2022年几何初步与三角形知识点与对应习题

1、名师整理 精华知识点初三数学寒假课程（6）教案编写日期 :2012.01.11 课程教授日期 :2011.01.29 应到人数 : 18 实到人数 : 授课课题 : 几何初步与三角形授课人：教学目标 :掌握几何基本概念以及三角形的相关内容 教学重难点 : 重点：三角形的性质 难点：特殊三角形的综合运用 教学过程：一、知识点例题讲解一、相交线与平行线1. 线段，射线，直线，延长线（1）两点之间，线段最短 . （2）把线段向一方无限延伸所形成的图形叫做射线 . （3）把线段向两方无限延伸所形成的图形叫做直线 线.即两点确定一条直线 . .经过两点有一条直线，并且只有一条直提示：直线、射线、线段的区

2、别主要看端点个数，直线无端点，射线有一个端点，线段有两 个端点 . （4）过 N 个点可以最多画几条直线（5）无图线段长度的两边两种情况，例，线段 2.角AB 长 5，AC=2, 则 CB= 多少，两种情况有公共端点的两条射线组成的图形叫做角；如果一个角的两边成一条直线，那么这个角叫做平角；平角的一半叫直角；大于直角小于平角的角叫做钝角；大于 角. 提示：1 周角 =2 平角 =4 直角 =360 ；1 平角 =2 直角 =180 ； 1 直角 =90 ；1 度 =60 分=3600 秒（即： 1 =60 =3600）；1 分 =60 秒（即： 1 =60）. 0 0 小于直角的角叫做锐1 时

3、钟的分针从 3 点整的位置起，经过多长时间时针与分针第一次重合？3. 角的特殊关系 互为补角：如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫做互为补角 . 互为余角：如果两个角的和是一个直角，那么这两个角叫做互为余角 . . 互为邻补角：两条直线相交得到的四个角中，有一条公共边的两个角，叫做互为邻补角 提示：同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等 . 4. 角平分线 5. 对顶角 6. 平行线概念，平行的判定，性质 1. 定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。2. 判定：（1） 同位角相等，两直线平行。名师整理 精华知识点（2） 内错角相等，两直线平行。（3） 同旁内角相等，两直线平行

4、。（4） 垂直于同一直线的两直线平行。3. 性质：(1) 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。(2) 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行。(3) 两直线平行，同位角相等。(4) 两直线平行，内错角相等。(5) 两直线平行，同旁内角互补。二、旋转，平移，轴对称与轴对称图形，中心对称与中心对称图形 . 1. 轴对称轴对称考点分析：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做轴对称 ,我们也说这个图形关于这条直线的轴对称。关于轴对称的两个图形，对应点连线被对称轴_；对应线段交于对称轴或对应线段延长线的交点在对称轴上或与对称轴 _。轴

5、对称图形 考点分析：轴对称是两个图形关于某一条直线对称，而中心对称是两个图形关于某一点对称，成轴对称和中心对称的两个图形全等。2. 中心对称 中心对称考点分析：中心对称图形是旋转角为180 的旋转对称图形，关于中心对称的两个图形一定全等，但两个全等的图形不一定成对称图形。定义： 把一个图形绕着一个点旋转 _后，如果它能与另一个图形 _，则这两个图形形成 _。个点叫 _。判定：如果两个点 A、B 的连线经过点 O，且被 O点_（即 OA=OB），则点 A、B关于点 O成中心对称。特征：在成中心对称的两个图形中，对称点连线都经过_且被 _平分；对应线段 _（或在同一条直线上）且 _。中心对称图形

6、考点分析： 如果一个图形绕某一点旋转 180 度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这 个图形叫做中心对称图形。而这个中心点，叫做中心对称点。如：线段、平行四边形、正 偶数边形、圆、双曲线等 3. 旋转图形，任意角 4. 平移 平移是指在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做 平移，平移不改变物体的形状和大小。格点，坐标的变化 5. 旋转 考点分析： 旋转中心在旋转过程中保持不动。图形的旋转是由旋转中心、旋转方 向和旋转角度决定的。将一个图形绕着某个点沿着某个方向旋转一个角度，意味着 图形上每个点同时按相同的方向旋转相同的角度。旋转多少都判断技巧：就看一边旋转多少。

7、名师整理 精华知识点三、三角形1. 三角形分类不等边三角形三角形( 按边分 ) 底和腰不相等垢等腰三角形等腰三角形等边三角形直角三角形三角形 ( 按角分 ) 锐角三角形斜三角形钝角三角形2. 三角形三边三角关系三角形的三边关系定理：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边 . 它常用于：（ 1）解决几何图形中线段的不等关系；（ 2）在给定三条线段的长度后，判断它们是否构成三角形；（ 3）与方程知识结合的综合题目 . 大角对大边可以用来找对应边，对应角角与角的关系：三个内角的和等于 180 ；一个外角等于和它不相邻的两个内角之和，并且大于任何个和它不相邻的内角。边与边的关系：三角形

8、中任两边之和大于第三边，任两边之差小于第三边。边与角的大小对应关系：在一个三角形中，等边对等角；等角对等边。1.一个三角形的两边长为 3 和 6，第三边的长是方程 x 2 x 4 0 的根，则这个三角形的周长是（）A11 B11 或 13 C13 D 11 和 13 3两根木棒长分别为 5 和 7，要选择第三根木棒，将其钉成三角形，若第三根木棒和长选取偶数，有 种取值情况4已知三角形两边长为 a 、 b ，其中 a b ，则周长是 l 是（）A 3 a l 3 b B 2 b l 2 a b C 2 a l 2 a b D 2 b l 2 a b25若等腰 ABC 的边长都是方程 x 6 x

9、8 0，则 ABC 的周长是是6已知 ABC 的两边长 AB=5 ，AC=3 ，求 BC 边上的中线 AD 长度的取值范围4.外角名师整理精华知识点三角形的外角性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；BC . . 三角形的外角性质2：三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角；三角形的外角和定理：三角形的外角和等于3605.三角形的特殊线段角平分线：三角形的一个角的角平分线和它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段中线：连接三角形的一个顶点与它的对边的中点的线段. 高：从三角形的一个顶点到它的对边所在直线的垂线段. 中位线：连接三角形两边的中点的线段. (特别提示 :三角形的

10、角平分线、中线、高、中位线都是线段) 6.中位线三角形的中位线平行于第三边, 并且等于第三边的一半. 如图 ,EF/BC, 且EF127.等腰三角形性质 等腰三角形两腰相等，两底角相等。等腰三角形顶角的平分线垂直底边，也就是说：等腰三角形顶角的平分线、度边上的中线、底边上的高“ 三线合一”。等腰三角形是轴对称图形，有一条或三条对称轴。判断(1) 有两边相等的三角形是等腰三角形 ; (2) 有两角相等的三角形是等腰三角形 ; (3) 用“ 三线合一” 的逆定理也可判断三角形为等腰三角形8. 全等三角形 性质 等边三角形是特殊的等腰三角形 ,因此它具有等腰三角形的所有性质 ,另外等边三角形三边相等

11、；三角相等都为 60 ；内心与外心重合；它是轴对称图形，有三条对称轴。判断（1）三边都相等的三角形是等边三角形；（2）三角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角为 60 的等腰三角形是等边三角形9. 直角三角形 性质(1) 两锐角互余 ; (2) 斜边上的中线等于斜边的一半 ;证明名师整理 精华知识点(3) 勾股定理 ; (4) 30角所对的直边是斜边的一半; a) bc; (5) 外接圆半径RC=斜边上的中线长,内切圆半径r22(直角三角形的外心在斜边上的中点,内心在直角三角形内部判断（1）有一个角是直角的三角形是直角三角形；（2）如果三角形一边上的中线等于这边的一半，则三角形为直角三角

12、形；（3）若 a 2b 2c ，则以 a 、 b 、 c 为边的三角形是直角三角形210. 三角形的面积(1) 一般三角形： S = 1 a h （ h 是 a 边上的高）2(2) 直角三角形： S = 1 a b = 1 c h （a、b 是直角边， c 是斜边， h 是斜边上的高）2 2(3) 等边三角形： S = 3 a 2（a 是边长）4(4) 等底等高的三角形面积相等；等底的三角形面积的比等于它们的相应的高的比；等高的三角形的面积的比等于它们的相应的底的比。11. 全等三角形两个能够完全重合的三角形叫全等三角形，全等三角形的对应角相等，对应边相等， 其他的对应线段也相等。判定两个三角

13、形全等的公理或定理：一般三角形有 SAS、ASA、AAS、SSS；直角三角形还有 HL 二、练习设计1. 下列图形中，为轴对称图形的是（名师整理精华知识点）2. 如图， 是由若干个小正方体所搭成的几何体，是的俯视图， 则的左视图是 （）3. 同一平面有四点，每过两点画一条直线，则直线的条数是（）（ A）1 条（B）4 条（C）6 条（D）1 条或 4 条或 6 条4. 在同一平面内，有三条直线 a，b，c，如果 a c, bc 那么 a 与 b 的位置关系是（）（ A）相交（ B）平行（C）垂直（D）不能确定5. 在同一平面内 , 两条不重合直线的位置关系可能是 ( ) （ A）平行或相交（

14、B）垂直或相交（C）垂直或平行（D）平行、垂直或相交6. 若三角形的一个内角等于其他两个内角的差 , 那么此三角形是 ( ). A.锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形7. 一个三角形的两边分别 3 和 7，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最小值是（）A14 B15 C16 D17 8. 在 ABC中，ABC和 ACB的外角平分线交于点 O，如图，设 BOC，则 A等于（）1 1A90 2 B90 C180 2 D1802 29. 在 ABC中, AD 是 BC 边上的中线 , G 是重心 ,如果 AG 6 ,那么 DG 的长为 ( ) A.2 B.3 C.6

15、D.12 10. 延长 AB 到点 C，使 BC= 1 AB，D 为 AC 的中点，且 DC 6 cm , 则 AB 的长是 cm. 311. 已知点 O 在直线 AB 上，且线段OA 的长度为 4cm，线段 OB 的长度为 6cm，E、F 分别为线段 OA 、 OB 的中点，则线段 EF 的长度为 cm. 12. A 看 B 的方向是北偏东 50 ，则 B 看 A 的方向是 . 13. 时钟在 3 点半时，它的时针和分针所成的锐角是 . 14. 1 和 2 互余， 2 和 3 互补，如果 1=63 ，那么 3= . 15已知一个角的补角比这个角的余角的3 倍大 10 ，则这个角的度数为 .

16、16. 等腰三角形有两条边长分别为2 和 4，则与底边平行的中位线的长度是17. 已知等腰三角形一腰上的中线把等腰三角形的周长分成 的腰长为15 和 12 两部分，则等腰三角形名师整理 精华知识点18. 如图， 直线 a b ，点 B 在直线 b 上，且 ABBC，1=55 ，则 2 的度数为 . 19. 如图， AB CD，若 ABE=120 ， DCE=35 ，则有 BEC= 度. 20. 如图， ABC 中，C90，ABC60，BD 平分ABC ，若 AD=6 ，则 CD=21. 如图 AB/CD ， 1 与 A 互补，试证明：EF/CD （用两种证法）22. 如图， 在ABC 中，B2

17、C ，AD 是中线， BC=2AB 求证：ABD 是等边三角形ABDC23. 已知直角三角形的周长等于30，斜边上的中线长为6.5，求斜边上的高和三角形的面积24. 已知直角 ABC的周长为 14，面积为 7，试求它的三边长名师整理 精华知识点附加题1. 如图，等腰三角形ABC中，ABAC2，BC 边上有 200 个不同的点P ,P ,P ,P 200，记m iAP i2BP PC i i i1 2 3 , , ,200，则m 1m 2m 200ABPC2. 如图中螺旋由一系列等腰直角三角形组成，其序号依次为，则第 n 个等腰直角三角形的斜边长为3. ABC 中， BC a ， AC b ，

18、AB c，若 C 90，如图（ 1）根据勾股定理，则a2a2b22 c ，若ABC 不是直角三角形，如图（2）和图（ 3），请你类比勾股定理，试猜想2 b 与2 c 的关系，并证明你的结论名师整理 精华知识点一、选择题：1 如图，若 AB CD， C = 60o，则 A E（）A20o B30o C40o D60o2如图， 1=2，则下列结论一定成立的是（）AAB CD BAD BC C B=D D 3=4 3 如图， ADBC，DE AB ，则 B 和1 的关系是（）A. 相等 B. 互补 C. 互余 D. 不能确定4如图，下列判断正确的是（）A 1 和5 是同位角；C 3 和5 是内错角；

19、B 2 和6 是同位角；D 3 和6 是内错角5 下列命题正确的是（）A两直线与第三条直线相交，同位角相等；B两直线与第三条直线相交，内错角相等；C两直线平行，内错角相等；D两直线平行，同旁内角相等。6如图，若 AB CD，则（）A1 = 4 B 3 = 5 C4 = 5 D 3 = 4 7如图， l1 l2，则 = （）A50B80C85D958下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A.3cm，4cm，8cm C.5cm，6cm，10cm B.5cm，6cm， 11cm D.3cm，8cm， 12cm 9等腰三角形中， 一个角为 50，则这个等腰三角形的顶角的度数为（）A.150 B.80

20、名师整理精华知识点D.70C.50或 8010 如图，点 D、E、F 是线段 BC 的四等分点，点 A 在 BC 外，连接 AB 、AD 、AE、AF、AC，若 AB = AC ，则图中的全等三角形共有（）对C. 4 D. 5 ）A. 2 B. 3 11 三角形的三边分别为a、b、c，下列哪个三角形是直角三角形？（A. a = 3，b = 2，c = 4 C. a = 9，b = 8，c = 11 B. a = 15，b = 12，c = 9 D. a = 7，b = 7，c = 4 12 如图， AED ABC ，AD = 4cm，AE = 3cm，BDAECAC = 8cm，那么这两个三角

21、形的相似比是（）A3B1C3D2 42813 下列结论中，不正确的是（）A有一个锐角相等的两个直角三角形相似；B有一个锐角相等的两个等腰三角形相似；C各有一个角等于 120的两个等腰三角形相似；D各有一个角等于 60 的两个等腰三角形相似。二、填空题：14 如图，直线 a b，若 1 = 50 ，则2 = 。15 如图， AB CD， 1 = 40 ，则2 = 。16 如图， DE BC，BE 平分 ABC ，若 ADE = 80，则 1 = . 17 如图， l1 l2，1 = 105 ，2 = 140 ，则 = 名师整理精华知识点18 ABC 中，BC = 12cm，BC 边上的高AD = 6cm，则 ABC 的面积为。19 如果一个三角形的三边长分别为x，2， 3，那么 x 的取值范围是。20 在 ABC 中，AB = AC ， A = 80 ，则 B = ，C = 21 在 ABC 中， C = 90 ， A = 30 ，BC = 4cm，则 AB = 22 已知直角三角形两直角边分别为6 和 8，则斜边上的中线长是。23 等腰直角三角形的斜边为2，则它的面积是。24 在