圆锥曲线测试(共28页)

1、圆 锥 曲 线 测 试1设F1，F2分别(fnbi)是椭圆eq f(x2,25)eq f(y2,16)1的左、右焦点(jiodin)，P为椭圆(tuyun)上一点，M是F1P的中点，|OM|3，则P点到椭圆左焦点的距离为() A4B3 C2 D52 2m6是方程eq f(x2,m2)eq f(y2,6m)1表示椭圆的()A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分与不必要条件3已知椭圆的长轴长是8，离心率是eq f(3,4)，则此椭圆的标准方程是()A.eq f(x2,16)eq f(y2,7)1 B.eq f(x2,16)eq f(y2,7)1或eq f(x2,7)eq f(y2

2、,16)1 C.eq f(x2,16)eq f(y2,25)1 D.eq f(x2,16)eq f(y2,25)1或eq f(x2,25)eq f(y2,16)14设F1，F2是椭圆E：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的左、右焦点，P为直线xeq f(3a,2)上一点，F2PF1是底角为30的等腰三角形，则E的离心率为() A.eq f(1,2) B.eq f(2,3) C.eq f(3,4) D.eq f(4,5)5(安徽师大附中模拟)已知椭圆eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的两顶点为A(a,0)，B(0，b)，且左焦点为F，FAB是以角B为直

3、角的直角三角形，则椭圆的离心率e为()A.eq f(r(3)1,2) B.eq f(r(5)1,2) C.eq f(1r(5),4) D.eq f(r(3)1,4)6一个椭圆中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2, eq r(3)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆方程为() A.eq f(x2,8)eq f(y2,6)1 B.eq f(x2,16)eq f(y2,6)1 C.eq f(x2,8)eq f(y2,4)1 D.eq f(x2,16)eq f(y2,4)17已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为eq f(r(3),2)，且椭圆上一点

4、到椭圆的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为_8(郑州模拟)设F1，F2分别是椭圆E：x2eq f(y2,b2)1(0b1)的左，右焦点，过F1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列，则|AB|_.9(哈尔滨模拟)设F1，F2分别是椭圆eq f(x2,25)eq f(y2,16)1的左，右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|PF1|的最大值为_10(安徽高考(o ko)如图，F1，F2分别(fnbi)是椭圆C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的左，右焦点(jiodin)，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭

5、圆C的另一个交点，F1AF260.(1)求椭圆C的离心率；(2)已知AF1B的面积为40eq r(3)，求a，b的值11(2012陕西高考)已知椭圆C1：eq f(x2,4)y21，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率(1)求椭圆C2的方程；(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，2，求直线AB的方程12(济南模拟)已知椭圆C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的离心率为eq f(r(6),3)，F为椭圆的右焦点，M，N两点在椭圆C上，且,(0)，定点A(4,0)(1)求证：当1时，,；(2)若当1时，有,eq f(106,3)，求椭圆C的方程

6、13(西城模拟(mn)已知椭圆(tuyun)C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的一个(y )焦点是F(1,0)，且离心率为eq f(1,2).(1)求椭圆C的方程；(2)设经过点F的直线交椭圆C于M，N两点，线段MN的垂直平分线交y轴于点P(0，y0)，求y0的取值范围14(14分)已知椭圆G：eq f(x2,4)y21.过点(m,0)作圆x2y21的切线l交椭圆G于A，B两点(1)求椭圆G的焦点坐标和离心率； (2)将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值1(唐山模拟)已知双曲线的虚轴长是实轴长的eq r(3)倍，焦点坐标为(4,0)，(4,0)，则双曲线方程

7、为()A.eq f(x2,4)eq f(y2,12)1B.eq f(x2,2)eq f(y2,4)1 C.eq f(x2,24)eq f(y2,8)1 D.eq f(x2,8)eq f(y2,24)12“ab2)，其离心率为eq f(r(3),2)，故eq f(r(a24),a)eq f(r(3),2)，解得a4，故椭圆C2的方程为eq f(y2,16)eq f(x2,4)1.(2)法一：A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由OB2OA及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为ykx.将ykx代入eq f(x2,4)y21中，得(14k2)

8、x24，所以(suy)xeq oal(2,A)eq f(4,14k2).将ykx代入eq f(y2,16)eq f(x2,4)1中，得(4k2)x216，所以(suy)xeq oal(2,B)eq f(16,4k2).又由2，得xeq oal(2,B)4xeq oal(2,A)，即eq f(16,4k2)eq f(16,14k2)，解得k1.故直线(zhxin)AB的方程为yx或yx.法二：A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由2及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为ykx.将ykx代入eq f(x2,4)y21中，得(14k2)x24

9、，所以xeq oal(2,A)eq f(4,14k2).由2，得xeq oal(2,B)eq f(16,14k2)，yeq oal(2,B)eq f(16k2,14k2).将xeq oal(2,B)，yeq oal(2,B)代入eq f(y2,16)eq f(x2,4)1中，得eq f(4k2,14k2)1，即4k214k2，解得k1.故直线AB的方程为yx或yx.12解：(1)证明(zhngmng)：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，F(c,0)，则,(cx1，y1)，,(x2c，y2)当1时，,，y1y2，x1x22c.M，N两点在椭圆(tuyun)C上，xeq oal(2,1)a2e

10、q blc(rc)(avs4alco1(1f(yoal(2,1),b2)，xeq oal(2,2)a2eq blc(rc)(avs4alco1(1f(yoal(2,2),b2)，xeq oal(2,1)xeq oal(2,2).若x1x2，则x1x202c(舍去)，x1x2，,(0,2y2)，,(c4,0)，,0，,(2)当1时，由(1)知x1x2c，Meq blc(rc)(avs4alco1(c，f(b2,a)，Neq blc(rc)(avs4alco1(c，f(b2,a)，,eq blc(rc)(avs4alco1(c4，f(b2,a)，,eq blc(rc)(avs4alco1(c4，f

11、(b2,a)，(c4)2eq f(b4,a2)eq f(106,3).(*)eq f(c,a)eq f(r(6),3)，a2eq f(3,2)c2，b2eq f(c2,2)，代入(*)式得eq f(5,6)c28c16eq f(106,3)，c2或ceq f(58,5)(舍去)a26，b22，椭圆(tuyun)C的方程(fngchng)为eq f(x2,6)eq f(y2,2)1.13解：(1)设椭圆(tuyun)C的半焦距是c.依题意，得c1.因为椭圆C的离心率为eq f(1,2)，所以a2c2，b2a2c23.故椭圆C的方程为eq f(x2,4)eq f(y2,3)1.(2)当MNx轴时，

12、显然y00.当MN与x轴不垂直时，可设直线MN的方程为yk(x1)(k0)由eq blcrc (avs4alco1(ykx1，,f(x2,4)f(y2,3)1，)消去y并整理得(34k2)x28k2x4(k23)0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，线段MN的中点为Q(x3，y3)，则x1x2eq f(8k2,34k2).所以x3eq f(x1x2,2)eq f(4k2,34k2)，y3k(x31)eq f(3k,34k2).线段MN的垂直平分线的方程为yeq f(3k,34k2)eq f(1,k)eq blc(rc)(avs4alco1(xf(4k2,34k2).在上述方程中，令x0，得

13、y0eq f(k,34k2)eq f(1,f(3,k)4k).当k0时，eq f(3,k)4k4eq r(3)；当k0时，eq f(3,k)4k4eq r(3).所以eq f(r(3),12)y00或0y0eq f(r(3),12).综上，y0的取值范围(fnwi)是eq blcrc(avs4alco1(f(r(3),12)，f(r(3),12).12(14分)已知椭圆(tuyun)G：eq f(x2,4)y21.过点(m,0)作圆x2y21的切线(qixin)l交椭圆G于A，B两点(1)求椭圆G的焦点坐标和离心率；(2)将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值12解：(1)由已知得a2

14、，b1，所以ceq r(a2b2)eq r(3).所以椭圆G的焦点坐标为(eq r(3)，0)，(eq r(3)，0)，离心率为eeq f(c,a)eq f(r(3),2).(2)由题意知，|m|1.当m1时，切线l的方程为x1，点A，B的坐标分别为(1，eq f(r(3),2)，(1，eq f(r(3),2)，此时|AB|eq r(3).当m1时，同理可得|AB|eq r(3).当|m|1时，设切线l的方程为yk(xm)由eq blcrc (avs4alco1(ykxm，,f(x2,4)y21.)得(14k2)x28k2mx4k2m240.设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2

15、)，则x1x2eq f(8k2m,14k2)，x1x2eq f(4k2m24,14k2).又由l与圆x2y21相切，得eq f(|km|,r(k21)1，即m2k2k21.所以|AB|eq r(x2x12y2y12)eq r(1k2x1x224x1x2)eq r(1k2f(64k4m2,14k22)f(44k2m24,14k2)eq f(4r(3)|m|,m23).由于当m1时，|AB|eq r(3)，所以|AB|eq f(4r(3)|m|,m23)，m(，11，)因为(yn wi)|AB|eq f(4r(3)|m|,m23)eq f(4r(3),|m|f(3,|m|)2，且当meq r(3)

16、时，|AB|2，所以(suy)|AB|的最大值为2.1(2012唐山(tn shn)模拟)已知双曲线的虚轴长是实轴长的eq r(3)倍，焦点坐标为(4,0)，(4,0)，则双曲线方程为()A.eq f(x2,4)eq f(y2,12)1B.eq f(x2,2)eq f(y2,4)1C.eq f(x2,24)eq f(y2,8)1 D.eq f(x2,8)eq f(y2,24)12“ab0”是“方程ax2by2c表示双曲线”的()A必要但不充分条件B充分但不必要条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件3(2012哈尔滨模拟)已知P是双曲线eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b

17、0)上的点，F1，F2是其焦点，双曲线的离心率是eq f(5,4)，且,0，若PF1F2的面积为9，则ab的值为()A5 B6C7 D84(2012浙江模拟)平面内有一固定线段AB，|AB|4，动点P满足|PA|PB|3，O为AB中点，则|OP|的最小值为()A3 B2C.eq f(3,2) D15.(2012浙江高考)如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是()A3 B2C.eq r(3) D.eq r(2)6(2012福建高考)已知双曲线eq f(x2,a2)eq f(y2,5)1的右焦点为(3,0)，

18、则该双曲线的离心率等于()A.eq f(3r(14),14) B.eq f(3r(2),4)C.eq f(3,2) D.eq f(4,3)7(2012西城模拟(mn)若双曲线x2ky21的一个焦点(jiodin)是(3,0)，则实数k_.8设双曲线eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的半焦距(jioj)为c.已知原点到直线l：bxayab的距离等于eq f(1,4)c1，则c的最小值为_9(2012济南模拟)过双曲线eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的左焦点F作圆x2y2eq f(a2,4)的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若E为P

19、F的中点，则双曲线的离心率为_10已知双曲线eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|4|PF2|，求双曲线的离心率的取值范围11(2012宿州模拟)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为eq r(2)，且过点(4，eq r(10)点M(3，m)在双曲线上(1)求双曲线方程；(2)求证：0.12(2012广东(gung dng)名校质检)已知双曲线的方程(fngchng)是16x29y2144.(1)求双曲线的焦点(jiodin)坐标、离心率；(2)设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲

20、线上，且|PF1|PF2|32，求F1PF2的大小A级1选A由题意可设双曲线方程为eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)，由已知条件可得eq blcrc (avs4alco1(f(b,a)r(3)，,c4，)即eq blcrc (avs4alco1(f(b,a)r(3)，,a2b242，)解得eq blcrc (avs4alco1(a24，,b212，)故双曲线方程为eq f(x2,4)eq f(y2,12)1.2选A若ax2by2c表示双曲线，即eq f(x2,f(c,a)eq f(y2,f(c,b)1表示双曲线，则eq f(c2,ab)0，这就是说“ab0”是必要条件

21、，然而若ab0，c可以等于0，即“ab2)，其离心率为eq f(r(3),2)，故eq f(r(a24),a)eq f(r(3),2)， 解得a4， 故椭圆C2的方程为eq f(y2,16)eq f(x2,4)1.(2)法一：A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由OB2OA及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为ykx.将ykx代入eq f(x2,4)y21中， 得(14k2)x24， 所以xeq oal(2,A)eq f(4,14k2).将ykx代入eq f(y2,16)eq f(x2,4)1中， 得(4k2)x216， 所以xeq o

22、al(2,B)eq f(16,4k2).又由2，得xeq oal(2,B)4xeq oal(2,A)， 即eq f(16,4k2)eq f(16,14k2)，解得k1.故直线AB的方程为yx或yx.法二：A，B两点的坐标(zubio)分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由2及(1)知，O，A，B三点(sn din)共线且点A，B不在y轴上，因此(ync)可设直线AB的方程为ykx. 将ykx代入eq f(x2,4)y21中，得(14k2)x24，所以 xeq oal(2,A)eq f(4,14k2).由2，得xeq oal(2,B)eq f(16,14k2)，yeq oal(2,B)eq

23、f(16k2,14k2).将xeq oal(2,B)，yeq oal(2,B)代入eq f(y2,16)eq f(x2,4)1中，得eq f(4k2,14k2)1，即4k214k2，解得k1. 12解：(1)证明：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，F(c,0)，则,(cx1，y1)，,(x2c，y2)当1时，,，y1y2，x1x22c. M，N两点在椭圆C上，xeq oal(2,1)a2eq blc(rc)(avs4alco1(1f(yoal(2,1),b2)，xeq oal(2,2)a2eq blc(rc)(avs4alco1(1f(yoal(2,2),b2)， xeq oal(2,1)

24、xeq oal(2,2). 若x1x2，则x1x202c(舍去)，x1x2，,(0,2y2)，,(c4,0)，,0，,(2)当1时，由(1)知x1x2c， Meq blc(rc)(avs4alco1(c，f(b2,a)，Neq blc(rc)(avs4alco1(c，f(b2,a)， ,eq blc(rc)(avs4alco1(c4，f(b2,a)，,eq blc(rc)(avs4alco1(c4，f(b2,a)，(c4)2eq f(b4,a2)eq f(106,3).(*) eq f(c,a)eq f(r(6),3)，a2eq f(3,2)c2，b2eq f(c2,2)，代入(*)式得eq

25、f(5,6)c28c16eq f(106,3)，c2或ceq f(58,5)(舍去)a26，b22， 椭圆C的方程为eq f(x2,6)eq f(y2,2)1.13解：(1)设椭圆C的半焦距是c.依题意，得c1.因为椭圆C的离心率为eq f(1,2)，所以a2c2，b2a2c23.故椭圆C的方程为eq f(x2,4)eq f(y2,3)1.(2)当MNx轴时，显然y00.当MN与x轴不垂直时，可设直线MN的方程为yk(x1)(k0)由eq blcrc (avs4alco1(ykx1，,f(x2,4)f(y2,3)1，)消去y并整理得 (34k2)x28k2x4(k23)0.设M(x1，y1)，

26、N(x2，y2)，线段MN的中点为Q(x3，y3)，则x1x2eq f(8k2,34k2).所以(suy)x3eq f(x1x2,2)eq f(4k2,34k2)，y3k(x31)eq f(3k,34k2).线段(xindun)MN的垂直平分线的方程(fngchng)为yeq f(3k,34k2)eq f(1,k)eq blc(rc)(avs4alco1(xf(4k2,34k2).在上述方程中，令x0，得y0eq f(k,34k2)eq f(1,f(3,k)4k).当k0时，eq f(3,k)4k4eq r(3)；当k0时，eq f(3,k)4k4eq r(3).所以eq f(r(3),12)

27、y00或0y0eq f(r(3),12).综上，y0的取值范围是eq blcrc(avs4alco1(f(r(3),12)，f(r(3),12).14解：(1)由已知得a2，b1，所以ceq r(a2b2)eq r(3).所以椭圆G的焦点坐标为(eq r(3)，0)，(eq r(3)，0)，离心率为eeq f(c,a)eq f(r(3),2).(2)由题意知，|m|1.当m1时，切线l的方程为x1，点A，B的坐标分别为(1，eq f(r(3),2)，(1，eq f(r(3),2)，此时|AB|eq r(3).当m1时，同理可得|AB|eq r(3).当|m|1时，设切线l的方程为yk(xm)由

28、eq blcrc (avs4alco1(ykxm，,f(x2,4)y21.)得(14k2)x28k2mx4k2m240.设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1x2eq f(8k2m,14k2)，x1x2eq f(4k2m24,14k2). 又由l与圆x2y21相切，得eq f(|km|,r(k21)1，即m2k2k21. 所以|AB|eq r(x2x12y2y12)eq r(1k2x1x224x1x2)eq r(1k2f(64k4m2,14k22)f(44k2m24,14k2)eq f(4r(3)|m|,m23).由于当m1时，|AB|eq r(3)，所以|AB|eq

29、f(4r(3)|m|,m23)，m(，11，)因为(yn wi)|AB|eq f(4r(3)|m|,m23)eq f(4r(3),|m|f(3,|m|)2，且当meq r(3)时，|AB|2，所以(suy)|AB|的最大值为2.10解：(1)由eq blcrc (avs4alco1(yxb，,x24y)得x24x4b0，(*)因为(yn wi)直线l与抛物线C相切，所以(4)24(4b)0.解得b1.(2)由(1)可知b1，故方程(*)为x24x40.解得x2，代入x24y，得y1，故点A(2,1)因为圆A与抛物线C的准线相切，所以圆A的半径r就等于圆心A到抛物线的准线y1的距离，即r|1(1

30、)|2，所以圆A的方程为(x2)2(y1)24.11解：(1)当y4p时，x4p，抛物线的准线方程为xp，焦点为(p,0)，抛物线上纵坐标为4p的点到点(p,0)的距离，就是该点到焦点的距离，由抛物线的定义得，所求距离为4p(p)5p.(2)设直线MA的斜率为kMA，MB的斜率为kMB，由yeq oal(2,1)4px1，yeq oal(2,0)4px0，得kMAeq f(y1y0,x1x0)eq f(4p,y1y0)，同理kMBeq f(4p,y2y0)，又eq f(y1y2,y0)2，所以y1y22y0，因为kMAkMBeq f(4p,y1y0)eq f(4p,y2y0)eq f(4py1

31、y22y0,y1y0y2y0)0，所以kMAkMB0， (3)证明：设直线AB的斜率为kAB，则kABeq f(y2y1,x2x1)eq f(y2y1,f(yoal(2,2),4p)f(yoal(2,1),4p)eq f(4p,y1y2)，由(2)知y1y22y0，所以kABeq f(2p,y0)，由于M(x0，y0)为定点，所以eq f(2p,y0)为定值且eq f(2p,y0)0，故直线AB不可能平行于x轴12解：(1)椭圆C1的长半轴长a2，半焦距ceq r(4b2).由eeq f(c,a)eq f(r(4b2),2)eq f(r(3),2)得b21，椭圆C1的上顶点为(0,1)，即抛物

32、线C2的焦点为(0,1)，故抛物线C2的方程为x24y.(2)由已知可得直线l的斜率必存在，设直线l的方程为yk(x1)，E(x1，y1)，F(x2，y2)由x24y得yeq f(1,4)x2，yeq f(1,2)x.切线l1，l2的斜率分别为eq f(1,2)x1，eq f(1,2)x2. 当l1l2时，eq f(1,2)x1eq f(1,2)x21，即x1x24.由eq blcrc (avs4alco1(ykx1,x24y)得x24kx4k0，(4k)24(4k)0，解得k1或k0.且x1x24k4，即k1，满足(mnz)式，直线(zhxin)l的方程(fngchng)为xy10.12解：(1)设M(x，y)由已知得B(x，3)，A(0，1)所以(x，1y)，(0，3y)，(x，2)再由题意可知()0，即(x，42y)(x，2)0.所以曲线C的方程为yeq f(1,4)x22.(2)设P(x0，y0)为曲线C：yeq f(1,4)x22上一点，因为yeq f(1,2)x，所以l的斜率为eq f(1,2)x0.因此曲线