第03讲 函数及其性质(提升训练)(解析版)-2022年新高考数学一轮基础考点专题训练

1、第03讲函数及其性质【提升训练】一、单选题.已知函数“X)的定义域为R,满足/(x+l)=2xl),且当时，/(x)=2,则/(2020)=()A.22019B,22018C.21010D.21009【答案】D【分析】根据条件/(x+l)=2/(x-l),得/(x+2)=2/(x),对于/(2O2O),通过迭代变形，得/(2020)=21010/(0)，再计算出/(O)即可.【详解】由/(x+l)=2f(xl),得/(x+2)=2f(x),于是/(2020)=/(2020-2+2)=2/(2020-2)=22/(2020-2x2)=237(2020-2x3)=21010/(2020-2x101

2、0)=2,0|0/(0).乂当时，/(x)=2T,所以/(0)=2-1所以/(2020)=2,0,/(0)=21010 x2T=2109.故选：D.【点睛】关键点睛：解决本题的关犍是通过/U+l)=2/(x-l)寻找/(2020)与/(0)的关系.已知/(x)=卷一加，设4=/(陶5),/=/log21yc=/(0.25),贝ija、b-c的大小关系为()A.cbaB.bacC.bcaD.ablog23的大小比较要化为同底数的对数，在利用对数函数的单调性比较.【详解】源的定义域为x|xx。,因为川=春-尸=吉w,故函数/（X）为偶函数,当x0时，fx=-ex,则该函数在（0,+动上单调递减,l

3、og4 5 log4 4 = 1/卜唯 /(一咋2 3) = /(102 3),log2 3 = log” log4 5 ,（）O.2050.2=1，00.205log45/（log45）/（log23）,即ca6，即力a202。22|；2屈15；3eln24jL其中真命题的个数e是（）为自然对数的底数，e2.718）A.4B.3C.2D.1【答案】D【分析】IfTY构造函数，（x）=，求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间,J最值，根据函数的单调性一判断X即可；【详解】解：构造函数/(x)=，X1hiy导数/。)=L4三，X当0 x0,所以/(X)在(O,e)上单调递增;xe时，/(幻0,

4、所以/(x)在(e,+00)上单调递减.所以可得”x)g7(e)=J因为2)/(e),所以电2星,即ln22,故正确：2ee又“2021)“2020),所以嘿?喘三，即2020In2021202Un2020,所以In20212020ln2O2O2021.即202产2。?卷，所以岳n221nJK，即ln2后ln(岳丁，所以2815,故错误：因为/QQ)/(e),所以3F-即eln2叵20，即eln22V2,则3eln240，故不正确.故选：D.【点睛】本题考查两个数的大小比较，注意运用构造函数法，以及导数判断单调性，考查化简运算能力.4.已知数列m的前项和为且满足S,=2a“-1,若对于任意的不

5、等式，S+l巨6斯-3恒成立，则实数力的取值范围为()A.(0,4B.4,+oo)C.3,+00)D.(3,+)【答案】C【分析】6a-36a3通过构建S一与S关系式求出“及S.由7(5+1巨6%-3,得力2学一使得2大于飞&的最大值即可.【详解】解：/S”=2aT,Sn-=2?21Z3 ,即a23当趋近于8取得最大值为3/.A3故选：C.【点睛】方法点睛：己知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：(I)函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直

6、角坐标系中画出函数的图象,利用数形结合的方法求解.5.若M,N为函数/(x)图象上的两个不同的点，且M,N两点关于原点对称，则称点对(M,N)为函数f(x)x2+2ex+n7-1,%,0e2X4,X0X(e为自然对数的底数)，若函数/(x)的图象上恰有两个“配合点对”，则实数，的取值范围是()A.nt.e+B./n0)与函数y=-x2+2ex-m+l(x0)有两个交点，即函数g(x)=/-2x4-x+XX(x0)图象与函数y=l一相图象有2个交点，然后求出g(幻的单调性，得出其大致图像，数形结合可得答案.【详解】函数y=/+2ex+m一1(x40)的图象关于原点对称的图象所对应的函数为丁=-x

7、2+2ex-tn+l(x0)P2/(x)的图象上恰好有两个“配合点对”等价于函数y=x+J(x0)与函数y=-f+2exm+1(%0)x有两个交点，7即方程犬+2ex-/n+l=xH(x0)有两个不等式的正实数根，x即x2+(l-2e)x+=1m(x0)有两个不等式的正实数根，X2即转化为函数g(x)=32-2ex+x+J(x0)图象与函数y=l-机图象有2个交点.X/、/2/g，(x)=2x-2e+l-与，/(力=2+吟0*。)，所以8(=2方-26+1-彳在(。,+8)上单调递增，且g(e)=0所以当0 xe时,g(x)e时，g0,g(x)单调递增.且x.0时，g(x)-+oo,x-+oo

8、时，g(x)-+oo所以g(x)2g(e)=2e-/2如图，函数g(x)=x?-2ex+x+(x0)图象与函数y=l图象行令个交点.X则1m2ee2,解得m0时所以尸(X)所以在0上单调递减因为 /(log2 -) = /(-log, 5) = /(log, 5),出其大致图像，数形结合可得答案，属于中档题本题考查：函数中的新定义问题和根据函数图像交点求参数范围，解答本题的关键是由题意将问题转化为(其中e是自然对数的底数)，若4=/(2“)，b=f (408), c=/(log2-),图象有2个交点，然后求出g(x)的单调性根据题意，函数r) =2e元+ x +匚(x 0)图象与函数y2log

9、,5=log225log,32=5,545/2=22-5=2x2,所以210g2552巴即log25/(2,5),即ca,所以ba0,则根据函数的定义域为(a,+8),3x+2a05此时，函数“X)的零点为x=-a,x=a+,若：aa+l,当xea+l,a时，/(x)0不满足题意.若*qq+1,当冗wa,a+1时，/(x)vO不满足题意.所以多=。+1,求得。=4；4若“0此时函数的零点为=-Y,x=a+,同理可得=a+l,所以a=-.353综上a=,或。=4,故选：B.【点睛】关键点睛：本题考查函数零点、定义域和值域问题，解答本题的关健是当a0时3x+2a0,函数f(x) TOC o 1-5

10、 h z 555-I5的零点为X=。，X=/+!,若一当XW。+1,一。时，/(X)。若一4。+1,当4444x&-a,a+1时，/(x)0,所以也=a+l,求得。=4,属于中档题._4.已知y=x)是定义在r上的奇函数，满足x+l)=/(x-2),下列说法:y=/(x)的图象关于(|，o)对称；y=/(x)的图象关于犬=5对称；y=/(X)在0,6内至少有5个零点;若y=/(x)在05上单调递增，则它在2021,2022匕也是单调递增.其中正确的是()A.B.C.D.【答案】D【分析】首先根据y=/(x)是定义在R上的奇函数，满足“x+l)=/(x2),得到了(一工+3)=-/3),可判断正

11、确，错误：在区间0,6内根据周期性及对称性得到5个函数零点可判断正确：根据函数的周期性得函数在2021,2022上单调递增，进而可判断正确：【详解】解：由于y=/(x)是定义在R上的奇函数，满足/(x+l)=/(x2),所以f(x)=/(尤-3)=r),整理得,/(x+3)=/(x),所以：/(-x+3)=-/(%)故对于，函数/(x)的图象关于(,0)对称，故正确，错误.对于，函数/(。)=0，/(3)=0./(6)=0,由于 x) = /(x+3)= _/(t),整理得f0,4.5)= /仁+ 3)= 0,故正确;对于，/(2021)=/(673x3+2)=/(2),所以函数/(力在0,1

12、上单调递增，贝沱在2021,2022上单调递增，故正确；故选：D.【点睛】本题主要考查抽象函数的奇偶性，对称性，周期性的综合应用，特别是奇偶性和对称性的结合利用是解题的关键，考查学生逻辑推理能力.已知函数/(x)在定义域R上单调，且xw(0,+8)时均有/(/(x)+2x)=l,则/(-2)的值为()A.3B.1C.0D.-1【答案】A【分析】先求出函数/(X)的解析式，将X=2代入计算即可.【详解】因为函数fM在定义域R上单调，且Xe(0,+8)时均有/(/(x)+2x)=1,所以/(x)+2x为常数，不妨设f(x)+2x=r,则/(x)=2x由/(7(x)+2x)=l得/(f)=f-2f=

13、l,解得：t=-.所以/(x)=-2x-l,所以/(一2)=2(2)1=3.故选：A10.已知a=20202”，/7=20212021.c=2O222020，则。，b,c的大小关系为()A.cabB.acbC.cbaD.abe2)，求出导函数得出单调性，从而可得/(2020)/(2021)0,InbIn2021x+12022即为0i,得出。力大小，同理可得a。大小，得出答案.InZ?【详解】In2020.Ina_2022In2020_2021Inb2021In2021-In20212022构造函数二(x2e?),尸(x)=(,Dx+1x(x+l)令g(x)=(x+1)-xlnx,则g(x)=-

14、lnx0,g(x)在e+oo)上单减，/.g(x)(e2)=l-e2/(2021)0=T2gk.=ll=lnalnZ?=67Z?,nbIn2021/(2021)2022同理可得InbInc=hc,故abc,故选：C.【点睛】关键点睛：本题考查构造函数，利用导数得比函数单调性，利用单调性比较指数哥的大小，解答本题的关Inx键是设设/(x)=(xe2),得出/(幻在d,+00)上单减，从而可得了(2020)7(2021)0,即x+1”1,得出大小，同理可得b,C大小，属于中档题.mb【答案】B【分析】先判断函数的奇偶性排除A.D.再根据/(I)0,排除C即得解.【详解】解：根据题意，f(x)=3x

15、sinx-x2,其定义域为凡ex+ex有了(1) =3xsinx-x2/*)，则函数凡。为偶函数，排除A, D,“八、3sinl1门f(1)=：0.八1,排除C,e+-e故选：B.【点睛】方法点睛：根据函数的解析式找图象，一般先找差异，再验证.12.已知(),人0,下列说法错误的是()A.若abNl,则。+人22B.(其中e为自然对数的底数)恒成立C.4ee+i+l(e为自然对数的底数)D.若e+2a=e+3b，则恒成立【答案】C【分析】对于A,利用基本不等式判断作答：对于B,构造函数/(x)=/-*-1,讨论单调性判断；对于C.构造函数g(x)=,讨论单调性判断；对于D,利用函数(x)=e*

16、+2尤单调性判断并作答.【详解】对于A选项，因0,力。，aba-b2ab2A正确；对于B选项，f(x)=e-x-l(x0),f(x)=ev-10.f(x)在(0,+。)上递增，则/(2)/=o,*hb即e10ae7,o+/,1B止确；对于C选项，g(x)=2(xl),g(x)=L0,g(x)在(l,+oo)上单调递减，则8(万)8(6),ee,JTp一。乃e0),(x)=e*+20,(x)在(0,+功上递增，而ea+2a=eh+3beb+2bh(b),则ab,D正确,故选：C【点睛】思路点睛：某些数或式大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，构造函数，分析并运

17、用函数的单调性解题，它能起到化难为易、化繁为简的作用.13.已知函数/(x)为R上的偶函数，对任意芭，马(-8,0),均有。一9)/(与)-_/(毛)0成立,若a=f(6),b-c=f(e),则0，b,c的大小关系为()A.cbaB.acbC.abcD.cab【答案】D【分析】根据条件判断函数的奇偶性和单调性，然后利用单调性进行比较即可.【详解】,对任意菁,x2e(-oo,0),均有(_电)/(%)-/(再)e2,久久夜，J,0e3V/2log23,./(V2)/(log23),即ca0解，则实数，的取值集合为()【答案】A【分析】设r=y(x)，根据/(、)的解析式，可得f(x)的单调性、奇

18、偶性，即可作出了(X)的图象，即可求得，的最小值，利用号数判断g(x)的单调性，结合，的范围，作出g的图象，数形结合，可得容)时，y=g(f)JNg的图象与V=图象有2个交点，此时y=r,4y=2分别与y=f(x)有2个交点，即即g(f(x)-m=。有四个不同的解，满足题意，即可得答案.【详解】设r=/(X),则g一加=0有四个不同的解,因为/(-X)=JT彳=/-g=/(X),所以，=f(x)为偶函数，且当xo时，/(x)=e*-g为增函数，所以当xWO时，=/(x)为减函数，所以%n=/()=e_g=g,当x0时，g(x)=(x-l)lnx,则g(x)=lnx+(x-1)=Inx+1,xx

19、令g(x)=O,解得x=l,所以当xe(0,l)时，g(x)(),g(x)为增函数,作出x0时g(x)的图象,如图所示:时，y=g(/),，N；的图象与y=m图象有2个交点，且设为4,，作出f=/(x)图象，如下图所示:此时y=4与y=与分别与y=fM有2个交点，即g(/(x)一m=0有四个不同的解，满足题意.综上实数用的取值范围为故选：A【点睛】解题的关键是根据解析式，利用函数的性质，作出图象，将方程求根问题，转化为图象求交点个数问题,考查分析理解，数形结合的能力，属中档题.-ex1+Pis.函数 y(x) =cosx （其中e为自然对数的底数）的图象大致形状是（B.【分析】根据条件判断函数

20、的奇偶性和对称性，讨论当0 x1时函数值的符号，利用排除法进行判断即可.【详解】函数/(*) =1-el + eCOSX的定义域为R,1 -p-x(lr)-17r - COS X =ex + excosx = -/(x),即函数f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除AC.当0 x0,J0,则f（x）1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据函数/(x)在R匕单调递减求出实数。的取值范围，利用集合的包含关系判断可得出结论.【详解】/、(a1函数力在/?上单调递减,o3oo3=13，.41l,所以，“函数x)在R匕单调递减”是“al”

21、的充分不必要条件.故选：A.【点睹】关键点点睛：在利用分段函数的单调性求参数时，除了分析每支函数的单调性外，还应由间断点处函数值的大小关系得出关于参数的不等式组求解.17.中国科学院院士吴文俊在研究中国古代数学家刘徽著作的基础上，把刘徽常用的方法概括为“出入相补原理”：一个图形不论是平面的还是立体的，都可以切割成有限多块，这有限多块经过移动再组合成另一个图形，则后一图形的面积或体积保持不变利用这个原理，解决下面问题：已知函数/(x)满足/(4-x)=/(x),且当xeo,2时的解析式为f(x)=-,则函数y=/(x)在x0,4的图象与直线y=-l围成封闭图形的面积是()A.2B.210g23C

22、.4D.410g23【答案】C【分析】根据题设“出入相补原理”，结合函数y=/(x)在xe0,4的图象与宜线y=-1围成封闭图形的特征及其对称性，应用数形结合的方法，移补图形可得矩形即可求面积.【详解】/、-log(2-x),0 x1由题意知(x)关于X=2对称，而小)=鼠;2且/(0)=八4)一，/=1,.在xe0,4,/(x)、/(4一x)及y=-1的图象如下,，将所围成的图形在x轴卜半部分阴影区域分成两部分相补到x轴上半部分阴影区域，可得到图示：由X轴、y轴、y=l、x=4所围成的矩形的面积，二函数y=/(x)在xe0,4的图象与直线y=-1围成封闭图形的面积为4.故选：C【点睛】关键点

23、点睛：利用函数的对称性及端点值，应用数形结合及“出入相补原理”，可将所围成的图形转化为由x轴、了轴、y=l、x=4所围成的矩形.18.下列五个命题：In7j?ln2;Inp亦五)；2扪11&； TOC o 1-5 h z 3/71n221nx/7=ln7.错误;对于，入“。，/（&）/（）,即见程见瘠,ledp= 21nJ = lnp,正确;对于,.（而,4）/（而）,即*竿=*嘿,VThn221n而，即M2klnl1，.2万正确；对于，.,ev3v;r,./(4)v3),即见三的上，.31n4v;rln3,n3即ln/n3，.%33,错误；对于，；e/(3),即;.31neeln3,e3即I

24、neyIn3，；.eJ3,，正确.故选：C.【点睛】关键点点暗：本题解题关键是能够通过构造函数的方式，将问题转化为函数值的大小关系的比较问题，通过函数的单调性确定函数值的大小关系.19.我国著名数学家华罗庚曾说.“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”在数学的学习和研究中，有时可凭借函数的图象分析函数解析式的特征已知函数/（x）在一号兀的大致图象如图所示，则函数/（x）的解析式可能为（A./(x)=ln|x|-cosxB./(x)=ln|x|sinxC./(x)=ln|x|+cosxD./(x)=ln|x|+sinx【答案】B【分析】根据函数为非奇非偶函数排除A,C

25、；设题k中函数图象与X轴交点的横坐标分别为为,当,且凡0%,且/，利用数形结合分别判断了(X)的零点可得出.【详解】根据函数图象可得其对应的函数为非奇非偶函数，而A,C中的函数为偶函数，故排除A,C.设题干中函数图象与X轴交点的横坐标分别为占,马，且X0七，且年|七.对于B,令/(x)=ln|x|-sinx=O,即ln|x|=sinx,作出y=1川目和y=sinx的函数图象，如图所示;由图象可知，函数y=ln|x|-sinx的图象与x轴交点的横坐标满足不0，|.|玉|工2，符合题意;对D,令/(x)=ln|x|+sinx=。，即ln|x|=-sinx,作出y=ln|x|和y=-sinx的函数图

26、象，如图所示:y由图象可知，函数y=ln|x|+sinx的图象与x轴交点的横坐标满足玉0，且故D不符合题故选：B.【点睛】关犍点睛：本题考杳利用函数图象选择解析式，解题的关键是先判断奇偶性，再数形结合根据函数零点情况判断.己知函数/（X）满足/（-x）=-/（x）,且对任意的1H都有/（：）一；（）2,/（1）=2020,则满足不等式工一2020）2（入一1011）的的取值范围是（）A.（2021,+oo）B.（2020,+oo）C.（1011,+oo）D.（1010,-k）【答案】A【分析】/（七）一（X）2川化为I（占）-2xJ一/（西）-2尤10,构造函数/（x）-2x,再结合奇偶性可知

27、x2x2X,该函数在R上单调递增，又将所求不等式变形，即可由单调性解该抽象不等式.【详解】f（x2）/（x）根据题意可知，-V72x2-X可转化为/伍）-2公卜内）-250X2-X1所以/（x）-2x在0,+8）上是增函数，又/（一工）=一/（工），所以/(x)2x为奇函数，所以/(x)2x在K上为增函数，因为/(x-2020)2(x-10U),/=2020,所以/(x-2020)-2(x-2020)/(I)-2.所以x-20201,解得x2021,即x的取值范围是(2021,+oo).故选：A.【关键点点睛】本题的关键是将不等式2化为/*)-2占一尤|)-2为0，从而构造函数Z一演马一%/(

28、x)-2x,再根据奇偶性和单调性解抽象不等式.已知a,e(O,e),且。力，则下列式子中正确的是()A.aehbeC.anbbna【答案】D【分析】设g(x)=攻，求出导数可得g(x)=在(O,l)上单调递增，在(1,e)上单调递增，从而可判断A,B选1nx项，设/(无)=，求出其导数，得出单调性，可判断c,D选项，得出答案.【详解】设g(x)=，则g，(x)/(l)XX所以g(x)=在(0,1)上单调递增，在(1,e)上单调递增.所以当a,b0,e),a0，得。xe,/,(x)e,所以/(x)在(0,e)上函数单调递增，在(e,+8)函数单调递减，因为a力e(0,e),且ab,见3blna.

29、ab所以选项C不正确，线线D正确.故选：D.【点睛】关键点睛：本题考查构造函数，利用导数讨论函数的单调性，利用单调性比较大小，解答本题的关键是根 TOC o 1-5 h z 据选项的结构形式构造函数g(x)=纪，/(x)=,分别求出其单调区间，利用单调性即可判断，属于XX中档题.已知定义在R上的函数/(x),对任意实数X有/(x+5)=-/(x)+5,若函数f(x-l)的图象关于直线x=l对称，/(-1)=2,则“2021)=()A.5B.-2C.1D.2【答案】D【分析】先根据对称性分析出力的奇偶性,然后根据f(x+5)=-f(x)+5分析出力为周期函数并求解出一个周期，根据奇偶性和周期性求

30、解出/(2021)的值.【详解】由函数。=f(x-l)的图象关于直线x=l对称可知，函数/(X)的图象关轴对称，故X)为偶函数，又由/(x+5)=/(x)+5,得/(x+5+5)=-/(x+5)+5=/(x)+5+5=/(x),所以/(x)是周期为10的偶函数.所以/(2021)=/(l+202xl0)=l)=/(1)=2,故选：D.【点睛】结论点睛：通过对称性判断函数奇偶性的常见情况：(1)若函数y=/(x+a)的图象关于直线x=-。对称，则/(x)为偶函数：(2)若函数y=/(x+a)的图象关于点(一a,0)成中心对称，则.f(x)为奇函数.已知集合A=0,B=,则AC|B=(A.2,-h

31、)b.2,3C.(0,3D.2,3)【答案】B【分析】先分别求出集合A、B,再求ACS.【详解】,x0- = y|y2,因为函数丫=*+，在(0,1)单减，在(1,田)上单增，所以A=0.化简得gGr+a)+g(a)0,即g(兀+a)-g(a),即g(兀+a)g(-a),由单调性有7r+a0且单调递增，y=%21X+l0且单调递减，则/(x)单调递增，故C错误；当时，y=sinx0且单调递减，y=V一;n；+%0且单调递增，则/(x)单调递减；且/(0)=/()=0,乂/(x)是奇函数且周期为2万，af(x)=f=4t*2,故B错误;2/44一乃 TOC o 1-5 h z 由/(乃+x)=/

32、(-X)可得/(x)关于X=g对称，方程“X)-工=0的根等价于y=X)与y=：的交222点的横坐标，根据“X)的单调性和周期可得，y=/(x)；隹(0,乃)行两个关于x=m对称的交点，S7T37r在(2兀,3兀)仃两个关T-x=对称的交点，住(一2万,一万)仃两个大Tx=对称的交点，所以方程/ 一;=0 在 xe(_10/0)故D正确.jr57r(37r上的所有实根之和为二x2+-x2+|x2=3zr22I2)故选：D.单调递增，在单调递减,【点睛】关键点睛：解决本题的关键是判断出2)足函数/(%)的周期目/10,y且关于x=2对称.2.已知奇函数/)在R上单调递增，且/(1)=2,则对(x

33、)x20,贝4(芯)/()/(。)=0，则V(X1)W(X2)，所以F()-F(x2)=x1/(x1)-x2/(x2)0,故尸(X)住(0,+功上递增，在(-00,0)上递减,由于/(1)=2,所以旷(幻2。4(力1-7(1)。/(*)尸(1),所以1VXV1.所以V(x)2的解集为(-1,1).故选：C【点睹】判断函数的奇偶性，可根据奇偶性的定义，判断/(-X)=/(耳或)(-X)=/(x)来确定.函数/(x)=土的图象大致为()V1+COSX)【答案】B【分析】根据定义域排除D,根据奇偶性排除A,根据0 x5时/(x)0得一lcosx所以函数f(x)的定义域为x|xh版次wz,排除D;+c

34、osX显然/*)是偶函数，其图像关于y轴对称，排除a；7T1Cf)CV又当0 xg时，1LUSAe(0,l),所以/(x)2,排除；1+COS12对于B选项，函数定义域为R.排除；,、“、cosfx)-lnx|cosxlnLrl对于C选项，函数定义域为x|x#0,/(-X)=.J-.-/丁=，故函数为非奇非偶函数,2+sin(xI2sinx排除：对于D选项，函数x)符合图象要求.故选：D【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，从函数的值域判断图象的上下位：(2)从函数的单调性判断：(3)从函数的奇偶性判断；(4)从函数的特征点排除不合要求的选项.已知/(x)是定

35、义在R上的偶函数，其图象关于点(1,0)对称.以下关于/(x)的结论：/(x)是周期函数；/(X)满足x)=/(4-x)：/(X)在(0，2)上单调递减；JTY/(x)=cos是满足条件的一个函数.其中所有正确的结论是()A.B.C.D.【答案】C【分析】对于，由己知得=,/(x+2)=-/(%),由此可判断；对于,由已知得/(一力=/(4-x),由此可判断:对于，由函数关于y轴对称，且函数/(x)关于(i,o)对称可判断：对于，由/(-尤)=cos，X)=/(x)/(2-尤)=cos=_/(x),由此可判断.【详解】解：函数)(可是定义在R上的偶函数，其图象关于点(1,0)对称.对于，由于/

36、(x)=/(x),函数的图象关于(1,0)对称，故/(x+2)=-x),所以/(x+4)=/(x+2)=/(x),所以函数/(x)是周期函数，故正确：对于，函数x)为偶函数，则-x)=4-x),由于函数为偶函数*故满足/(力=/(4一无)，故iE确；对于，令x)=cosx,/(x)满足题意，但在(0,2)上单调递增，故错误；对于，因为/(-X)=COS=COS=/(x).乃(2-x)_27r一兀X7VX/(2-X)=cos七-=cos=-cos=-/(%)TTY所以函数/(x)=cos既关于轴对称，又关于(1,0)对称，故正确.故选：C.【点睛】方法点睛：函数的周期性反映/函数在整个定义域上的

37、性质.对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值，以及解决与周期有关的函数综合问题.解决此类问题的关键是充分利用题目提供的信息，找到函数的周期，利用周期在有定义的范围上进行求解.拉格朗日中值定理：若函数/(x)在句上连续，旦在(。口)上可导，则必存在满足等式f)b-ci)=/()-/(a),若对Va,bee+,e+i,一/(/),那么实数/的最大值为()b-aA.-2B.1C.eD.In2【答案】A【分析】由题意可得f=/=，()一),即要求/(X)导函数r(x)=ln(x-l)-x的最大值，令b-a(x)=ln(x-l)-x,对(x)求导判断它的单调性，从而求出最大值即

38、可.【详解】由题意知，X/a,bee3&(a,b),使得t=f)=,/.Lb-a因为/(x)=(x-1)ln(x-1)-x2-x，则/x)=ln(x-l)-x,令版x)=ln(x-l)-x,则(x)=-1=,令(x)=0得x=2.x-1x1当e-i+lx0,即(x)在(eT+1,2)上为增函数：当2xe+l时,h(x)，厘10),则()A.mntB.nmtC.mtnD.nt0f所以/(x)在0,2上单调递增，即当xw0,2时,加以(0)=0./.-/(I)0,0中6)4(2),力百10),即nmt.故选：B.【点睛】关键点点睛:本题的关键点是:探究得到/(/的周期为8,将J都化到0,2上对应的

39、函数值. TOC o 1-5 h z flog5(l-x),xl(1Q33.已知aeR,函数f(x)=1，八则方程/x+一2=。的实根个数最多有()(%2)+2,xNlx)A.6个B.7个C.8个D.9个【答案】A【分析】flog,(l-X),Xlx点个数，进而得到结论【详解】山基木不等式可得X+-20Wcx+-2-4log5(l-x),x2时，xd2-24,x故方程/1x+J2)=。的实数根个数为2；当=2时，xh2=-24或xH2=2, TOC o 1-5 h z XX故方程/1+：-2=的实数根个数为4；当12时，一24xd24或lx+L22或2x23,XXX故方程/（x+：-2）=a的

40、实数根个数为6；111当。=1时，x+2=-4或不+2=1或x+2=3,XXX故方程）（x+g-2）=。的实数根个数为5；当0。1时，-4x+2vo或3工124xx故方程/（X+：-2）=a的实数根个数为2； TOC o 1-5 h z 当a=0时，x+2-2=0或3x+一24,XX故方程）（x+：-2）=”的实数根个数为3；当avO时，0 xH2工20时（）A.|/（3）-8（幻|/（%2）-8（%2）1C.|/（%）-晨%2）1|。）-8（西）|【答案】c【分析】令/z（x）=lnx-x,利用导数求出单调性，得出（x）0,可得单调性，即可判断AB；根据lnx2x2,得f（5）-g（X）0,

41、单调递增，当xe（l,+8）时，l（x）0,（x）单调递减，则在(0,1)单调递减，在(1,+8)单调递增，|(入1)|和|(七)|的大小不确定，故AB错误；由可知In无2为，即/()_g(xJ0,令W=1/(Xj)-(x2)|-1/(Xj)-(x,)|,则W=1f(x)-(x2)I+/U2)-(x,),当2g(X?)时，W=/(x1)-()+/(x2)-()=/(x1)-g(xl)+/(Jc2)-g(x2)0:当f(%)g(W)，W=g(x2)-f(xl)+f(x2)-g&)=区)+g)-/i)+g(X)，y=/(x)+g(x)=lnx+x单调递增,.W0,综上，|/(X1)-g(X2)k(

42、X2)ga)l，故C正确，D错误.故选：C.【点睛】关键点睛：解决本题的关犍是构造函数(x)=lnx-x,利用导数判断出单调性且得出(x)0.函数y=/(x)对任意的xe-万，5满足x+2/(x)+/(x)sin2x=(其中/(x)是函数/(x)的导函数)，则下列不等式成立的是()【答案】DD.扃闺0,所以尸(x)20,所以F(x)住上单调递增因吗卷，所以/71 r tan f35乃 271 tan,12故鬲图0,b0,且人Jl+从,则a,b的值不可能是()log4 3a = log450，j = 2a = 2Z? = sin31a=log25,75b=4【答案】C【分析】由题设可得J/+l

43、+ lna J、y + l lnb,又y=JX+i+ina在a0上为增函数,y=J*+l-lnb在人0上为减函数，结合各选项。、b的上下界范围判断不等式是否成立即可.【详解】由题设，+1+Ina+1-InZ?,而y=Ja?+1+Ina住a0上为增函数，y=+1In力自：b0上为减函数,a = 2则左边为、6 + ln2；即左边大于右边，排除A；a=252,则Ja?+1+Ina6+In2；b=则J+；一InJ1,则符-lnb0上递增，匚+1-ln8在b0上递减.b2.设函数y=f(x)和y=/(-x),若两函数在区间W可上的单调性相同，则把区间见可叫做y=/(%)的“稳定区间”.已知区间1,20

44、21为函数y=(+a的“稳定区间”，则实数。的取值范围是()A.-2,-1B.,2C.-2,D.1,2_2JL2J【答案】C【分析】依题意可知函数y=(|+。与函数y=|2+a在区间口,2021H司增或者同减，则根据同增或同减分两种情况讨论即可.【详解】函数y=在R上单调递减，函数y=2,在H上单调递增，若区间1,2021为函数y=0+。的“稳定区间”，则函数y=/(x)=(g)+a与函数y=/(-x)=,+4在区间1,2021上同增或者同减，若两函数在区间口,2021上单调递增,+在区间1,2021上恒成立,即以2x+a02,+a0所以一24。4一,；2若两函数在区间口,2021上单调递减,

45、则(J) +“*在区间1,2。21口：恒成立，即24 0(1 丫QJ +/022()2l+af(x)恒成立=a/(x)raax：(2)a4/(X)恒成立一5a=2,令x=0，由得：/(1)=一/(1)=/(1)=0=8=2,所以/(x)=_2f+2.思路-：从定义入手.思路二：从周期性入手111两个时称性可知，函数/（力的周期7=4.故选：D.【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果.39.定义函数尸（力=“X)g (力y(x)g(x)若函数/(同=/2%+1, j?(x) = x2-ax+b,且对任意的尤eR，都有尸（x）=E（4-x

46、）成立，函数y=F（x）的图象与y自左向右有四个交点a、B、C、d,贝I忸c根的范围为（A，（哈C.(0,1)【答案】A【分析】由己知得F（x）关于x=2对称，再由/（力关于x=l对称，可得8（力=/一办+关乎x=3对称，且/=g，得。=6,匕=9.作出b(x)图象,得出表示|Bq-7=2m2/小/浣,根据函数的性质可求得答案得选项.【详解】由/(x)=尸(4-x)可得/(力关于*=2对称，因为J(x)=、-2x+1,则f(x)关于x=I对称,所以g(x)=f一公+b关于x=3对称，且/=g(3),得a=6，b=9.则/(X)图象如下图所示，则xB=1+4m,xc=3-4m,所以忸C卜/=2加

47、一2?而,令/=册0,1),则忸。加=2/一2,令g(。=2/一2?,则,)=射一6/=2/(2-3。,由g(r)0得0/；由g(r)0时，最小值为2,得函数的最小值为2；利用导函数的E负来判断函数在区间（一,0）上是单调递增.【详解】/(-x) = sin|-x| + p-r sin -x= lnW +而寸，所以函数/（x）是偶函数;=sin7121+sin -=sin712+ sin=-2所以/（一）工/（4）且-g+3=2xg,故函数/（x）不关于x=5对称;乙乙乙乙乙4sin|x|wO ,当sin|x|0时，/(x) = sin|x| 2 /sinlxl-V 1 1 sin x=2,根

48、据函数的奇偶性，/（X）的最小值为2；臼加时，小）=红巾|+看-W熹.、COSXCOS3X乃n.2c/(x)=-cosxd-=-.%|一丁,。|时，cosx0,sinx0.sinxsinx2J/W0f(x)在 X ( 一 !,()上单调递增.故选：B【点睛】对函数奇偶性，对称性，单调性，最值要有明确的认识，根据表达式的特点，结合学过的导数，基本不等式等知识来解题.二、多选题.已知曲线C的方程为尸（x,y）=O,集合T=（x,y）/（x,y）=0,若对于任意的（石,y）eT,都存在（W，%）eT,使得王龙2+,、2=0成立，则称曲线。为E曲线，下列方程所表示的曲线中，E曲线的序号是（）A.|x|

49、-|y|=lB.y=ex-2C.y=log,xD.（2x-y+l）（|x-l|+|y-2|）=0【答案】BD【分析】利用平面向量数星:积的坐标运算以及数形结合思想、题中定义可判断各选项是否满足条件，即可得出合适的选项.【详解】对于A,当耳（今,凹）为（1,0）时,假设存在（孙必）6。使得。4，则可a=%2=0，贝|）国=-1，矛盾，故曲线|x|TM=l不是2曲线；对于B,M=（x,y）|.y=e0当xG(O,+oo)时y=2+2T为增函数，故函数./k)=xn(2+2x)在区间(。，+8)上单调递增，故B正确；对C：设力(x)=ln(2*+2-*)，于是/(x)=x/?(x),有/(x)=x7

50、i(x)+x”(x)得/(0)=/i(0)=ln2,故C正确;对D：故函数/(X)=.rln(2+2T)在区间(0,+8)上单调递增，旦外)为奇函数，即函数_/U)=Hn(2*+2-,)在区间R上单调递增，只有一个零点为x=0,故D错误.故选：ABC.【点睛】若凡x),g(x)同奇偶，则奇函数./(x)g(x)是偶函数，若奇偶性相反，则枳函数火x)g(x)为奇函数；若x),g(x)在某个区间上的函数值为正值，且都是单调递增函数，则积函数月x)g(x)是单调递增函数；关于y=x/z(x)型函数，利用积函数的导数运算法则可以将在x=0处的导数值可以转化为(0)解决，对(x)的导函数可以采用设而不求

51、的思想方法，更一般的，对于y=(xa)(x)型的函数在X=a处的导数，均可以仿照解决.43.已知/(x) = 1解：此函数为增函数的条件是：3-alo+l0al此函数为减函数的条件是：21+sinpA.2a如214C.4-apa+/【答案】ACD【分析】3,解得a3,2解得0。1,分式函数的单调性，属基础题，分段函数单调增（减），需要各段ep+-,贝I（）2a+smaB.lna+a0.利2a+sma2ft+sinp2x+sinx用导数以及复合函数的单调性可得在(0，+8)上单调递增，从而可得a0,然后再利用不等式的基本性质逐一判断即可求得结论.【详解】因为正数a,夕满足6。+；+-:，2p+s

52、inp2a+sina所以一五“一拓垢，构造函数/(x)=ex,x0,2x+sinx令g(x)=2x+sinx，g(x)=2+cosx0恒成立，所以g(x)在(0,+8)上单调递增,由复合函数的单调性可知L在(。,内)上单调递增，2x+sinx所以/(%)=e，1在(0,+8)上单调递增，2x+sinx由，(a)/(夕)，可得a夕0,对于A，由a力，可得+所以2-即2，故4正确:对于8.由a夕0,可得/a加用，则/a+c/尸+尸，故B错误;对于C，a114所以故C正确:11111111对于由a0,可得才/0,所以/，所以/+61且/(.)=/(力)时，+=1abD.关于X的方程/(x)=，(，N

53、0)恒有4个不同的实根【答案】AC【分析】利用函数对称性的定义可判断A选项的正误；化简函数/(X)在(0,1)上的解析式，利用对数函数的单调性可判断B选项的正误；利用时数的运算性质可判断C选项的正误；取，=0可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，/(2-x)=|ln|2-x-l|=|ln|l-x|=|ln|x-l|=/(x),故函数/(x)的图象关于立线x=l对称，A选项正确；对于B选项，当01时，一lx10,ln|x-1|1则/(x)=|ln(x-l)|=|lnJ：:工。,11x2al,由/(。)=/()，可得=即ln(a-l)+lnS-1)=0,故(。一1)修-1)=1,即a=a+b,亦

54、即工+工=1,C选项正确；ab对于D选项，当r=0时，由)=中-=0,可得以-1|=1,解得x=0或2,D选项错误.故选：AC.【点睛】关键点点睛：本题考查对数型复合函数的问题，解题的关键就是结合自变量的取值范围化简函数解析式，结合对数函数的基本性质求解.三、填空题.设数列,的前项和为S“，对任意eN*,函数=/-5“cosx+2a“一1在定义域内有唯一的零点，则数列%的通项公式.【答案】4,=2T【分析】根据偶函数的对称性可以判定函数为唯一零点的横坐标必然为0,进而得到数列的和与项的关系式，利用作差法消和得到项的递推关系，结合首项的求解结果，可以判定此数列是等比数列，然后写出通项公式即可.【

55、详解】函数/(x)=x2-Sncosx+2a“-1在定义域内有唯一的零点，结合余弦函数和二次函数的对称性，/(x)=x2-S“cosx+2a“-l为偶函数，其图象关丁丁轴对称可知这个公共点的横坐标一定是0,(否则公共点则成对出现),即S“=2a”-1,取=1得。=S=2a)-1,s所以at=1,当“22时得到S”=2an-1.,.。”=2。“-241-即。“=241，数列4为首项为1,公比为2的等比数列，.4=2T,故答案为：an=2-.【点睛】本题考查偶函数的判定与性质，根据和与项的递推关系求数列的通项公式，属小综合题，关键是根据函数的图像的对称性，得到唯一零点的值为0,进而得到数列的和与项

56、的关系.函数#x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且/(x)+2g(x户e，若对任意x(0,2J,不等式J(2x)-ntg(x)0成立，则实数的取值范围是.【答案】(-oo,4&【分析】f(2x)由函数的奇偶性列方程组求解函数火x),g(x)的解析式，由/J2x)-,g(x巨0分离参数得通过换，式元)元法构造新函数结合基本不等式求取最值即可有结果.【详解】解：根据题意，函数K0、g(x)分别是定义在R上的偶函数、奇函数，且贝x)+2g(x)=e,，可得/(x)+2g(x)=eT,即/(x)2g(x)=e-,联立，解得/(x)=；(e*+e-*),g(x)=；卜，e-x),设f=e-

57、2由x(0,2,可得，由=e-工在X(O,2递增，可得/(0,/对任意XG(0,2,不等式J(2x)-zwg(x)0成立，又由re(0-/,则+当且仅当t=J5时等号成立，则2x)=2*(上-6_)+2=2xfr+-|的最小值为4&，g(x)ex-extIt)若m4在(0,2上恒成立，必有m/2g(x)即加的取值范围为(oo,42J故答案为：(-8,4&.【点睛】方法点睛：已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：(1)函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，

58、然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,利用数形结合的方法求解.若函数x)=a(x-iy+-也+x-l存在/t(2eN*)个零点，则所有这些零点的和等于X1【答案】A【分析】构造函数g(x)=a?+g+x并讨论其奇偶性，再利用函数/(x)与g(x)的关系即可作答.【详解】0b函数g(x)=ax3+x,xeR且xwO，g(-x)=a(-x)，+(-x)=-g(x),X-X即g(x)是其定义域上的奇函数，其图象关于点(0,0)对称，而/(x)=g(x-l),则/(X)图象可由g(x)图象右移一个单位而得，于是/(X)图象关于点(1,0)对称，因“X)存在/tpwN*)个零点且点(1,0)不在x)

59、图象匕从而4为偶数，设这几个零点依次为内,天，当七t，点(七，0)与(x2t+1,0)(ieN*,iW/l)关丁点(1,0)对称,即尤,-+St+i=2(iN,i3则+的取值范围是.【答案】(8-a,7【分析】先求得时,”X)的解析表达式/(x)=(x4)2-；，研究其单调性，进而根据方程(x)=a在3,4上有两个不相等的实数根再，X”得到0a4；.求得=4-+a,x2=4-J-a,得到N+4=8-J；+a+Jg-a利用三角换元思想，求得取值范围.【详解】因为xg3,4,所以x-3e0,l,9171而y(x_3)=(x-3)2-2(x_3)+=(x-4)-,所以当xw3,4时，f(x)=f(x

60、-3)=(x-4)( 历、/(3) = 4)= j 4-苧=0,因为方程(x) = a在3,4上有两个不相等的实数根%,%, nJ 知 0 0.4一,4上(x4)2g+cos6)=8-V2sin(+0e(8-V2,7.故答案为：(8-&,7后,注意到的平方和恒为1,想到利用:.角换元思想求解，特别要注意，根据【点睛】本题考杳函数的解析式，函数的单调性，取值范围问题，关键是求得玉+*2=8K),缩小角的范围.0 xl1 x3,?M/(x+4) = /(x) + a ,3 x 42x52.已知函数y=/(x)的定义域是0,”)，满足f(x)=卜-4x+5-2x+8若存在实数匕使函数g(x)=/(x