a第三章参数曲面保长及共形对应

1、微分几何 Differential GeometryChapter 3 参数曲面保长对应和保角对应曲面到曲面的连续可微映射设有两个曲面 . 因为曲面上的点 与它的参数(曲纹坐标)是一一对应的，所以从曲面 到曲面 的映射 可以通过它们的参数表示出来. 即有映射 使得 ，或 .曲面到曲面的连续可微映射将映射 通过它们的参数用两个函数表示出来，则有 如果这两个函数都是连续可微的，则称映射 是连续可微的. 可微性与这两个曲面的参数取法无关. 设两个曲面 的参数方程分别为 和 映射 是连续可微的，它的参数表示为 其中切映射对每一点 ，可以通过下面的方法定义一个线性映射 上面定义的映射 称为由连续可微映射

2、 诱导的切映射.切映射也可以用另一种方法来定义： 将 上的曲线 映为 上的曲线 定义 为 在 处的切向量，即定理5.1 设映射 是3次以上连续可微的. 如果在 点切映射 是线性同构，则分别有 点的邻 域 和 点的邻域 ， ，以及 上的参数系 和 ，使得映射 的参数表示为 其中 . 这种参数系称为映射 的适用参数系. 证明 设 的参数方程分别为 和 ， 的参数表示为 由条件， . 设 点的曲纹坐标为 ， 点的曲纹坐标为 . 由于 是连续的，存在 在 中的邻域 ，使得在 上 ，且在 上 有连续可微的反函数 ，其中 是 在 中的邻域. 在 上对曲面 作参数变换 . 在 上对曲面 作参数变换 . 则在

3、新的参数下， 的参数表示为映射 设 是连续可微映射， 和 分别是 的曲纹坐标. 的参数表示为 .因为对于曲面 上的任意一个二次微分式 (5.11)我们可定义曲面 上的一个二次微分式 (5.12) 其中其中 作为复合函数，是 的函数，即(5.15) 二次微分式 称为 上的二次微分式 经过映射 拉回(pull back)到 上的二次微分式. 简单来说， 就是将 代入(5.11)右端而得.例 曲面 上的第一基本形式 是一个二次微分式. 拉回到 上， 由于 ，上式可以简单地写成保长对应(等距对应)设映射 是3次以上连续可微的. 如果对每一点 ，切映射 都保持切向量的长度，即 称 是从 到 的保长对应，

4、或称等距对应(isometric correspondence). 注1. 保持向量长度的线性映射一定保持内积，因此 若 是等距对应，则有 反之，保持内积的线性映射也一定保持向量的长度. 而且，保长对应也保持连续可微曲线的弧长， 即有 . 注2. 保持内积的线性映射必定是线性同构. 因此对于保长对应 ，在每一点 ，切映射 都是线性同构，从而局部地 是微分同胚，存在适用参数系. 保长对应(等距对应)设映射 是3次以上连续可微的. 则 是等距对应的充分必要条件是 即在对应点，成立保长对应(等距对应)定理5.3 曲面 和 之间存在保长对应的充分必要条件是，可以在 和 上选取适当的相同参数系 ，使得在

5、这个参数系下 和 有相同的第一基本量. 即例5.1 证明：螺旋面 : ， 与单叶旋转双曲面 ， 之间可以建立等距对应. 证明 计算得到 和 的第一基本形式分别为 对 作参数变换 ，则 对 作参数变换 . 则 等距对应 的参数表示为 保角对应(共形对应)设映射 是三次以上连续可微的一一对应. 如果 ， ， ， 其中 ， 则称 是从 到 的保角对应，或称共形对应(conformal correspondence).对于保角对应 ，在每一点 ， 切映射 都是线性同构，否则 无意义. 因此可以选取适用参数系 使得映射 就是具有相同参数的点之间的对应.保角对应(共形对应)引理 设 是两个欧氏空间(即带有

6、内积 的实向量空间)， 是线性同构. 如果 保持向量之间的夹角： ，则 ，使得 (1) 反之，若 ，使得上式成立，则 保持向量之间的夹角. 证明 取 的单位正交基 . 因为 是同构， 是 的基，且两两正交. 令 则 是 的单位正交基，且 (2) 对于 ，由条件，有 ，所以这说明 . 于是对 ，有 ，从而(1)成立. 反之，设(1)成立. 则(3) 从而对任意两个非零向量 ，有 保角对应(共形对应)推论 设映射 是三次以上连续可微的一一对应. 则 是保角对应的充分必要条件是存在 上的正的连续函数 ，使得在任一点 ， ，其中 是 点的曲纹坐标. 当函数 时， 其实就是保长对应. 像前面一样，上述条件等价于即有所以在适用参数系下，保角对应的条件就简化为保角对应(共形对应)定理5.4 设映射 是三次以上连续可微的一一对应. 则 是保角对应的充分必要条件是存在 上的正的连续函数 ，使得其中 ， 分别是 ， 的第一基本形式. 特别地两个曲面能够取适当的参数系 ，则有定理5.5 任意正则参数曲面 必局部共形于平面，即 上任意一点 都有一个邻域 可以与平面上的一个区域建立共形对应. 由此