数值分析考试及答案

1、数值分析考试及答案作者日期班级. . 学号 姓名宓 |_|_| 东北大学研究生院考试试卷2011 0 ，课程名称：数值分析（共3页）2012学年第一学期. 一、解（每题5分，共30分）1.设近似值x具有5位有效数字，则x的相对误差限为多少?解：记x*0时2.10m，则x的相对误差为:0.5 10m 50.aa210mo. 即，相对误差限. 为：0.5 1050.5 100.10.5 10总分四五4.对方程 f (x) (x3 a)2敛？若收敛，收敛阶是多少?解：Newton迭代格式为：f(xk)由于迭代函数为：（x）0建立Newton迭代格式，并说明此迭代格式是否收f (Xk)Xka6x26X

2、k，方程根 为：xk56k 6：k2,k012-3 a,所以,2.问a, b满足什么条件时，矩阵A4 2 02 5a有分解式A GGt，并求a b 2时所以，此迭代格式收敛，收敛阶是 1.2/942 0210解：由于A 25 a12a/2（A对称正定时）0b 50b/25ab/4所以，当2 .5a b 25时有分解式A GGt，a b 2 时有：4 2 02 0 02 1 0A2 5 21 2 00 2 10 2 50 1 20 0 23.解线性方程组X1 2x22的Jacobi迭代法是否收敛，为什么？2x1 9x23的分解式（其中g是对角线元素大于零的下三角形矩 阵）解：Jacobi迭代矩阵

3、为：B(B)2/3 12,所以, 设 f (x)4x3 3x 5，求差商 f0,1, f1,2,3,4和 f 1,2,3,4,5。的C 牛 f(1 f(0C / 匚 7 TOC o 1-5 h z 解：f 0,12 ( 5)71 0f1,2,3,44, f1,2,3,4,50设p2 (x)是区间0, 1上权函数为x的二次正交多项式，计算积分x2p2 (x) dx.01 2 1 /解：0 x P2 (x) dx 0 x x P2(X)dx x, P2 (x) 0所以，Jacobi迭代法是否收敛、解答下列各题：(每题8分，共48分)2c 1，a be 2， ac。，解得：ac 1/2,b1,x1

4、0.3x2 0.2x3 11.用Gauss-Saidel迭代法求解方程组x2 0.4x3 2，如果取初值XI X31所以，H3(x)4 .确定求积公式1(x 2)( x 2 2x 1)211if(x)dx2f( 1(X1T23x 2)。A2f (1)中的待定系数，使其代数XO (0,0,0)t,试估计迭代10步的误差| |xioX*1 OO1O0.30.2O 0.30.2密G (D L) u 1O 1OOO0.4OO0.41 O1OOOO 0.30.2解：由于Gauss-Saidel迭代矩阵为:所以，p| 0.5,由于Gauss-Saidel迭代格式为:X(k 1)0.3x2O-2x3k)1x

5、2k 1)0.4x32，所以,X3k 1)x1k 1 1X(1)(1,2, 2)t， X(1)X(0)2，于是1 gG m x(0)2 .给定离散数据O.510O.5280.00390625Xi-1O12V2-113256试求形如y a bx2的拟合曲线解：由于o(x)1,1(X) X2,所以。(1,1,1,1)T,1(1,0,1,4)t,f (2, 1,1,3)t，所以，正则方程组为:4a 6b 56a 18b 15精度尽可能高，并问此公式是不是插值型求积公式.解：令公式对f(x)1,X都精确成立，得：A1A2 3/2, A1/2,i11所以，A 1, A2 1/2时，公式f(x)dx 1

6、f( 1) f(0)1 f(1)代数精度最高.122又由于公式对f(x)x2不能精确成立，所以，代数精度为1,不是插值型求积公 式。利用复化Simpson公式S?计算定积分I sinxdx的近似值，并估计误差。3.解：I S2 sin O sin 2sin4sin 4sin (12 2)2.00456122446由于f(x) si nx的4阶导数在O,上的最大值为：M4 1,所以.5m误差为：| I S2 | 44 = 0.0066412880 2求解初值问题y sin(x 2y), x 2的改进Euler方法是否收敛？为什y(o)1么？解：由于 |sin(x 2y) sin(x 2y)| |

7、2qos(x 2 )(y y) | 2 | y y |即，函数f (x, y) sin(x 2y)连续，且关于变量y满足Lipschitz条件，所以，改进Euler 方法收敛。所以，a O, b 5/6，拟合曲线为：y 5/6x23.求满足条件f(O) 1,f(1)2,f(2)O,f(1) O的三次插值多项式H3(X)的表达式三、(9分)说明方程2x sinx 2收敛的迭代格式，使对任意初值x0 阶。0在区间1 ,内有唯一根，并建立一个2 2上，一都收敛，说明收敛理由和收敛2 21 1解：记 f(x) 2x si nx 2, f (x)2 cosx建立迭代格式:由于，迭代函数1 , -120,

8、Xk 1则 f (x) C ,且 f( )0, f ( )0,而且，所以，方程2x sinx必2 2 0在区间内有唯一侦2Asin x.2k k(x) 2sin x232 2,(x)所以，此迭代格式对任意初值X。1又由于，()1 cos1, k 0,1,2,.11在区间,上满足条件: 22 1 1(X)| 1 cosx |11,都收敛。2 20,所以此迭代格式1阶收敛。四、(9分)已知求解常微分方程初值问题：y f(x,y), x a,s的差分公式：y(a)Yn 1Ynhf(Xh2，Ynh2f(xn， Yn)y。求此差分公式的阶 解：由于Yn 1YfnhYfi)I2Jn7 f 2) O(h4)x Y nY(Xn1)Y (Xn) hY (xn)h21心)h3S (Y (Xn)所以，y(xYnfnhh2h3yQ 6y(Xn) O(h4)1) Yn 1O(h3)五、(4分)设矩阵M是n阶方阵，M有一个绝对值小于1的特征值，且方程组x Mx g有唯一解x，证明：存在初始向量乂使迭代格式：x(k 1Mx(k) g, k 0,1,2,.产生的序列x(k)收敛到x*.解：由 x(k Mx(k) g 和 x* Mx*g 可得：x(k1) x*