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5.2 几种典型一阶微分方程的解法5.2.1 可分离变量的一阶微分方程转化 解分离变量方程 可分离变量方程 分离变量方程的解法:设 y (x) 是方程的解, 两边积分, 得 则有恒等式 则有当G(y) 与F(x) 可微且 G(y) g(y)0 时, 说明由确定的隐函数 y(x) 是的解. 称为方程的隐式通解, 或通积分.同样,当F(x)= f (x)0 时,上述过程可逆,由确定的隐函数 x(y) 也是的解. 例5.4 求微分方程的通解.解 分离变量得两边积分得即( C 为任意常数 )或说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、减解.( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )例5.5 解初值问题解 分离变量得两边积分得即由初始条件得 C = 1,( C 为任意常数 )故所求特解为5.2.1 可分离变量的一阶微分方程5.2.1 可分离变量的一阶微分方程5.2.2 一阶线性微分方程5.2.2 一阶线性微分方程对于可分离变量方程分离变量两边积分得故通解为5.2.2 一阶线性微分方程对应齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解对非齐次方程用常数变易法:则故原方程的通解即即作变换两端积分得例5.8 解方程 解 先解即积分得即用常数变易法求特解. 令则代入非齐次方程得解得故原方程通解为例5.9 求方程的通解 .解 注意 x, y 同号,由一阶线性方程通解公式 , 得故方程可

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