空间直角坐标系、空间向量及其运算专题训练

1、空间直角坐标系、空间向量及其运算专题训练一 3 一 1 一 1 一 TOC o 1-5 h z . O为空间任意一点，若 O2：O/VQ跳 QC则A, B, C, P四点（）488A. 一定不共面B. 一定共面C.不一定共面D.无法判断.在空间四边形 abcdk AB- EAC- DMAb BC=()A. - 1B0C.1 D .不确定3.如图所示,PD垂直于正方形 ABC所在平面,AB= 2, E为PB的中点，cosDp危=W，若以 3DA DC DP所在直线分别为 x, V，E的坐标为（轴建立空间直角坐标系，则点1,1A. (1,1,1) B.1, 1, 2C.1,(1,1,2).在 AB

2、C43, | AB+AC=| AB-AC, AB= 2, AC= 1, E, F 为 BC 的三等分点，则 AE- Af=(8A.9B.109C.25D.265.如图所示，已知空间四边形 TOC o 1-5 h z OABC OB= OC 且 / AO / AOC=-3,则 cos AC- DWAD-BC=（）A. - 1B. 0C. 1D.不确定解析：b 如题图，令 Ab= a, AC= b, AD= c,贝UAB cdfAC- DbAD- BC=a (c b) + b (a c) + c (b a) = a c-a - b+ b a-b - c+ c b-c - a=0.3.如图所示，PD

3、垂直于正方形 ABC所在平面，AB= 2, E为PB的中点，cos Dp 危 =笠,若以3DA DC DP所在直线分别为 x, V，轴建立空间直角坐标系，则点 E的坐标为()1A. (1,1,1)B. 1, 1,-3C. 1, 1, 2D. (1,1,2),a解析：A 设 PD= a,则 A(2,0,0) , B(2,2,0) ,，.一对应，P(0,0 , a), E 1, 1,-,，一 一 、/ / aDP= (0,0 , a) , AE= - 1, 1, 2 . cos宓危=坐a = ajz+a 4,a=2.E 的坐标为（1,1,1）.4.在 ABC43, | XB+XC=| XB-丽，A

4、B= 2, AC= 1, E, F 为 BC的三等分点，则 XE- XF=()8A.91026 D.一9B.925 C.?解析：b | A母AC = | XB-AC,化简得XB-AC= 0,又因为ab和ac为三角形的两条边，不可能为 。, 所以ABWAC1直，所以 ABC直角三角形.以 AC为x轴，以AB为y轴建立平面直角坐标系，如图所示,则 A(0,0) , B(0,2) , Q1,0),由 E, F 为 BC 的三等分点知 E2, 1 , F, 4 ,所以 AE=2 , AF= 1, 4 , TOC o 1-5 h z 33333333，一 一 2 12 410所以 AE AF= -x o

5、+o o = -7.3 33 395.如图所示，已知空间四边形OABC OB= OC 且/ AOB= / AOC=-3,则 cos 的彳直为(1B.2A. 0CRC 2解析：A 设Oa= a, OB= b, OC= c,，兀 一由已知条件a, b = 1 -11 -解析：OE= O/V AE= O/V 2AA O/V 广济庆打 AQOaf ：Ab+ 4Ab= Oaf 1（OB- OA + ：（Og- OA11+4b+4c.111答案：2a+ 4b + 4c7.若向量a=（1 ,入，2） , b=（2 , 1,2）且a与b的夹角的余弦值为8,则入= 9解析：由条件知|a| =1入2+5, |b|

6、=3,a , b = 6 一 入.a - b 6入 8cosa，b=ioT=3jx2+5 = 9.整理得55入2+108入-4 = 0一,2解付入=2或入=5?2答案：一或55兀.如图所示，已知二面角 ai B的平面角为e e e 0,万，ablbq bclcdBC l上，CD在平面a内，若 AB= BC= CD= 1,则AD的长为解析：AD=AB+BCCD2222所以 AD= Ag+BC+CD+ 2AB C 2AB BC+ 2BC- CD=1 + 1 + 1 + 2cos（兀-8）=3 2cos 9 ,所以 | A=寸3 2cos e ,即 AD的长为,32cos 0 .答案：3-2cos

7、0且BE=BB,3.如图，四棱柱 ABCD-ABCD的各个面都是平行四边形，E、F分别在BB和DD上,DF |DD.求证：A E C、F四点共面；的值.(I)已知 EF= xAEJ+ yXD+ aAi,求 x+y +3AA+1AA解：(i)证明：.届=磋超AA= AB+AN=(AB- BB + (ADb DF又AG、AE AF有公共点 A,A、E G、F四点共面._ f f f(2) EF=AFAE=AN DF- (AB+ BB2 一1=AN .DD AB- -BB 331=A母 AN ；AA. 31-x= - 1, y = 1,=3.-x+y+ =；3设 a = AB b=AG10.已知空间

8、中三点A(-2,0,2) , B( 1,1,2) , G(-3,0,4),(1)求向量a与向量b的夹角的余弦值；(2)若ka + b与ka 2b互相垂直，求实数 k的值.解：(1) -. a= (1,1,0) , b= (-1,0,2), a b= (1,1,0)( 1,0,2) =-1,又 |a| = /12+12+ 02 =V2,| b| = V - 1 2+ 02+ 22;班,Co cos a, ba b 1iTio；= I all b|1010即向量a与向量b的夹角的余弦值为一10To.(2)法一：ka+b=(k-1, k, 2).ka2b= ( k+2, k, 4),且 ka+b与

9、ka 2b 互相垂直，25(k-1, k, 2) (k+2, k, 4) = (k1)( k+2)+k28=0,，k=2 或 k=一万，.当 ka+b 与 ka 52b互相垂直时，实数 k的值为2或2.法二：由知|a|=小，|b|=V5, a b=1,. . (ka+ b) ( ka2b) = k2a2- ka b2b2= 2k2 + k-10 = 0,得 k= 2 或 k= 5ABC-ABC, CA= CC= 2CB 则直能力提升组11. （2018 济南市质检）如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱线BC与直线AB夹角的余弦值为（）B号D.-解析：A不妨令CB=1,则 CA= CC=2,可

10、得Q0,0,0),B(0,0,1), C(0,2,0) ,A(2,0,0),Bi(0,2,1),.BC= (0,2 , 1), AB=( 2,2,1), TOC o 1-5 h z 一 一 BC AB4-11cos BC, AB = i=7= r= =| BCII ABI. 5X ;95.BC与AB的夹角即为直线 BC与直线 AB的夹角,二.直线BG与直线AB夹角的余弦值为W.圆锥的轴截面 SAB是边长为2的等边三角形，O为底面的中心，M为SO的中点，动点 P在圆锥底 面内（包括圆周），若AML MP则点P形成的轨迹的长度为（）A.B._2C.解析：D 建立空间直角坐标系.设A（0 , 1,0

11、） , B（0,1,0） , S（0,0 ,事）,MO,。，#）,Rx, y, 0）,于是有 XMh （0,1 ,呼）,MP= （x, v,-专）.由于 AML MP 所以（0,1 ,当）（x, v,乎）=0,即y = *此为P点形成的轨迹方程，其在底面圆盘内的长度为叭 1 3 2=邛.故选D. (2018 徐州市模拟)已知O点为空间直角坐标系的原点，向量OA= (1,2,3) , OB= (2,1,2) , Op=(1,1,2),且点Q在直线OP上运动，当QA QBX得最小值时，OQ勺坐标是 解析：.点Q在直线OP上，设点Q入，入，2入)，则 QA= （1 入，2入，32 入），QeB= （

12、2 入，1入，2 2 入），QA- QEB= （1 -入）（2 入）+（2 入）（1 入） + （3 2入）. （2 2入）=6 入 216入 +10 = 6 入-4 2-3.即当入=9时，QA- QE取得最小值一2.此时Oq= 4, 4, 8 . 333 3 3答案:3 3 314.如图所示，已知空间四边形 ABCD勺每条边和对角线长都等于 1,点E, F, G分别是AB AD CD的中点，计算:舁BA； EF DCEG的长；(4)异面直线AG与CE所成角的余弦值.解：设 AB= a, AC= b, AD= c.则| a| = | b| = | c| = 1, a, b = b, c = c, a= 60 , TOC o 1-5 h z 1a 113, EF= 2BD= 2c-2a, BA= a, DC= b c,台a 111211EF BA= 2c-2a . ( a) =2a _2a .e= 41Ef- DC= /(c-a) (b-c)21=2( b c- a b- c + a - c) = - 4.111EG= EB-l- BGf CG= 2a + b a+