复习用课件概率统计

1、概率论与数理统计通知：本次作业交到练习十六二、极大似然估计法引例 袋中放有黑球和白球共4个，今有放回地抽球三次，得到2次白球，1次黑球，试问如何估计袋中白球个数？设m为白球个数，解当m = 3时, 观察值出现的概率最大, 故 。总体XB(1, m/4). 取到2次白球， 1次黑球的概率为极大似然原则： 参数空间中使得样本观察值出现的概率(或概率密度)达到最大的参数作为参数的极大似然估计。似然函数：设样本观察值为x1, x2, , xn, 则 的极大似然估计值的极大似然估计量通常由似然方程解出(自变量 )注 若无驻点，则在的不可导点或边界点处达到。 例1 (老教材P172例7.5)设寿命XE(1

2、/)，试由下面18个样本观察值求未知参数的极大似然估计值。解解得估计值=317.94(小时),估计量与矩估计相同例2 已知X的分布列为求未知参数 p 的极大似然估计。 X 1 2 3P p2 p(1-p) 1-p 解 设n次中观察到1、2、3的次数分别为n1、 n2、 n3，则求对数似然函数的驻点即可例3 设总体XN( , 2)，求 和 2 的极大似然估计值解问题：若已知，则与矩估计相同 例4 设总体 XU a,b，试求a 和b 的极大似然估计量解无解？即a, b的极大似然估计值为ab及a, b的极大似然估计量为与矩估计不同。注 观测值与参数空间有关。例设总体的概率分布为0123其中(是未知参

3、数,利用总体的如下样本值3,1,3,0,3,1,2,3.求的矩估计和最大似然估计值.例、设总体的概率密度为性质：若 为 的极大似然估计，则 为u( )的极大似然估计。例5 设总体XN(,2 )，求的极大似然估计。解由例2知:故注意：矩法估计的原理和极大似然估计不同；矩法估计先求估计量再求估计值，极大似然估计则相反。7.3 估计量的评选原则一、无偏性(n固定)若E( )= ，则称 为 的无偏估计量。例1 证明样本均值 为总体期望=E(X)的无偏估计。 解一般 即k阶样本原点矩Ak为k阶理论原点矩k的无偏估计。 例2 证明样本方差 是总体方差D(X)=2 的无偏估计。证明 (2)(1) 直接求注1

4、注2注3事实上对任何 c1, c2,., cn ,当c1+ c2+.+ cn=1时，有例2说明 不是2 的无偏估计 渐近无偏估计如：若D(X)0，虽 为的无偏估计，但u( )不一定是u()的无偏估计。无偏估计不唯一，如Xi和 均为=E(X)的无偏估计。为=E(X)的无偏估计，但 非2的无偏估计。一般，函数的期望不等于期望的函数，即E(g(X) g (E (X).解:例3 设是总体 X 的一个样本 ,XB(n , p) n 1 , 求 p 2 的无偏估计量. 解.由于样本矩是总体矩的无偏估计量以及数学期望的线性性质, 只要将未知参数表示成总体矩的线性函数, 然后用样本矩作为总体矩的估计量, 这样

5、得到的未知参数的估计量即为无偏估计量令例3因此, p 2 的无偏估计量为故例4 设是总体 X 的一个样本 ,XP( )n 1 , 求 2 的无偏估计量. 解令例3例4 设总体 X 的密度函数为为常数为 X 的一个样本证明与都是的无偏估计量证 故是 的无偏估计量.例4令即故 n Z 是 的无偏估计量.二、有效性(n固定)若 ，且 ，则称 比 有效 比如，但故 比 有效。 为 的最小方差无偏估计量 ，且对 的一切无偏估计 有：所以,比更有效.是 的无偏估计量,问哪个估计量更有效？ 由例4可知, 与 都为常数例5 设总体 X 的密度函数为解 ，例5为常数例6 设总体 X 的密度函数为例5求未知参数的矩估计与极大似然估计，并判定估计量的无偏性与有效性三、一致性若有则称 为 的一致估计。例4 由辛钦大数定律知样本均值 是总体均值的一致估计。例5 证明正态总体的样本方差Sn2是2的一致估计。证由切比雪夫不等式和夹挤定理得证。（习题7.7：正态总体已知）先求得练习 1 分别求总体 P () 和 E ()中参数的矩估计和极大似然估计量，并判断无偏性。解1 X P()，则E(X)= ，由由估计量是无偏的。2 X E()，则估计量不是无偏的。 两边取估计习题补充题 设总体 X N ( , 2),为 X 的一个样本,常数 k 取何值可使为 的无偏估计量通 知新教材不考内容： 4.3, 4.4.3,