实验数学一：-MATLAB的基本操作

1、第一篇MATLAB在数学(shxu)问题中的应用 本篇有7个MATLAB软件操作实验，主要介绍了MATLAB的基本语法和用法，包括其基本操作、数、数组、矩阵的建立和运算，符号运算，程序结构与编制；并且分别介绍了MATLAB软件在高等数学、线性代数、计算方法、优化、概率统计中的应用(yngyng)和图形处理功能。 本篇内容简单明了，重点突出，不求系统全面，但求简单实用，起到解决数学中典型问题的示范作用，达到举一反三的效果。本书是基于MATLAB6.x及以上版本，内容由浅如深，特别是本书对每一条命令的使用格式都用例题作了详细的说明。 1共六十七页 本篇大部分内容是可以通过上机自学的，教师(jios

2、h)不必过多讲解，每个实验后配备了实验任务，学生通过实验任务的练习可以加深对MATLAB命令的理解，熟练掌握本篇内容对后面的学习及解决实际问题的数据处理和科学计算是很有帮助的。 2共六十七页 MATLAB的基本操作1.1实验(shyn)目的 本实验的目的是了解MATLAB软件，学会MATLAB软件的一些基本操作，掌握其基本运算、常用的函数及程序设计与简单M文件(wnjin)的编写。 1.2实验内容1.2.1 关于MATLAB软件 由于科学技术及计算机的飞速发展，各类数学软件不断涌现，这使在解决各类复杂的问题变得非常简单了。现在常用的数学软件有Mathematica、MATLAB、SAS等软件。

3、 3共六十七页 Mathematica是美国Wolfram Research公司开发的数学软件，它的主要使用者是从事理论研究的数学工作(gngzu)者和其它科学工作(gngzu)者、以及从事实际工作(gngzu)的工程技术人员。 SAS是Statistical Analysis System的缩写，意为“统计(tngj)分析系统”，是由美国SAS研究所（SAS INSTITUTE INC.）于1976年推出的用于决策支持的大型信息集成系统。是当前最重要的专业统计(tngj)软件之一。 MATLAB是“Matrix Laboratory”的缩写，意为“矩阵实验室”，是当今很流行的科学计算软件。

4、4共六十七页 信息技术、计算机技术发展到今天，科学计算在各个领域得到了广泛的应用。在许多诸如控制论、时间序列分析、系统仿真、图像信号处理等方面(fngmin)产生了大量的矩阵及其他计算问题。自己去编写大量的繁复的计算程序，不仅会消耗大量的时间和精力，减缓工作进程，而且往往质量不高。 20世纪(shj)70年代美国新墨西哥大学计算机科学系主任Cleve Moler 教授为了减轻学生编程负担，用Fortran编写了软件，此即萌芽状态的MATLAB。1984年，美国Mathwork软件公司成立，MATLAB的内核开始采用C语言编写，并推向市场。 5共六十七页 20世纪90年代，MATLAB已经成为国

5、际(guj)控制界公认的标准计算软件。Mathwork软件公司于1993年推出了基于Windows平台的MATLAB4.0.从1997年的5.0版起，历经5.x,6.x到7.0版本，MATLAB软件 “面向对象”的特点愈加突出，数据类型愈加丰富，操作界面愈加友好，运算速度越来越快，功能越来越强大。 在欧美高校，MATLAB已成为许多课程的基本教学工具，是大学生、硕士生和博士生必须掌握的基本技能；在设计研究单位和工业部门，MATLAB已成为必备的标准软件。近年来，MATLAB在国内的知名度越来越大，并已广泛地应用于教学和科研领域。该软件的特点(tdin)可以归纳为以下几点：6共六十七页（1）简单

6、(jindn)易学 MATLAB是一门编程语言，其语法规则(guz)与一般的结构化高级编程语言如C语言等大同小异，而且使用更方便，具有一般编程语言基础的用户很快就可以掌握。 （2）代码短小高效 由于MATLAB已将数学问题的具体算法法编成了具体的函数，用户只要熟悉算法的特点、使用场合、函数的调用格式和参数的意义等，通过调用函数就可以很快解决问题，而不必花大量的时间纠缠于具体算法。 （3）计算功能非常强大 该软件具有强大的矩阵计算功能，利用一般的符号和函数就可以处理矩阵的各种运算，并且该软件现有的数十个工具箱，可以解决如微积分、运筹优化和数理统计等大量的数学问题。 7共六十七页（4）强大的图形(

7、txng)表达功能 该软件不仅可以(ky)绘制一般的二维和三维图形，还可以(ky)绘制工程特性较强的特殊图形，并且它提供了丰富的科学计算可视化功能及进行动画制作。 （5）可扩展性能 可扩展性能是该软件的一大优点，用户可以自己编写M文件，组成自己的工具箱，方便地解决本领域内常见的计算问题。利用Web服务器，可以实现MATLAB与网络程序的接口；利用互操作技术，可以实现MATLAB与.NET程序的接口；利用端口API函数，可以实现MATLAB与硬件的接口。 8共六十七页1.2.2 MATLAB6.X 操作(cozu)入门一、MATLAB的安装(nzhung)与启动（Windows操作平台）将源光盘

8、插入光区；在光盘的根目录下找到MATLAB的安装文件setup.exe；双击该安装文件后，按提示逐步安装；安装完成后，在程序栏里便有了MATLAB选项，桌面上出现MATLAB的快捷方式；双击桌面上MATLAB的快捷方式或程序里MATLAB选项即可启动MATLAB。9共六十七页二、MATLAB的环境(hunjng) MATLAB是一门高级程序语言，它提供了良好的编程环境。作为编程环境，MATLAB提供了很方便用户变量、输入输出数据以及生成和管理M文件的工具。下面简单介绍(jisho)主要窗口及功能。 Command Window 命令窗口 启动MATLAB6 .X以后，就出现命令窗口，它的空白区

9、域即是命令编辑区，命令编辑区用来输入和显示计算结果。可进入各种MATLAB命令进行各种操作，输入数学表达式进行计算。Workspace工作区窗口 在菜单栏View菜单中选择Workspace，工作区就会出现，工作区是接受MATLAB命令的内存区域，存储随着命令窗口输入的命令和程序创建的所有变量值。 10共六十七页Editor/Debug程序(chngx)编辑器 MTLAB提供了一个内置的具有编辑和调试功能的程序编辑器，从菜单File中选择Wew下的M-file命令，即可进入程序编辑器.编辑器窗口具有菜单栏和工具栏，编辑和调试程序非常方便，如果程序命令比较多，逐行执行就非常麻烦(m fan)，此

10、时可编辑并储存该程序的M文件，就可在命令窗口中反复调用该文件，并在程序编辑器中方便地修改。Command History指令历史记录窗口 该窗口记录着用户每次开启MATLAB的时间，以及每次开启后在命令窗口中运行过的所有命令行，这些命令记录可以被复制到命令窗口中再运行，以减少重新输入的麻烦。11共六十七页Current Directory当前(dngqin)路径选择窗口 该窗口位于MATLAB桌面的右上区，包括菜单条、工具栏、当前目录设置区，以及(yj)所设置目录下的详细列表，在该详细列表中选取文件，单击鼠标左，再单击右键，会弹出一系列命令，重要的有：命令Open打开文件，Run运行该文件等。

11、Launch Pad分类帮助窗口 该窗口包括菜单条和树状层次文件列表，操作方法是：选中一项，单击鼠标右键，再单击Open，即打开该项，例如，要运行演示文件等。三、基本运算操作 在MATLAB命令编辑区中，我们不但可以键入命令或表达式进行计算、赋值、编程和调用文件，还可以进行变量及文件的管理，获取帮助。12共六十七页基本运算(yn sun)符号MATLAB操作符功能MATLAB表达式+加a+b-减a-b*乘a*b/除a/b幂ab.*向量相乘X.*Y.向量乘幂X.Y./向量相除X./Y 注意(zh y): “/”表示“右除”，例如“4/2”等于2；而“”表示“左除”，例如“42”等于0.5.13共

12、六十七页2、常用(chn yn)基本函数函数名称函数名称sin(x)正弦函数Asin(x)反正弦函数cos(x)余弦函数Acos(x)反余弦函数tan(x)正切函数Atan(x)反正切函数abs(x)绝对值Max(x)最大值min(x)最小值Sum(x)元素的总和Sqrt(x)开平方exp(x)以e为底的对数log(x)自然对数 log10(x)以10为底的对数sign(x)符号函数fix(x)取整14共六十七页3、MATLAB中的变量(binling)1）以字母开头，后面(hu mian)可跟字母、数字和下画线；2）大小写字母有区别；3）不超过31个字符。例如 ce12_3,f,F和Dui3

13、1是四个合法的变量。 4、MATLAB的预定义变量如下变量意义变量意义ans用于结果的缺省变量名NaN不定量pi圆周率i或ji=j=-1的开方eps计算机的最小数realmin最小可用正实数inf无穷大realmax最大可用正实数15共六十七页5、MATLAB中的标点符号(biodinfho) 名称标点作用空格用做输入量和输入量之间的分隔符；数组元素分隔符逗号，用做要显示计算结果的指令与其后指令之间的分隔；用做输入量与输入量之间的分隔符；用做数组元素的分隔符黑点.用做数值表示中的小数点分号;用做不显示计算结果的“结尾”指标；用做不显示计算结果指与其后指令的分隔；用做数组的行间分隔符冒号:用以生

14、成一维数值数组；用做单下标援引时，表示全部元素构成的长列；用做多下标援引时，表示所在维上的全部元素注释号%由它“启首”后的所有物理行部分被看作非执行的注释符单引号对字符串标记号方括号 输入数组时用；函数指令输出宗量列表时用16共六十七页一维数组的生成(shn chn)及操作 MATLAB的基本(jbn)数据单元就是数组，生成一维数组常用的方法有： （1）逐个元素输入法x=1 4 8 0 9或x=1,4,8,0,9y=2 pi sqrt(3) 3+5i或y=2 ,pi ,sqrt(3),3+5i(2)冒号生成法 x=a:step:b; 其中a是数组的第一个元素；step为步长，省略时默认直为1，

15、 b为终值。若(b-a)是step的整数倍，则生成数组的最后一个元素等于b，否则小于b .如： x=2:0.5:4 x = 2.0000 2.5000 3.0000 3.5000 4.000017共六十七页 x=2:0.5:3.8x = 2.0000 2.5000 3.0000 3.5000（3）在MATLAB工作(gngzu)空间中，对一维数组常用的操作如：y=x(3) %将数组x中的第3个元素(yun s)赋值于yx(1:3) %数组x的前3个元素组成的子数组 x(find(x0.5) %用大于0.5的元素构成的子数组， 次序不变x(3)=0 %把数组x中的第3个元素重新赋值为018共六十

16、七页7、矩阵(j zhn)的输入法 输入矩阵的最基本的方法是直接输入矩阵的元素，用方括号表示矩阵，同行元素间用空格或逗号(duho)分隔，不同行间用分号或回车分隔，例如： A=1,2,3;4 5 6;7 8 9 %行之间要用分号隔开A = 1 2 3 4 5 6 7 8 98 、命令行基础（1）简单运算例1 求的值解：在MATLAB指令窗中输入19共六十七页(12+2*(7-4)/32回车(hu ch)得结果ans= 2 例2 求y=sinx在x=/5时的值解 输入(shr)命令 ：y=sin(pi/5) y= 0.5875(2)MATLAB表达式的输入MATLAB语句由表达式和变量组成，有两

17、种常用的形式：表达式变量=表达式20共六十七页 表达式由变量名、运算(yn sun)符、字母和函数名组成，“=”为赋值符号，将其右边表达式运算(yn sun)的结果赋给左边。表达式变量(binling)=表达式例3 建立变量y使其值为3，并计算 时x的值。解：在MATLAB指令窗中输入y=3;x=y3-sqrt(y)回车得结果x= 25.267921共六十七页注意： 显示到小数点后面4位是输出格式(g shi)的省略格式(g shi)，即format short(短格式(g shi)；若输入format long,输出格式(g shi)是长格式(g shi)，显示15位；若输入format s

18、hort e,输出格式(g shi)是最优化短格式(g shi)，5位加指数；若输入format long e,输出格式(g shi)是最优化长格式(g shi)，5位加指数。如上例： format long y=3; x=y3-sqrt(y)x = 25.2679491924311222共六十七页 format short e y=3; x=y3-sqrt(y)x = 2.5268e+001 format long e y=3; x=y3-sqrt(y)x = 2.526794919243112e+00123共六十七页(3) 指令(zhlng)的续行输入 若一个表达式在一行写不下，可换行，但

19、必须(bx)周期行尾加上四个英文句号。例4 求的值。解：在MATLAB指令窗中输入S=1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6.+1/7-1/8回车得结果S= 0.6345(4)利用控制键回调以前的命令，进行新的计算或输入例5计算和的值24共六十七页例5计算(j sun)和的值解：在MATLAB指令(zhlng)窗中输入y1=2*sin(0.3*pi)/(1+sqrt(5)回车得结果y1= 05000 若再求y2，只要用键调回已输入过的指令y1=2*sin(0.3*pi)/(1+sqrt(5)；然后移动光标，把y1改成y2；把sin改成cos便可，即得 y2=2*cos(0.3*pi)/(1

20、+sqrt(5)y2= 0.363325共六十七页注意(zh y)：同一行若有多个表达式，则必须用分号或逗号隔开，若表达式后面(hu mian)跟分号，将不显示结果；当不指定输出变量时，MATLAB将计算值赋给缺省变量ans(answer)；当命令行有错误，MATLAB会用红色字体提示。（5）利用单变量函数可计算系列函数值例6 求cosx在x=3,5,7点的值解 输入命令 ：x=3 5 7;cos(x)ans= -0.9900 0.2837 0.753926共六十七页四、符号(fho)变量和符号(fho)表达式 MATLAB的强大之处不仅在于其强大的数值运算功能，而且也有其强大的符号运算功能；

21、MATLAB的符号数学工具箱可完成几乎(jh)所有的符号运算功能，下面先介绍简单的符号运算。用单引号来生成符号表达式在MATLAB中，所有的字符串都用单引号来设定输入和输出，为此，符号表达式也可用单引号来生成。例1 3*x3+5*x-1ans = 3*x3+5*x-1 %用单引号定义符号表达式27共六十七页例2 y=exp(x) %创建(chungjin)以自变量x为的符号表达式， 并赋给符号变量yy = exp(x) 例3 f=a*x2+b*x+c=0f = a*x2+b*x+c=0 28共六十七页 2、用函数sym来创建单个符号(fho)型变量、符号(fho)表达式、符号(fho)方程。例

22、4 x=sym(m+n+i) %定义x为符号(fho)型变量 x = m+n+i例5 f=sym(a*x+b=0) %定义f为符号方程 f = a*x+b=029共六十七页例6 f=sym(a*x3+6*x2-1) %定义(dngy)f为符号表达式f = a*x3+6*x2-1 3、用命令syms创建一个(y )或多个符号变量、符号表达式。例7syms x; %定义一个符号变量， f=2*x3+6*x2-1 %定义s为符号表达式f = 2*x3+6*x2-130共六十七页例8syms a b x y %定义a,b,x,y为符号变量， 字母(zm)间必须用空格 s=a*x4+b*cos(y)-x

23、*y %定义(dngy)s为符号表达式 s = a*x4+b*cos(y)-x*y4、符号表达式的基本代数运算例9 sym x; f=4*x+5; g=2*x2+6; f+g31共六十七页 ans = 4*x+11+2*x2 f-gans = 4*x-1-2*x2 f*g ans = (4*x+5)*(2*x2+6) f/g ans = (4*x+5)/(2*x2+6) fgans = (4*x+5)(2*x2+6)32共六十七页（1）MATLAB提供(tgng)了simple和 simplify命令，用于对表达式的化简。例10 化简函数(hnsh)解 输入命令 ： f=sym(cos(x)2

24、-sin(x)2); f=simple(f)5、几种初等数学符号表达式的运算f = cos(2*x)33共六十七页例11 化简解 输入(shr)命令 ：syms x;f=(3*x4+20*x3+29*x2-20*x-32)/(3*x4-4*x3-35*x2+4*x+32);simplify(f)ans= (x+4)/(x-4)这里(zhl)注意: simplify是运用多种恒等式转换对符号表达式进行综合化简， simple是找出符号表达式的代数上的最简形式，多次使用可找到最少字母的简化式。 34共六十七页如化简 输入(shr)命令 ： syms x f=(1/x3+6/x2+12/x+8)(1

25、/3); f1=simple(f)f1 = (2*x+1)/x若再输入(shr)命令 ：f2=simple(f1)f2 = 2+1/x(2) MATLAB提供了factor命令，用于对表达式进行分解。例12 将分解因式。解 输入命令 ：35共六十七页 syms x; f=x12-1; factor(f)ans = (x-1)*(1+x2+x)*(1+x)*(1-x+x2)*(1+x2)*(x4-x2+1) 说明(shumng)：factor(f)中的f可以是正整数，但在MATLAB6.5不超过232. 例如(lr)factor(12345)ans = 3 5 823所以有 12345=3582

26、336共六十七页 factor(1234567890)ans = 2 3 3 5 3607 3803所以(suy)有 1234567890= 233536073803 (3) MATLAB提供(tgng)了collect命令，用于合并符号表达式的同类项。例13 合并同类项。解 输入命令 ： syms x; f= (x-1)2*(x-3)*(x-5)*(x-7); collect(f) ans = -105+x5-17*x4+102*x3-262*x2+281*x 37共六十七页 (4) MATLAB提供了expand命令，用于对符号表达(biod)式进行展开。例14 将和进行(jnxng)展开

27、。解 输入命令 ：syms x y;v=(x+1)3 sin(x+y);expand(v)ans= x3+3*x2+3*x+1,sin(x)*cos(y)+cos(x)*sin(y)38共六十七页 (5) MATLAB提供了numden命令(mng lng)，用于对符号表达式的通分。格式：N,D= numden(S) %将符号表达式S的每一元素进行通分(tng fn)，其中N为通分(tng fn)后的分子表达式，D为通分(tng fn)后的分母表达式。例15 将式子通分。解 输入命令 ： syms x y N,D=numden(x/y+y/x)N = x2+y2 D = x*y39共六十七页所

28、以(suy) = (6) MATLAB提供了compose命令，用于对符号表达式的复合(fh)运算。例16 已知 ,求f(g(y).解 输入命令 ： syms x y; f=1/x3; g=tan(y); compose(f,g) ans =1/tan(y)340共六十七页例17已知，求f(g(y).ans = (2+sin(y)2)3解 输入(shr)命令 ： syms x y f=x3; g=2+(sin(y)2; compose(f,g)41共六十七页 (7) MATLAB提供(tgng)了finverse命令，用于求符号表达式的反函数。例18 求的反函数。ans = sin(1/x)解

29、 输入(shr)命令 ： f=sym(1/sin(x); finverse(f)例19 求的反函数。ans = (x-1)(1/3)解 输入命令 ： f=sym(x3+1); finverse(f)42共六十七页6、多项式的运算(yn sun)（1）函数(hnsh)conv支持多项式乘法例20 求解 输入命令 ： a=1 2 3 4;b=1 4 9 16; c=conv(a,b)c = 1 6 20 50 75 84 6443共六十七页(2)多项式加法(jif)例21求解 输入(shr)命令 ：a=1 2 3 4;b=0 4 9 16;d=a+bd= 1 6 12 20(3)多项式除法在MAT

30、LAB中，由函数deconv完成多项式除法，格式为g,r=deconv(c,b)表示c除以b，给出商多项式g和余数r，若r是零，则b和g的乘积恰好是c.44共六十七页例22求解 输入(shr)命令 ： c=2 5 0 4 1 4;b=5 1 3 2; g,r=deconv(c,b)g = 0.4000 0.9200 -0.4240r = 0 0 0 0.8640 0.4320 4.8480(4)用函数(hnsh)polyval求多项式的值45共六十七页例23 解 输入(shr)命令 ： a=2 5 0 4 1 4; h=polyval(a,3 4)h = 934 3400(4)用函数(hnsh

31、)roots求多项式的根例24 解 输入命令 ： a=2 5 6 4 1 8; h=roots(a)46共六十七页h = -1.7640 -0.8679 + 1.3394i -0.8679 - 1.3394i 0.5000 + 0.8001i 0.5000 - 0.8001i五、程序设计(chn x sh j)与M文件 MATLAB作为一种应用最广泛的科学计算工具(gngj)，它不仅具有强大的的数值计算、符号计算、画图功能，而且它还可以象C，FORTRAN等计算机高级语言一样，进行程序设计，编写一种以m作为文件扩展名的文件M文件。 M文件就是用户把要实现的 命令写在一个以作为文件扩展名的 文件

32、中，然后由MATLAB系统进行解释，运算出结果。 47共六十七页 MATLAB语言为解释性程序设计语言，程序中的语句边解释边执行。MATLAB是用C语言编写的，具备C语言自由、灵活、简洁的风格。使用MATLAB书写程序，形式非常自由，而且利用丰富的库函数，避免(bmin)了复杂的子程序编程工作。 单击MATLAB中的FileNewM-File即进入文本编辑窗口，输入(shr)程序即可，开头可任意输入(shr)MATLAB语句；输完程序后，单击保存按钮，在对话框中输入(shr)文件名，文件名开头必须是字母。下面介绍几种常见的 M文件的程序结构。1、M函数文件48共六十七页1、M函数(hnsh)文

33、件 sin(x), finverse(f)等都是MATLAB内嵌的库函数，可以(ky)反复调用，十分方便。用户在实际工作中，往往需要编制自己的函数，以实现计算中的参数传递和函数的反复调用.建立函数文件的方法如下：格式： 说明：ff是函数名,x1,x2,是输入变量，y1,y2是输出变量，如果输出变量只有一个，方括号可以省略。对于定义好的函数，在命令输入窗口或其他文件中均可调用，调用时，参数可以是常量、有确定值的变量或表达式。49共六十七页例1 已知，建立(jinl)M函数文件并求两函数在（3，4）点的函数值。f = 9217g = -619建立(jinl)文件名为ff.m的函数文件：functi

34、onf,g=ff(x,y)f=x2*y5+1;g=5*x3-3*y4+x*y+2;在命令窗口调用ff函数： f,g=ff(3,4)50共六十七页例2已知，建立M函数(hnsh)文件并求函数(hnsh)在x=8点的函数(hnsh)值。f = 1298450建立(jinl)文件名为ff1.m的函数文件：function f=ff1(x)f=5*x6-3*x4+2*x +2;在命令窗口调用ff1函数： f=ff1(8)51共六十七页例3 已知一作匀速直线运动物体的初速度v0、加速度为a，写出求任意(rny)时刻t的速度和位移的M函数文件，并求当v0=2， a=4,t=5时的速度和位移。建立文件名为f

35、11.m的函数(hnsh)文件：functionv,s =f11(v0,a,t)v=v0+a*t;s=v0*t+a*t2/2;在命令窗口调用f11函数：v,s=f11(2,4,5)v = 22s = 6052共六十七页下面介绍几种(j zhn)常见的 M文件的程序结构。 (1)、顺序(shnx)结构顺序结构就是依次序地执行程序地 各条语句。例1 已知a=1,b=2,c=4,d=a+b,f=c+d,求f的值。a=1;b=2;c=4;d=a+b;f=c+d;f 然后把上述语句存为aa.m文件。在MATLAB命令窗口中执行地 结果如下：aaf= 72、M文件53共六十七页(2)循环(xnhun)结构

36、 在实际计算中，经常会碰到许多(xdu)有规律地重复计算，此时就要对某些语句重复执行。1）For循环结构For循环主要用于固定 和预定次数循环，一般格式为For x 表达式1；表达式2；表达式3 执行语句end例2 解 输入命令 ： for n=1:10 x(n)=exp(n/5)+cos(n*pi/5); end 54共六十七页 x2)while 循环(xnhun)结构 如果我们不能确定(qudng)循环地 次数，则可用while循环结构，一般格式为while表达式语句体endx = 2.0304 1.8008 1.5131 1.4165 1.7183 2.5111 3.7462 5.262

37、0 6.8587 8.389155共六十七页例3 设银行(ynhng)年利率为11.25%。将10000元钱存入银行(ynhng)，问多长时间会连本带利翻一番？编写M文件(wnjin)aaa.m如下money=10000years=0while money20000 years=years+1money=money*(1+11.25/100)endyearsmoney 在MATLAB命令窗口中执行aaa.m文件，既键入aaa回车，结果如下： 56共六十七页 years=7money=2.1091e+0043）if-else-end 分支(fnzh)结构 如果程序语句(yj)是有条件地 执行，可以用if结构，if结构地 形式为if 表达式 语句体else 语句体end例4 求不超过1000的偶数之和与奇数之和。编写程序文件qosh.m如下oushuhe=0;qishuhe=0;i=1;57共六十七页while isyms x;w=3+x/(2+x/(2+x/(2+x);s