二用数学归纳法证明不等式 (4)

1、人教版高中数学选修4-5数 学 归 纳 法如何证明这些与正整数n有关的数学命题？ “数学归纳法”的提出者 “数学归纳法”的提出者意大利数学家、物理学家：莫罗利科1494-1575问题1:口袋中有5个吃的东西，如何证明它们都是糖？ 情境导入：猜想数列的通项公式为：解:（1）求出数列前4项,你能得到什么猜想？（2）你的猜想一定是正确的吗？把研究对象一一都考查到，而推出结论的归纳法。完全归纳法不完全归纳法从一类对象中的部分对象都具有某种性质推出这类对象全体都具有这种性质的归纳推理方法猜想：都是质数法国数学家：费马(1601年1665年)否定了费马猜想！!瑞士数学家：欧拉1707-1783问题1:口袋

2、中有4个吃的东西，如何证明它们都是糖？ 情境导入：猜想数列的通项公式为：解:（1）求出数列前4项,你能得到什么猜想？（2）你的猜想一定是正确的吗？把研究对象一一都考查到，而推出结论的归纳法。完全归纳法不完全归纳法从一类对象中的部分对象都具有某种性质推出这类对象全体都具有这种性质的归纳推理方法验证:逐一验证，不可能！能否通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数都成立？新课探究：如何通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数都成立？多米诺骨牌游戏原理 类比多米诺骨牌游戏，证明数列猜想（1）第1块骨牌倒下。(1)当n=1时,验证猜想正确。（2）如果第k块 倒下时,一定能导致第k+1块也倒下。(2) 假

3、设 n=k 时猜想成立，一定能推出根据（1）和（2），可知不论有多少个骨牌都能全部倒下。根据（1）和（2）,可知对所有的正整数n，猜想都成立。当n=k+1时猜想也成立。方法归纳：(1)验证n=n0时命题成立。命题对所有的正整数n ( n n 0)都成立。归纳奠基归纳递推数学归纳法：两个步骤 一个结论缺一不可（2）假设n = k ( k n 0) 时命题成立 n=k+1时命题也成立。 用数学归纳法证明即n=k+1时等式成立.所以等式对一切自然数 均成立.【总结提升】问题1：甲同学猜想 用数学归纳法证明步骤如下：证明：假设n=k时等式成立，即那么上述证法是正确的吗？为什么？结论1：第一步是递推的基

4、础，缺少了第一步就失去了保证，不要误认为第一步是一个简单的验证，可有可无.问题2：乙同学用数学归纳法证明如采用下面证法，对吗？为什么？结论2：在第二步中,证明n=k+1命题成立时,必须用到n=k命题成立这一归纳假设,否则就打破数学归纳法步骤之间的逻辑严密关系,造成推理无效. 1.数学归纳法的一般步骤：若n = k ( k n0) 时命题成立，证明n=k+1时命题也成立. 验证n=n0时命题成立.命题对从n0开始所有的正整数n 都成立.归纳奠基归纳递推两个步骤 一个结论缺一不可 数学归纳法是一种完全归纳法 ，它是在可靠的基础上，利用命题自身具有的传递性，运用“有限”的手段，来解决“无限”的问题。它克服了完全归纳法的繁杂、不可行的缺点，又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足，使我们认识到事情由简到繁、由特殊到一般、由有限到无穷。 两个步骤一结论， 递推基础不可少， 归纳假设要用到， 结论写明莫忘掉； 喜欢你定义域的连续惊讶你负数也能驾驭我却只能在一四象限点燃正无穷大的爱恋用数学归纳法的神奇垂涎你那诱人的魅力致函数数列浪漫了平面直角坐标系又从等比中凝聚无尽的思念我们约会在美丽的自然数集一起单调，一起周期我在等差里注满对你的情意无数次刻意的相遇致函数数