第六章弯曲内力(讲稿)材料力学教案

1、第六章 弯曲内力一、教学目标和教学内容1、教学目标掌握弯曲变形与平面弯曲等基本概念；熟练掌握用截面法求弯曲内力；熟练列出剪力方程和弯矩方程并绘制剪力图和弯矩图；利用载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系绘制剪力图和弯矩图;掌握叠加法绘制剪力图和弯矩图。2、教学内容平面弯曲等基本概念；截面法及简便方法求弯曲内力；剪力方程和弯矩方程、绘制剪力图和弯矩图；用载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系绘制剪力图和弯矩图；叠加法绘制剪力图和弯矩图。二、重点难点1、平面弯曲的概念；2、剪力和弯矩，剪力和弯矩的正负符号规则；3、剪力图和弯矩图；4、剪力、弯矩和载荷集度的微分、积分关系；5、叠加法绘制剪力图和弯矩图。三、教学

2、方式采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。四、建议学时7 学时五、实施学时六、讲课提纲1、平面弯曲的概念及梁的种类平面弯曲的概念简单回顾轴向拉、压：图6-1受力：Fp作用在横截面上，作用线与杆轴线重合 变形；沿轴线方向的伸长或缩短。剪切:图6-2受力：Fp作用在杆的两侧面上，作用线，轴线。变形：两相邻截面（力作用部位，二力之间）发生相对错动扭转:受力：T作用在垂直于杆轴的平面内（横截面内） 变形：相邻截面发生相对转动弯曲：讨论杆的弯曲暂时限制在如下的范围；杆的横截面至少有一根对称轴（一个对称面）图6-4载荷作用在对称平面内在此前提下，可讨论杆件弯曲的受力特点：所有外力都作用在

3、通过杆件轴线的纵向对称平面内:变形特点：杆件轴线在载荷作用平面内弯成一条曲线。受力、变形具有上述特点的弯曲称为平面弯曲。何谓梁凡是以弯曲为主要变形的杆件，通常称为梁。梁的种类:自由端固定端图6-7外伸梁 TOC o 1-5 h z fqh10 iv y v *D /固定校（座却J卜福希外伸端FcF,图6-8多跨静定梁图6-9超静定梁2、梁的内力及其求法梁的内力一剪力与弯矩确定约束反力q(L，图 6-11内力分析用截面法沿m-m截面截开（任取一段）白，一与凡和人组成的力偶平衡A、1 ：尸口一与H平衡曰图 6-12按平衡的概念标上Fq,M。Fq-与横截面相切一剪力M内力偶矩一弯矩内力值的确定用静力

4、平衡条件：Fy 0 Fa Fq 0得FqFaMo 0 FA a M 0 得 M FA a（O-截面形心）剪力、弯矩的正、负号规定：剪力：当截面上的Fq使该截面邻近微段有做顺时针转动趋势时为正，反之为负。tnFqJ.|.（一） （）图 6-13弯矩：当截面上的弯矩使该截面的邻近微段下部受拉，上部受压为正（即凹)向上时为正），反之为负。(+ )，1 2KN 111I/.SKN ni求指定截面上的剪力和弯矩、=3KNIf D2in图 6-15求图示梁截面A、C的内力:解：求反力:Fa 5kN4kN校核:Fy0FpFa Fb 00（无误）求指定截面上的内力:截面A左（不截到Fa）:E=3KNFyFqa

5、左MoFpFpFqa 左03kN（使该段有逆时针转动的趋势）Fp 2图 6-166kN m（上拉下压）截面A右（截到Fa）:匕=3 KNFFpF 十rQA左MoFp 2Fqa 左Fa02kNMa右图 6-17Ma右6kN m截面C左（不截到M）:A/caFyFaF QC左Fp qFp 4FaF qc左1 Me 左0Me左图 6-184kN截面C右（截到M）:Fy尸产3 KNtj- I KN tnF2m2niFa Fp qFqc右MoFqc右Fp 4FaMi Mc 右小结 基本规律求指定截面上的内力时，既可取梁的左段为脱离体，也可取右段为脱离体，两者计算结果一致（方向、转向相反）。一般取外力比较

6、简单的一段进行分析。在解题时，一般在需要内力的截面上把内力（Fq M假设为正号。最后计算结果是正，则表示假设的内力方向（转向）是正确的，解得的FQ、M即为正的剪力和弯矩。若计算结果为负，则表示该截面上的剪力和弯矩均是负的，其方向（转向）应与所假设的相反（但不必再把脱离体图上假设的内力方向改过来）。梁内任一截面上的剪力FQ 的大小， 等于这截面左边 （或右边） 所有与截面平行的各外力的代数和。若考虑左段为脱离体时，在此段梁上所有向上的外力会使该截面上产生正号的剪力， 而所有向下的外力会使该截面上产生负号的剪力。梁内任一截面上的弯矩的大小，等于这截面左边（或右边）所有外力（包括力偶）对于这个截面形

7、心的力矩的代数和。若考虑左段为脱离体时，在此段梁上所有向上的力使该截面上产生正号的弯矩， 而所有向下的力会使该截面上产生负号的弯矩。另外，若考虑左段梁为脱离体时，在此段梁上所有顺时针转向的外力偶会使该截面上产生正号的弯矩， 而所有逆时针转向的外力偶会使该截面上产生负号的弯矩。3、剪力图和弯矩图为了知道Fq M沿梁轴线的变化规律，只知道指定截面上的Fq M是不够的，并能找到FQmax 、 M max 的值及其所在截面，以便对梁进行强度，刚度计算，我们必须作梁的剪力图和弯矩图。剪力方程和弯矩方程梁内各截面上的Fq、M一般随横截面的位置不同而变化，横截面位置若 用沿梁轴线的坐标x来表示，则梁内各横截

8、面上的Fq、M都可以表示为坐标 x 的函数，即FQFQ(x)剪力方程MM (x)弯矩方程在建立FQ(x)、 M(x) 时，坐标原点一般设在梁的左端。剪力图和弯矩图根据FQ(x)、 M (x) ，我们可方便地将FQ、 M 沿梁轴线的变化情况形象地表现出来，其方法是横坐标x- 横截面位置纵坐标Fq或M -按比例表示梁的内力FQ 、M 画在横坐标的上边FQ 、M 画在横坐标的下边剪力图、弯矩图的特点：(举例说明)图 6-20解：求约束反力整体平衡，求出约束反力：Fa F； Fb FP-注意；约束反力的校核分段列Fq(x)、M(x)注意：三定定坐标原点及正向原点：一般设在梁的左端；正向：自左向右为正向

9、。定方程区间即找出分段点；分段的原则：载荷有突变之处即为分段点定内力正负号截面上总设正号的剪力、弯矩。三定后即可建立Fq(x)、M(x)列 Fq(Xi)、M(Xi)：AC段：(根据图b列方程) TOC o 1-5 h z Fq(Xi) Fa (0X1a)(1)FobM (x1) Fa x1 x1(0 Xi a)CB段：(图c)Fq(X2) Fa Fp FPb Fp(aX2l)(3)M (x2) Fa x2 Fp(x2 a)FPb(ax2b时，Fq QQ Q max据M图可见，c截面处有，M /mi若 a=b=l/2,则 M m特点之一：在集中力作用处，Fq图有突变（的大小；早 iJFPal F

10、P（a b） Fp；p alFPablFpl4,突变的绝对值等于该集中力转折点，形成尖角。（M图的切线斜率有突然变化）（Fq ）a包X!ob图 6-21AC段：Fq(Xi) Fa ，(0X1a)MoM(X1) Fa X1x1 (0 xia)CB段：Fq(X2)FaMoM(X2)Fa X2MoMoX2 M O(ax2l)(ax2b,则集中力偶左侧截面上有最大弯矩M maxMOal特点之二：在集中力偶作用下，弯矩图发生突变（不连续），突变的绝对值等于该集中力偶矩的大小； 产 卜干| Mo；但剪力图没有突变。（FQ图连续,并不改变斜率）4图 6-22Fq(x) Fa qx ql- qx(0X1 )2

11、_ 2_ 2M(X)Fa x 也爪叽(0 X1)222由Fq M图可见:支座处：FqmaxFq=0 处：M maxqi_ 2ql28特点之三:从例题8-1 （集中力）、例题8-2 （集中力偶）、例题8-3 （均布荷载） 可以看到：在梁端的钱支座上，剪力等于该支座的约束反力。如果在端点较 支座上没有集中力偶的作用，则较支座处的弯矩等于零。Fq(x)M (x)图 6-23qx(0 x l)2qx2(0X l )在固定端处:特点之四:Fqmaxqiql2max 2在梁的外伸自由端点处，如果没有集中力偶的作用,则端点处的弯矩等于零；如果没有集中力的作用，则剪力等于零特点之五:在固定端处，剪力和弯矩分别

12、等于该支座处的支座反力和约束力偶矩。特点之六：最大剪力、最大弯矩及其位置。最大剪力发生位置：梁的支座处及集中力作用处有FQmax ,例题6-3及6-4最大弯矩一般发生在下列部位；集中力作用的截面处 例题6-1集中力偶作用的截面处 例题6-2Fc=0处，M有极值例题6-3悬臂梁的固定端处 例题6-4 （外伸梁的支座处往往也有Mm,、）例题6-5IOKN图 6-24特点之七：在梁的中间钱上如果没有集中力偶作用，则中间较处弯矩必等于零，而剪力图在此截面处不发生突变。例题6-6再分析例题6-1 ;集中作用在1/2处图 6-26再分析例题6-3 :简支梁承受均布载荷图 6-27特点之八：对称结构、对称载

13、荷，FQ图反对称，M图对称，据此特点，下面这道题即可方便作出F。M图（只要列出一半的剪力、弯矩方程即可作图）图 6-25q(x) 10 x 2q(x) 5x TOC o 1-5 h z 12AC 段：Fq(x) Fa - 5x x 10 2.5x(0 xl )2x5 qM (x) Fa x -(5x) x x 10 x -x3(0 x2)36根据特点之八，可画出整个梁的 Fq M图特点之九：对称结构，反对称载荷，Fq图对称，M图反对称构件设计中确定特点之十：梁中正、负弯矩的分界点称为反弯点，反弯点处 M=0,反弯点的位置具有实际意义可以发现:dM (x)dx4、q(x)、FQ(x)、M (x)

14、之间的微分和积分关系。留心例题6-1到例题6-4;特别是例题 6-3、例题6-4,Fq(x) , dFQ2 q(x)。是否普遍存在着这样的关系 dxinmA图 6-27q(x)、Fq(x)、M(x)之间的微分关系。取dx 一段讨论，任设Fq(x)、M(x)均为正值Fy 0Fq(x) q(x)dx Fq(x) dFQ(x) 0dFQ(x)(1)的一阶导数二一q(x)dx式的物理意义：梁上任一横截面上的剪力Fq(x)对x三四，等于该截面处作用在梁上的分布荷载集度q(x)。dx式的几何意义：任一横截面上的分布荷载集度q(x),就是剪力图上相关点处的斜率MO 0dxM(x) FQ(x)dx q(x)d

15、x M (x) dM (x) 02略去高阶微量吗Fq(x)dx式的物理意义：梁上任一横截面上的弯矩M (x)对x的一阶导数也3 ,dx等于该截面上的剪力Fq(x)。式的几何意义：任一横截面处的剪力Fq(x),就是弯矩图上相关点处的斜率。对式的两边求导，则dFQ(x)dxq(x)2d M (x)dx2式的物理意义：梁上任一横截面上的弯矩M(x)对x的二阶导数2，等于同一截面处作用在梁上的分布荷载集度q(x)dx数学上：二阶导数可用来判定曲线的凹向，因止匕:式的几何意义：可以根据 M(x)对x的二阶导数的正、负来定出M(x)图的凹向根据q(x)、Fq(x)、M (x)之间的微分关系所得出的一些规律

16、:若q(x) =0/ dFQ(x) =q(x)=0 ,即 Fq(x)= dx二Fq图为一水平直线;又. dMx） Fq（x）=常数，即M图的斜率为一常数 dxM图为一斜直线。并且 当Fq 0时，M图为上升的斜直线（/）;当Fq 。时，M图为下降的斜直线（）.若q（x） 0 （即分布荷载向下）.2=q0 dx二Fq图为一下降的斜直线（）Fq 0又 dM (x)dxM图下降。,2再.d M2：x)q 0dxM图为一凹向下的曲线（A）若q（x） 0（即分布荷载向上）2=q 0 dx Fq图为一上升的斜直线（/）又.则M fq 0 dxM图上增。,2再一q 0M图为一凹向上的曲线（U）若眄M Fq（x

17、） 0 （即悬臂梁、外伸梁在自由端作用集中力偶M,而dx梁上又无q、Fp作用）则M图的斜率为零，M图为一水平直线。若dMIU Fq 0, M图在该处的斜率为零时， dx则在此截面上M为一极值。若叫Fqfq或fqfqdxdx(即分段列内力方程的分段点，Fq变号)则M在该处必有极值。当FqFq时，M有极大值；当FqFq时，M有极小值。q(x)、Fq(x)、M(x)之间的积分关系.dM (x)/、 q(x)dx Fq(x)q(x)dx若梁上任有两点：a和b,则Fq FQa FQb： q(x)dx几何意义；任何两截面(b, a)上的剪力之差，等于此两截面间梁段上的荷载图的面积；V - dM (x)乂 q(x)dx.M(x)FQ(x)dxM Mb Maa Fq(x)dx几何意义；任何两截面上的弯矩之差，等于此两截面间的剪力图的面积。q(x)、Fq(x)、M(x)之间的微分关系和积分关系的应用作内力图既快又正确的三句话:抓住“关系”；注意突变；定点控制。利用q(x)、FQ(x)、M (x)间的微分关系和积分关系作FQ、M图例题6-82KN7KzN hrT卬图 6-28(Fq)例题6-10g20KN/mF=40KNM24