昆明理工数值分析试卷答案A20131222

1、昆明理工大学2012级硕士研究生试卷（数值分析，参考答案）（A卷）一、填空题（每空2分，共40分）要使*17的相对误差不超过0.1% ,应取4位有效数字。设f （x） = X3在1,1上的最佳二次逼近多项式为3 x，最佳平方逼近二次多项式为5 x。求积公式1 f （x）dx f （-上）+ f （L）至少具有 3次代数精度。iv3 v34 .解线性方程组Ax = b的SOR迭代法收敛，则松弛因子有 0 3 2 ,设A = D L U,建立迭代公式x(k+D = L x(k) + f ,写出逐次超松弛迭代法 3L = (D3L)-1(13)D+3U) TOC o 1-5 h z 3。 A = T

2、 ,其条件数 Cond(A) = 39205 , Cond(A) =_39601。99 9828 设 X = (1,3,2)，计算向量 X 的范数，II X 1卜_6,XI寸, II XII/二。 求方程x = COSx根的牛顿迭代格式是x i = x， *气，其收敛阶=d 弦截法k+1k 1 + sin xk迭代格式是x = x %，COSx(x x ),其收敛阶=1.618。k+1k x 一 x 一 cos x + cos xkk1kk1kk、Ia + x3 + x2,0 x 18. S(x)=是以0, 1, 2为节点的三次样条函数，12 x3 + bx2 + cx 1,1 x 2则q a

3、=0，b=-2，c=3f 29.对矩阵A= 14 k11224 - 215 作LU分解，其L =1 2 /二、计算题（每题10分，共50分）1.求出一个次数不高于4次的插值多项式PM,使它满足户(0) = f(0) = 0,P(0)=广(0) = 0,广(0) = F(0) = 0 , f(l) = p(l) = 1,广=尸:=1,并写出余项表达式(要有推导过程)。解：由题意尸(0) = P(0)=尸(0) = 0知，尸3)以% = 0为三次重根，所以可设F(x) = x3(ax + b),由插值 P(l) = P =1 条件得a + b =1 .睥 1 所以得a = -2,b = 3 ,故P

4、(x) = %3(-2% + 3),4。+ 3Z? = 1设(f)(f) = f(f) P() 一 K(x)$3 (f 1)2 = f Q)打(一2r + 3) K(x)t3(t 1)2由(p(0) = 0,(pr(0) = 0,(p(0) = o,cp(l) = 0,(p=o,cp(x) = 0,反复用罗尔定理得在(0,l)存在 x = &，使平(g) = 0,即 f(5)(& ) = 5! K,则 K(x) = / 5)，所以fM f E + 甘、(厂 1)2 ,余项为* X3(X - 1)2。. r, sin x ,给定积分/ = / dx0 X利用复合梯形公式计算上述积分值，问区间0,

5、1应分成多少等分才能使其截断误差不1超过-X 10 3 ；取同样的求积结点，改用复合Simpson公式计算时，截断误差是多少？q, 、 sinx L ,、，解：由于/(X)= J1cos(x,所以X 0/(a)(x) = f1-cos(xt)dt = 1以 cos(x + )dt0 dxko2I /(*)(x) l J1 I cos(x + ) I dt rtkdt = o2 o k+1(1)对复合梯形公式，有1为了使截断误差不超过-x 10 3 ,只须18/31000,解得 心7.5。故用复合梯形公式计算时，取8等分即可。(2)将区间0, 18等分，改用复合Simpson公式，由于h = 1

6、/4=0.25,由于b _ . ( h、4RfV=If(n ) |()4 =1/36864002.7127x10 勺loO o 510a0b10b0a53.设 A =,det A。0，用a, b表示解线性方程组Ax = f的雅可比迭代法与解：雅可比迭代法Bj = D-1(L + U)=0a-仍0b0b10a1000,IXI- B l=X（人2 -迎）,J100高斯-塞德尔迭代收敛的充分必要条件。P（ BJ = 103I ab I, , , 1000a0100abb100100a 2bab50050,IXI - B I=X 2（X-迎）, g100，则雅可比迭代法的充分必要条件是lab I丁高斯

7、-塞德尔迭代法bg = (D + L)-1U =P(BG =端1，则高斯-塞德尔迭代法的充分必要条件是1 a k 100。4.已知如下实验数据(七，七),i = 0,1, ,4,用最小二乘法求形如j = a + bx2的经验公式。xi1925313844yi19.032.349.073.397.8解：设x = x2,Y = y，则数据表变为X i36162596114441936Y i19.032.349.073.397.8、5a + b x = Y J5a + 5327b = 271.4则由方程。x + bSX 2 =XY，即5327a + 7277699b = 369321.5a = 0.

8、973,b = 0.05经验公式为 y = 0.973 + 0.05x2解得，以5.用梯形公式解初值问题y = x 2 + x - y八 77(1 x 2)y (0) = 0取步长h = 0.1,计算到x = 0.3。h一,、 一 、解：梯形法公式yn+1 =七+ C / （七,七）+ / （七+yn+1），计算y(0.1)就 y1 = 0.0052, y(0.2)就 y2 = 0.0214, y(0.3) y=0.0494。三、证明题（共10分）设x* =Bx*）,在x*的某个邻域R内时（x）连续，并且I时（x）l q V 1,x G R ,则对任何x G R，证明：（1）由迭代x =（x ）决定的序列x 收敛于x* ； （ 2）误差估计 0k+1kk,qkI x - x* l 1 I x - x I .证明：x 一x* =p(x )-p(x*) =(&)(x 一x*),所以 I x 一 x * l q I x 一 x * l qk I x 一 x * I,则 lim x = x * ； k T8I x 一x I=I 8(x )-8(x ) I q I x 一xI qk I x 一x Ik+1k k k-1k k-110同样.I x x II x x I + I x x I + + I x