（教师版）§2、8追及与相遇问题

1、PAGE PAGE - 9 -（教师版）2、8 追及与相遇问题“追及”、“相碰”是运动学中研究同一直线上两个物体的运动时常常涉及的两类问题，也是匀变速直线运动规律在实际问题中的具体应用。1、两者的基本特征相同：在“追上”、“相遇”运动过程中，两个物体在同一时刻处于同一位置。 2解决“追及”、“相碰”问题的思路：(1)根据对两物体运动过程的分析，画出物体的运动示意图(2)根据两物体的运动性质，分别列出两个物体的位移方程注意要将两物体运动时间的关系反映在方程中(3)由运动示意图找出两物体位移间的关联方程(4)联立方程求解（匀加速追匀速）【例1】甲、乙两辆汽车同向行驶，当t=0时，乙车在甲车前面24

2、m处。它们的运动规律分别为s甲=10t，s乙=t2。（1）甲、乙分别做什么运动？（2）甲、乙两辆汽车能否有两次相遇？如果能，求出两次相遇的时刻和两次相遇处相距多远？如果不能，求出什么时刻两车距离有最值？是多少？解：(1)甲做速度为=10m/s的匀速直线运动； 乙做初速度为零，加速度为a=2m/s2的匀加速直线运动。(2)甲、乙两辆汽车能有两次相遇。 当甲的速度时，由，得：乙车通过的位移：由，得：甲车通过的位移： 由于，故在达到共同速度前，两车已相遇一次。之后甲车在前，乙车在后。再经过一段时间，乙车速度大于甲车速度，再相遇一次。故能有两次相遇。设从开始运动到甲、乙两车相遇所用时间为，则： = 1

3、 * GB3 = 2 * GB3 由几何关系，得： = 3 * GB3 结合 = 1 * GB3 = 3 * GB3 式，有：解得：，两次相遇处相距：（相遇问题）【例2】 A、B两列火车，在同一轨道上同向行驶，A车在前，其速度vA=10 m/s，B车速度vB=30 m/s。因大雾能见度很低，B车在距A车500 m时才发现前方有A车，这时B车立即刹车，但B车要经过1800 m才能够停止。问：(1)A车若按原速前进，两车是否会相撞？若会相撞，将在何时何地？(2)若B车在刹车的同时发出信号，A车司机经t =1.5 s收到信号后加速前进，则A车的加速度至少多大才能避免相撞事故？解析：(1)为了求解简便

4、，我们先以A车为参考系，设在B车恰能追上A车的情况下，A、B两车之间的初始间距为s0，则(vBvA)2=2as0再以地面为参考系，设B车的最大滑行距离为s1，则vB2=2as1解两式可得s0=800 m因为s0500 m，所以两车一定相撞。设两车经时间t相撞，则有：vtat2=vAt+s由式得：a=0.25 m/s2，代入式得t=80 - 20s=31.01 s.设相撞地点距B车刹车地点sB，则有sB=vAt+s=1031.01 m+500 m=810.1 m.(2)设B车恰好不与A车相碰，A车的加速度为a，当B车追上A车时，两者速度相同，所以有：sA+s=sB, sB=vBtat2 sA=v

5、At+a(tt)2 vBat=vA+a(tt)又vB2=2as1 所以t=49.43 s, a=0.15 m/s2.故当A车加速度大于或等于0.15 m/s2时,可避免两车相撞.答案：(1)相撞，31.01 s后距B点810.1 m处 (2)0.15 m/s2(多种解法)【例3】火车以速度v1匀速行驶，司机发现前方同轨道上相距s处有另一列火车沿同方向以速度v2(对地、且v1v2)做匀速运动.司机立即以加速度a紧急刹车.要使两车不相撞，a应满足什么条件?【解析】 此题有多种解法.解法1：两车运动情况如图所示，后车刹车后虽做匀减速运动，但在其速度减小至和v2相等之前，两车的距离仍将逐渐减小；当后车

6、速度减小至小于前车速度，两车距离将逐渐增大.可见，当两车速度相等时，两车距离最近.若后车减速的加速度过小，则会出现后车速度减为和前车速度相等之前即追上前车，发生撞车事故；若后车减速的加速度过大，则会出现后车速度减为和前车速度相等时仍未追上前车，根本不可能发生撞车事故；若后车加速度大小为某值时，恰能使两车在速度相等时后车追上前车，这正是两车恰不相撞的临界状态，此时对应的加速度即为两车不相撞的最小加速度.综上分析可知，两车恰不相撞时应满足下列两方程： v1ta0t2v2ts v10tv2解之可得：0.所以当a时，两车即不会相撞.解法2：要使两车不相撞，其位移关系应为 v1tt2sv2t即 at2（

7、v2v1）ts0对任一时间t,不等式都成立的条件为 （v2v1）22s0由此得a解法3：以前车为参照物，刹车后后车相对前车做初速度v0v1v2，加速度为a的匀减速直线运动.当后车相对前车的速度减为零时，若相对位移ss,则不会相撞.故由 ss 得 a.【说明】 解法1注重对运动过程的分析，抓住两车间距离有极值时速度应相等这一关键条件来求解；解法2中由位移关系得到一元二次方程，然后利用根的判别式来确定方程中各系数间的关系，这也是中学物理中常用的数学方法；解法3通过巧妙地选取参照物，使两车运动的关系变得简明.【设计意图】 （1）说明追及、相遇和避碰问题的分析方法；（2）说明如何根据临界条件求解临界问

8、题：（3）说明一个物理问题可有多种分析方法.总结1：分析“追及”、“相碰”问题应注意：(1)分析“追及”、“相碰”问题时，一定要抓住一个条件，两个关系：一个条件是两物体的速度满足的临界条件， 追和被追的两物体的速度相等（同向运动）是能否追上及两者距离有极值的临界条件。如两物体距离最大、最小，恰好追上或恰好追不上等两个关系是时间关系和位移关系 (2)若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意追上前该物体是否停止运动(3)仔细审题，注意抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件如“刚好”、“恰好”、“最远”、“至少”等，往往对应一个临界状态，满足相应的临界条件 4解决追及和相碰问题大致分为两种方法

9、。即数学方法和物理方法求解过程中。可以有不同的思路。例如考虑图象法等等（匀加速追匀速）【例4】一辆摩托车行驶的最大速度为30m/s。现让该摩托车从静止出发，要在4min内追上它前方相距1km、正以25m/s的速度在平直公路上行驶的汽车，则该摩托车行驶时，至少应具有多大的加速度？解：假设摩托车一直匀加速追赶汽车。则：V0t+S0 （1）a =（m/s2） （2）摩托车追上汽车时的速度：V = at = 0.24240 = 58 (m/s) （3）因为摩托车的最大速度为30m/s，所以摩托车不能一直匀加速追赶汽车。应先匀加速到最大速度再匀速追赶。 （4） Vm at1 （5）由（4）（5）得：t1

10、=40/3（秒） a=2.25 (m/s)【例5】甲、乙两车在同一条平直公路上行驶，加速度都是向东的a=5m/s2，甲车某时刻从车站A由静止开始运动，乙车在甲车运动后3s以向东18m/s 的初速度从同一点A出发，问乙车出发后多少时间，甲、乙两车的距离是乙车开始出发时甲、乙两车距离的2倍？(22.5s)（匀速追匀减速）【例6】如图所示，A、B两物体相距s=7m，物体A以= 4 m/s的速度向右匀速运动，而物体B此时的速度=10 m/s，只在摩擦力作用下向右做匀减速运动，加速度那么物体A追上物体B所用的时间为（ ）A7 s B8 s C9 s D10 s【解析】B 物体B从开始到停下来所用的时间t

11、=5s，在此时间内B前进的距离= t=25 m，A前进的距离=20m。故此时刻A、B相距（5 +7）m=12 m，所以再经过3 sA才能追上B，故物体A追上物体B所用的时间为8s。（匀减速追匀速）【例7】在一条平直的公路上，乙车以10m/s的速度匀速行驶，甲车在乙车的后面作初速度为15m/s，加速度大小为0.5m/s2的匀减速运动，则两车初始距离L满足什么条件时可以使（1）两车不相遇； （2）两车只相遇一次； （3）两车能相遇两次（设两车相遇时互不影响各自的运动）。解析：设两车速度相等经历的时间为t，则甲车恰能追及乙车时，应有v甲ta甲t2/2=v乙t+L其中t=(v甲v乙)/a甲，解得L=2

12、5m若L25m，则两车等速时也未追及，以后间距会逐渐增大。若L=25m，则两车等速时恰追及，两车只相遇一次，以后间距会逐渐增大。若L25m，则两车等速时，甲车已运动至乙车前面，以后还能再次相遇，即能相遇两次。【例8】在某市区内，一辆汽车在平直的公路上以速度vA向东匀速行驶，一位观光游客正由南向北从斑马线上横过马路，汽车司机发现前方有危险(游客正在D处向北走)，经0.7 s作出反应，从A点开始紧急刹车，但仍将正步行至B处的游客撞伤，该车最终在C处停下，为了清晰了解事故现场.现以图示之：为了判断汽车司机是否超速行驶，并测出肇事汽车的速度vA，警方派一车胎磨损情况与肇事汽车相当的车以法定最高速度vm

13、14.0 m/s行驶在同一马路的同一地段，在肇事汽车的出事点B急刹车，恰好也在C点停下来，在事故现场测得AB=17.5 m、BC14.0 m、BD2.6 m，问：(1)该肇事汽车的初速度vA是多大?(2)游客横过马路的速度是多大?【解析】 (1)以警车为研究对象，则v22v022as将vm14.0 m/s，s14.0 m，v20代入得警车刹车加速度大小为a=7.0 m/s2因为警车行驶条件与肇事汽车相同，aga所以肇事汽车的初速度vA21 m/s(2)肇事汽车在出事点B的速度：vB14 m/s肇事汽车通过段的平均速度： m/s17.5 m/s肇事汽车通过AB段的时间：t2 s1 s所以游客横过

14、马路的速度：v人 m/s1.52 m/s.【答案】 (1)21 m/s (2)1.53 m/s【例9】一辆长为5m的汽车以m/s的速度行驶，在离铁路与公路交叉点175m处，汽车司机突然发现离交叉点200m处有一列长300m的列车以m/s的速度行驶过来，为了避免事故的发生，汽车司机应采取什么措施？（不计司机的反应时间，）解：若汽车先于列车通过交叉点，则用时 而，汽车必须加速，设加速度为a1，则 得若汽车在列车之后通过交叉点，则汽车到达交叉点用时 ，又，汽车必须减速，而且在交叉点前停下来，设汽车的加速度大小为a2，则，所以汽车司机可以让汽车以m/s2加速通过或以m/s2减速停下。【例10】羚羊从静

15、止开始奔跑，经过s10=50 m距离能加速到最大速度v1=25 m/s，并能维持一段较长的时间；猎豹从静止开始奔跑，经过s20=60 m的距离能加速到最大速度v2=30 m/s，以后只能维持这个速度4.0 s。设猎豹距离羚羊x m时开始攻击，羚羊则在猎豹开始攻击后1.0 s才开始奔跑，假定羚羊和猎豹在加速阶段分别做匀加速运动，且均沿同一直线奔跑.求：(1)猎豹要在其最大速度减速前追到羚羊，x值应在什么范围?(2)猎豹要在其加速阶段追上羚羊，x值应在什么范围?【解析】 （1）设猎豹在最大速度将要减速时恰追上羚羊，则猎豹运动的位移和时间分别为s1=s10+v1mt1=60 m+304.0 m=18

16、0 mt1=+t1= s+4.0 s=8.0 s则羚羊运动的时间为t2=t1-1=7.0 s羚羊加速的时间为t2= s=4.0 s故羚羊匀速运动的时间为t2=t2-t2=3.0 s羚羊的位移为s2=s20+v2mt2=50 m+253.0 m=125 m则为使猎豹能在从最大速度减速前追上羚羊，应有xs1-s2=55 m(2)猎豹加速的时间和位移分别为t1=4.0 s s1=60 m羚羊加速运动的加速度和位移分别为a2= m/s2 =6.25 m/s2 s2=a2(t1-1)2=6.253.02 m=28.1 m为使猎豹能在加速阶段追上羚羊，应有xs1-s2=31.9 m【答案】 (1)x55

17、m;(2)x31.9 m总结2：追及、相遇的问题，其实质就是分析讨论两物体在相同时间内能否到达相同的空间位置问题。1两个关系：即时间关系和位移关系2一个条件：即两者速度相等，它往往是物体间能否追上、追不上或（两者）距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。常见的情况有：（1）物体A追上物体B：开始时，两个物体相距s0，则A追上B时，必有sA-sB=s0，且vAvB。（2）物体A追赶物体B：开始时，两个物体相距s0，要使两物体恰好不相撞，必有sA-sB=s0，且vAvB。课堂巩固练习l如图所示是甲、乙两物体从同一地点同时沿同一方向运动的速度图象，且，则：( AD )A在时刻，乙物体在前，甲

18、物体在后 B甲的加速度比乙大C在时刻甲乙两物体相遇 D在时刻甲乙两物体相遇2两辆完全相同的汽车，沿水平直路一前一后匀速行驶，速度均为v0，若前车突然以恒定的加速度刹车，在它刚停住时，后车以前车刹车时的加速度开始刹车已知前车在刹车过程中所行的距离为s，若要保证两车在上述情况中不相撞，则两车在匀速行驶时保持的距离至少应为（ B ）A s B2s C3s D4s3、两辆游戏赛车、在两条平行的直车道上行驶。时两车都在同一计时线处，此时比赛开始。它们在四次比赛中的图如图所示。哪些图对应的比赛中，有一辆赛车追上了另一辆（ AC ） 【解析】AC 在图象中，图线和坐标轴包围的面积，在数值上等于位移的大小。若

19、要一辆车追上另一辆车，位移应该相等，在图象中，面积应该相等，所以AC正确。【点评】该题考查了追及问题及对图象的理解。解决该题也可以采用公式法，但太复杂。4甲乙两车在公路上沿同一方向做直线运动，它们的图象如图所示.两图象在t= 时相交于P点，P在横轴上的投影为Q ，OPQ的面积为S。在t=0时刻，乙车在甲车前面，相距为d。已知此后两车相遇两次，且第一次相遇的时刻为，则下面四组和d的组合可能的是（ D ）A BC D【解析】 本题考查了运动学中的图象问题。由图象分析得此为典型的追及类问题，甲车速度不变从t=0时刻起匀速前进，乙车从t=0时做匀加速运动，且。当甲乙第一次相遇时有，且由图象可知，故，代

20、入前式可得。5在轻绳的两端各拴一个小球，一个人用手拿着绳子上端的小球，站在三层楼的阳台上，释放小球，使小球自由下落，两小球相继落地的时间差为出，如果人站在四层楼的阳台上，同样的方法释放小球，让小球自由下落则两小球相继落地的时间差将( C ) 图262A不变 B变大 C变小 D无法确定 【分析】设下端小球A着地时的速度为VA，所需时间为tA，上端小球B着地时的速度为VB，所需时间为tB，它们的V一t图象如图262所示，图中阴影部分的面积表示两球的位移差，即绳子的长度，由于绳长不变，A球距地越高，落地时的速度VA也越大，同时VB也越大，因此tB一A就越小 故本题正确答案是C6如图所示，a、b分别表

21、示先后从同一地点以相同的初速度做匀变速直线运动的两个物体的速度图象，则下列说法正确的是 ( AC ) A4s末两个物体速率相等 B5s末两个物体速率相等C4s末两个物体相遇 D5s末两个物体相遇 【分析】由图象可知，4s末两物体的速度大小相等，均为10m/s，方向相反，故选项A正确；O4s内两物体的位移分别为 由此可知，4s末两物体相遇故选项C正确.5s末物体口的速度为一20m/s，物体b的速度为O，此时位移分别为 由此可知，选项B、D均错误综上所述，本题正确答案为A、C7、如图所示，处于平直轨道上的甲、乙两物体相距为s，同时、同向开始，甲以初速度v、加速度a1做匀加速直线运动，乙做初速度为零

22、、加速度a2的匀加速直线运动，假设甲能从乙旁边通过，下述情况可能发生的是（ C ）A.a1=a2时，能相遇两次 B.a1a2时，能相遇两次C.a1a2时，能相遇两次 D.a1a2时，能相遇一次【解析】 若a1=a2或a1a2，总有v甲v乙，甲追上乙后，乙不可能再追上甲，只能相遇一次.若a1a2，开始一段时间内，v甲v乙，甲可能追上乙，然后又有v甲v乙，乙又能追上甲，故甲、乙可能相遇两次.C选项正确.【答案】 C8、两辆完全相同的汽车，沿水平路面一前一后均以20 m/s的速度前进，若前车突然以恒定的加速度刹车，在它刚停车时，后车以前车刹车时的加速度的2倍开始刹车，已知前车在刹车过程所行驶的距离为

23、100 m，若要保证两车在上述情况下不相撞，则两车在匀速行驶时保持的最小距离是 .【解析】 设前车刹车过程的位移为s1,加速度为a，则有：s1=100 m在前车刹车的过程中，后车仍以v0匀速运动，在这段时间内它的位移为s2=2s1=200 m后车刹车的位移为s2= m故从前车开始刹车到后车也停下来，后车的总位移为s2=s2+s2=250 m两车匀速运动时它们间的距离为s=s2-s1=250 m-100 m=150 m9、一辆值勤的警车停在公路旁，当警员发现从他旁边以v =8m/s的速度匀速行驶的货车有违章行为时，决定前去拦截，经2.5s，警车发动起来，以a=2加速度匀加速开出，警车以加速度a=

24、2维持匀加速运动能达到的最大速度为108km/h，试问：（1）在警车追上货车之前，两车间的最大距离是多少？（2）警车要多长时间才能追上违章的货车？【解析】（1）当两车速度相等时两车相距最远，即 两车相距 （2）设警车在匀加速运动中经时间t追上货车，则有 代入数据得 此时警车速度，因此警车发动后，10s可追上货车。10A、B两辆汽车在笔直的公路上同向行驶，当B车在A车前84 m处时，B车速度为4 m/s，且正以2的加速度做匀加速运动；经过一段时间后，B车加速度突然变为零。A车一直以20 m/s的速度做匀速运动。经过12s后两车相遇，问B车加速行驶的时间是多少？【解析】设A车的速度为，B车加速行驶

25、时间为t，两车在时相遇。则有 式中，=12 s，分别为A、B两车相遇前行驶的路程，依题意有式中s=84 m，由此解得代入题给数据=20 m/s，=4 m/s，a=2 有式中t的单位为s。解得 其中不合题意，舍去。因此，B车加速行驶的时间为6 s。11如图所示，甲、乙两个同学在直跑道上练习4100 m接力，他们在奔跑时有相同的最大速度。乙从静止开始全力奔跑需跑出25 m才能达到最大速度，这一过程可看作匀变速直线运动，现在甲持棒以最大速度向乙奔来，乙在接力区伺机全力奔出。若要求乙接棒时奔跑达到最大速度的80%，则：（1）乙在接力区须奔出多少距离？（2）乙应在距离甲多远时起跑？【解析】（1）设两人奔跑的最大速度为v，乙在接力区奔出的距离为x时速度达到最大速度的80%，根据运动学公式有：v2=2ax 即（0.8v）2=2ax