排列组合中分组分配问题的教学设计

1、排列组合中分组分配问题的教学设计惠能中学梁丽梅教学目的：知识目标：会应用分组公式、隔板法解决相关的分组分配问题技能目标：研究典型例题，形成典型问题的思维模式，奠定解其他相关问题的思维依托。情感目标：通过自主探索，培养学生自主探究的意识。教学重点：分组公式和隔板法的应用教学难点：分组公式与隔板法的探讨教学过程：一、复习旧知，导入新课排列、组合都是从n各不同的元素中取出m个，不同的是对于排列，取出的m个元素还要按一定的顺序排成一列。运用排列组合的知识来解决问题时我们关键要看两点：元素不同和要不要考虑顺序。假如我们要从n个不同的元素中取出m作为一组，再取m个作为另外一组，这时候应怎么做呢？如果元素相

2、同时又怎么办呢？这一节课我们一起来探讨这样的分组分配问题。自我点评：简单的导入目的是让学生了解这一节课我们要研究的问题是什么设。疑时把重点放在元素的同异上，主要是让学生明确元素同或不同解决的方法就不一样通。过这样设疑引入，有利于学生形成明确的学习目的，从而激发学生的学习兴趣和探讨解决方法的欲望相。对于相同元素的分组分配问题，不同元素的处理比较容易也比较重要在，例题的安排中我先设计了不同元素的分组分配问题。二、新课讲解第一类：对不同元素进行分组分配例1：6本不同的书，按照以下要求分给三个人，各有多少种不同的分法：（1）一人一本，一个两本，一人三本；（2）两人各一本，一人三本（3）每人各两本分析题

3、目特点：1、6本不同的书，说明要分组的元素不同；2、分给三个人，说明分配的对象互不相同，要考虑顺序。3、三个小题共同的地方都是先按照不同的要求把不同的书分成3组，再分配给不同的三个人。思考：元素不同，分组的要求、分配的对象也不同，该如何分？解：（1）第一步：把6本书分成三组，先从6本书中取出1本作为一组，再从剩下的5中取出2本作为一组，最后从剩下的3本中取出3本作为一组，共有CiC2C3二60中不同653的分组方法。第二步：把已经分为三组的书分配给三个人，总A3二6中分配方法。3所以，总的分法有C1C2C3-A3二60X6二360(种)6533自我点评：本小题的教学是先让学生思考，再通过师生共

4、同探究得到正确答案在。第一步的计算中，可能有学生会提出这样的问题“：如果先从6本书中拿出3本作为一组，再从剩下的3本中拿出2本作为一组，剩下的一本作为一组可以吗？”在第一步中，因为只是考虑把书分三组，不考虑组序(即不用考虑分好的三组书分别为第几。组所)以，先如果先从6本书中拿出3本作为一组，再从剩下的3本中拿出2本作为一组，剩下的一本作为一组的分法是一样的，C3C2CiA3二60 x6二360(种)。通过这样的师生共同探讨，充分调动了学6313生思考问题的积极性。在教学(2)时，我先让学生根据(1)的解题方法自己先做题。从而得出他们的错解C6C5C:A33二30X6二180(种)。从而引导学生

5、得出正确的解法。(2)分析：6本不同的书，按照两人各一本，一人三本的要求分给三个人。我们的做法还是先把书分成三组再分配给三个人，在第一步把书分组时同样不需要考虑组序。把6本不同的书分别记为a、b、c、d、e、f,列举其中某些组来进行探讨：选1本再选1本后选4本分组方法总数abcdef这两种只能bacdef算一种分法。acbdef这两种只能cabdef算一种分法。由上表得，分组的不同地方主要是由各为1本书的两组引起的。如a，c这两个元素顺序不同的排列有A2种，而事实上这A2种我们只看成是一种。从而得出，22C1C1C4A3=30 x6=180，这样的算法有重复，因而错误。6543解：第一步：先选

6、1人作为一组，在选一人作为一组，剩下的4人作为一组共有C1C1C46/4二15种；第二步：把分好的三组书分配给3个人。A22C1C1C4所以，总的分法有654A3=15x6=90(种)A232自我点评：本题教学的设计主要目的是让学生在错解中形成正确的解法并，能清楚了解出错的原因，从而更加巩固解题的方法，减少以后出错的情况。体现新课标中学生应为学习的主体，把课堂教给学生，培养学生自主探索的精神，体现了教师在教学过程的引导者作用分析：经过(2)的方法的学习，我们知道把6本不同的书，按照每人两本要求分给三个人。解题的思路还是要先考虑把书分三组再分配给三个人。在此题的解题中，引导学生利用(2)的列表方

7、法，减少重复的分法。选2本再选2本后选2本分组方法总数abcdefabefcdcdabef这里A3二6种只能3算一种分法。cdefabefabcdefcdab由表得，如把ab，cd，ef看成是三个元素顺序不同的排列有6种，而事实上这6种我们只看成是一种。所以正确的解法是：一4匸-A3=15x6=90（种）A333（给学生4分钟时间自己总结知识点和解题方法培，养学生的知识归纳能力并形成良好的学习习惯。）小结：例题题型属于分组分配问题，解这一种题的步骤都是对不同的元素进行分组再分配。关键的步骤是第一步把不同的元素分组。一般地，把n个不同的元素分成k组，每组分别有m,m,m，,m个，且123km+m

8、+mHbm=n123k若m,m,m，,m123k-Cmkmk互不相等，则为完全不平均分组，共有CCm2Cm3nn_min_mi_m2种不同的分组方法；若mi,m2,m,m中有且仅有i个组的个数相同，则为不完全平均分组，共有i23kCm】Cm2Cm3Cmnmnmm112Aii一吩种不同的分法。Cm1Cm2Cm3-Cmk若m=m=m=m，则为平均分组，4共nnmnmm吩种。123kAkk【配套练习】：将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案有多少种？解：将5名志愿者分到3个场馆，从场馆的人数的角度考虑可分为两类:（3,1，1）和（2,2，1）；总的方案种数

9、有:C3C1C1C2C2C1521-A3+5_3_1A23A222-A3二60+90二1503种）。自我点评：通过小结，让学生对所学知识进行总结与归纳，并形成自己的解题思路和方法自主构建解题的思维模式；配套练习的设计是例题的变式题，只要理解了计算公式，正确解答此题就很容易了。而且在设计练习巩固知识点时应从易到难让，学生在学习的过程中能学以致用，体会到举一反三的成就感，培养学生热爱数学的热情，并帮学生树立学好数学的自信心。第二类：对相同元素进行分组分配（在学生学习热情高涨的气氛下，我继续设疑，如果在要分组的元素都相同的情况下这，三个公式是否都使用呢？由此引出例2）。例2：有10个三好学生的名额，

10、分配到6个班，每班至少一个名额，共有多少种不同的分配方案？分析：显然，现在要分配的元素不是具体的三好学生而是名额，即要分组的元素是相同元素。如果按照不同元素的处理方法显然行不通。对相同元素进行分组分配，用到隔板模型法，简称隔板法。即在n个相同的元素形成的（n-1）个空位中，插入（b-1）的模版，可以把元素分成b组的方法。应用隔板法必须满足三个条件：要分组的n元素相同；分成的每一组至少分得一个元素；分配的组别不同。解：要把10个名额分成6堆，需要5个隔板。先把10个名额排成一排（因为名额相同，都是三好学生名额，所以只有一种排法），名额之间形成9个空位，将5个隔板插入其中，每一种插法对应一种分配方

11、案，所以，不同的分配方案有：C5二126种。9【配套练习】：某区对口支援西部贫困山区教育，需从本区三所重点中学抽调5名教师，每所学校至少抽调1人到山区5所学校支教，每校1人，则有多少种支教方案？分析：抽调5名教师，实际上抽调的是名额，属于相同元素，用隔板模型法，先把5个名额分配好，即在5个名额形成的4个空位中插入2个隔板，有C2中；再把5人分配到45间学校内有，有A5种；则总共有C2A5二720种不同的支教方案。545小结：利用隔板模型法主要是先要确定要分配的元素是相同的，而且每一种插法对应一种分配方案，已经有顺序的了。自我点评：基于考试大纲的要求与本节课时间的分配此，知识点主要是介绍解题的方

12、法并，与不同元素的分组分配问题形成对比帮。学生理清知识的网络，并针对具体的问题运用具体的解题方法。三、综合提高练习将7个小球任意放入四个不同的盒子中，每个盒子不空（1）若7个小球相同，共有多少种放法？（2）若7个小球不同，共有多少种方法？解:（1）分组元素相同，利用隔板法，则有C2二20种放法。6（2）分组元素不同，从放的个数的角度考虑可分为三类：（1，1，1，4）、（1，1，2，3）和（2，2，2，1）；总的方案种数有：C1C1C1C4C1C1C2C3C2C2C2C1(7654+7_654+7_53)A4二(35+210+105)X24二8400(种)。A3A2A34323四、课堂小结处理分

13、组分配问题时注意考虑要分组的元素是相同的还是不同。第一类：对不同元素进行分组分配用分组公式法。第二类：对相同元素进行分组分配用隔板模型法。五、课后作业教委派5名教研员到3所学校去调研学生课业负担问题，每校至少1人，有多少种不同的选派方案？教后反思：排列组合是高二数学选修23的内容，概念性强，抽象性强，灵活性强，思维方式独特。所以，在教学此知识点时我比较注意研究题型例题，形成典型问题的思维模式，帮学生奠定解其他相关问题的思维依托分。组分配问题又是排列组合中的难点如。何把握好这一难点，让学生学起来有方法有思路而不觉得困难是我备课的重点在。具体的教学过程中，我比较注重公式的探讨这一环节。我认为，只有让学生真正懂得公式的来由，才会把公式记得牢固用得准确。在处理两个知识点