=1=p, PXn=0=1-p=q.伯努利序列的样本序列可以有无穷多种，比如： 数字通信中，串行传输的二进制比特流是伯努利序列，它是通信与信息论分析中最常用的数学模型之一.基本特性：1. 均值：2.2典型信号举例2.

7、自相关函数:3.一阶密度函数:对于所有n， 4. 二阶密度函数 2.2典型信号举例3) (半随机)二进制传输信号(半随机)二进制传输信号：X(t)=2Xn-1,(n-1)TtnT, Xn为伯努利序列，T为常数。 在通信中，我们称T长的时段为1个时隙。如果Xn是二进制数据序列，那么，二进制传输信号描述的是以1的电平，按T宽的时隙，逐一承载二进制数据流的传输信号。 PT(t)是t0,+)内取值为1的方脉冲2.2典型信号举例半随机其时隙位置确切地以t=0对齐。相对地，随机二进制传输信号定义为 D与X(t)独立，是0,T)上均匀分布的随机变量 半随机随机2.2典型信号举例半随机信号的基本特性：令取整符

8、号若位于不同时隙，n1n2, 则有：若位于相同时隙，n1=n2, 则有：合并,有 2.自相关函数：1.均值：2.2典型信号举例3.一阶密度函数4.二阶密度函数2.2典型信号举例随机信号还可以分为可预测随机信号和不可预测随机信号 可预测随机信号(或称确定的随机信号)：信号X(t)的任意一个样本函数的未来值都可以由过去的观测值确定，即样本函数有确定的形式。 不可预测随机信号(或称不确定的随机信号)：信号X(t)的任意一个样本函数的未来值都不可能由过去的观测值确定，即样本函数没有确定的形式。 如：正弦随机信号X(t)= Acos(t+),它的随机性由变量A, 决定，对于任意一次实验结果i,他们取确定

9、数值ai,i,i相应的样本函数X(t, i)=aicos(it+i)具有明确的函数关系，只要观测到该函数的前段，就能够精确的确定它以后的所有取值。如：伯努利序列，二进制传输信号等，对于任一次试验结果i，观测到它的样本函数前段时，无法准确预测到它们以后的取值。复习随机信号(随机过程)的定义；X(t, )随机信号的一维概率密度/分布函数：fX(x;t) /FX(x;t)随机信号的基本数字特征：mX(t), DX(t), RX(t1,t2), EX2(t)典型的随机信号随机正弦信号伯努利(Bernoulli)序列Xn, n=1,2,各个Xn是取值(0,1)独立同分布随机变量(半随机/随机)二进制传输

10、信号X(t)=2Xn-1,(n-1)TtnT, Xn为伯努利序列，T为常数。频率的测量2.3一般特性与基本运算n阶(维)概率分布函数定义为n阶(维)概率密度函数定义为满足对于连续型信号n维特征函数为两个信号X(t)与Y(t)的联合概率分布函数定义：(nm)维联合概率分布函数定义为 2.3一般特性与基本运算X(t)与Y(t)的联合数字特征如下： 互相关函数：互协方差函数：互相关系数：定义2.2 对于所有的t1,t2T,恒有X(t),tT, X(t),tT正交X(t),tT, X(t),tT线性无关(简称无关)彼此独立 2.3一般特性与基本运算 例2.3 讨论随机信号Z(t)=aX(t)+by(t

11、)的均值，相关函数和协方差函数，其中a,b为确定量。均值：相关函数：如果X(t)与Y(t)正交协方差函数：解：2.3 一般特性与基本运算例2.4 A,B是两个随机变量，试求随机过程X(t)=At+B,t(-,+ )的均值函数和自相关函数。如果A,B相互独立，且AN(0,1),BU(0,2),问X(t)的均值函数和相关函数又是什么？解：X(t)的均值：相关函数：A,B相互独立，且AN(0,1),BU(0,2)所以：2.3一般特性与基本运算例2.5 求随机相位正弦波的均值函数、方差函数和自相关函数。解：的概率密度函数：2.3一般特性与基本运算例2.6 设随机信号X(t)=Vsin(t+),t(-,

12、+), V, 是相互独立的随机变量, P(V=1)=P(V= 2)=1/2, P(=/4)=1/2,求X(t)的均值EX(t)与自相关函数RX(t1,t2)解：2.3 一般特性与基本运算2.3一般特性与基本运算相关函数与协方差函数的性质性质1：信号X(t),tT的自相关函数与协方差函数满足：a.对称性：R(t1,t2)=R(t2,t1), C(t1,t2)=C(t2,t1); 证: R(t1,t2)=EX(t1)X(t2)= EX(t2)X(t1)= R(t2,t1)b.均方值为非负实数：E(X2(t)=R(t,t)0;c.方差为非负实数： 2(t)= R(t,t)-m2(t) 0; 证： 2

13、(t)= EX(t)-mX(t)2 0d. |(t1,t2)|1, (t,t)=1(利用柯西-施瓦兹不等式证明) 性质2：两个随机信号X(t),tT,Y(t),tT联合矩特性满足： a.对称性：RXY(t1,t2)=RYX(t2,t1); b. 互协方差函数：CXY(t1,t2)=RXY(t1,t2)-mX(t1)mY(t2); c.相关系数：|XY(t1,t2)|12.3一般特性与基本运算例2.7 两个正交信号R(t)=Acos(0t+), I(t)=Asin(0t+),A, 均为随机变量，且彼此独立.A服从参数为2的瑞利分布，服从-, 均匀分布。验证相关函数和协方差函数的性质解：2.3一般

14、特性与基本运算2.3一般特性与基本运算随机信号的微分与积分随机信号的积分：若连续时间随机过程X(t),tT,在区间a,bT上对所有的样本函数X(t,)= X(t), 存在积分在整个样本空间取值，Y均值：均方值：方差：随机变量2.3一般特性与基本运算将随机变量Y变为上限积分：随机过程Y(t)的自相关函数：随机信号的微分：若连续时间随机过程X(t),tT,在整个T上，当t0时，满足X(t)在tT上可微。均值：自相关函数：2.3一般特性与基本运算例2.8 将正弦信号X(t)=Acos(0t+)作用在C=0.1uF的电容上，求相应电流的均值与方差.A,为相互对立的随机变量,A服从参数为2的 瑞利分布，

15、在-, )上均匀分布解：互相关函数：2.3一般特性与基本运算例2.9 随机过程X(t)=At+B，A,B是相互对立的随机变量，均值分别为a,b,方差分别为12, 22,求Y(t)的均值函数和自相关函数解：Y(t)均值:Y(t)自相关函数:2.3一般特性与基本运算2.4 多维高斯分布与高斯信号一二维高斯分布(一维)高斯分布的概率密度函数u 为均值, 2为方差，简记为XN(u, 2)二维高斯分布是指两个随机变量X,Y的联合概率密度函数为： u1,u2 为各自的均值, 12 22为各自的方差， 为互相关系数。二维高斯分布简记为(X,Y)N(u1,12,u2,22; ).一二维高斯分布是指随机变量的特

16、征函数分别为一维特征函数：二维特征函数：2.4 多维高斯分布与高斯信号定义2.4 若随机信号X(t),t T,对于任意正整数n及t1, t2, , tn T,n元随机变量(X(t1), X(t2), X(tn) )的联合概率分布为n维的高斯分布，则称该信号为高斯信号(正态信号) 若高斯信号x(t)的均值函数为m(t)，相关函数为R(s,t)，则协方差函数为： 方差函数为：一阶概率密度函数：特征函数：2.4 多维高斯分布与高斯信号高斯信号的性质：2.4 多维高斯分布与高斯信号所有分布完全由其均值函数m(t)和协方差函数C(s,t)决定；经过任意线性变换(或线性系统处理)后任然是高斯信号；高斯信号

17、时独立信号的 充要条件是其协方差函数C(s,t)=0 (st)对于高斯信号，只要研究其均值和协方差就能准去把握其全部的统计特性例2.10 设A与B是两个独立的随机变量，且AN(0,2), BN(0,2)。随机信号X(t)=Acos(t)+Bsin(t),t(-,+),是高斯信号，其中常量，写出该信号的一二阶概率密度函数。解：一维概率密度函数：二维概率密度函数：2.4 多维高斯分布与高斯信号2.5 独立信号定义： 若信号X(t),tT在任意n个时刻t1,t2,tnT上的随机变量X(t1),X(t2),X(tn)彼此统计独立，则称它为独立随机信号。 对随机序列X(n),n=1,2,如果任意n个编号对应的随机变量彼此独立，则称为独立随机序列。 X(t),tT是独立信号的充要条件为：对于任意正整数n,其n维分布函数满足：2.5 独立信号如果信号的均值与方差m(t)与2(t)独立信号在各不同