周期性 (2)(共6页)

1、函数的周期性与图象(t xin)变换一、函数(hnsh)的周期性 定义：对于函数y=f(x)，如果存在常数T0，使得(sh de)当x取定义域内的每一个值时，都有 f(x+T)=f(x)成立，称y=f(x)为周期函数，T为周期函数f(x)的周期. 若函数y=f(x)是周期函数且有一个周期为T(T0)，则T的非零整数倍即nT(nZ, n0)都是f(x)的周期. 例1若函数f(x)定义域为R，且满足f(x-1)=f(x+1)，求证：f(x)是周期函数. 证明：f(x)的定义域为R，当xR时，x+1R, 由已知f(x+1)=f(x-1)有f(x+1+1)=f(x+1-1)=f(x)即f(x+2)=f

2、(x) 由周期函数的定义可知，y=f(x)是周期函数，且有一个周期是2. 例3设f(x)是(-,+)上的奇函数，f(x+2)=-f(x)，当0 x1时，f(x)=x, 则f(7.5)=( ) A、0.5 B、-0.5 C、1.5 D、-1.5 解法1：由已知f(x+2)=-f(x)依次地把7.5逐步地降下去即f(7.5)=f(5.5+2)=-f(5.5)=-f(3.5+2)=-f(3.5)=f(1.5+2)=-f(1.5)=-f(-0.5+2)=-f(-0.5)=f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5.故选B. 解法2：f(x)定义域为(-,.+)xR, x+2R, f(x+4)=f(x+2

3、+2)=-f(x+2)=-f(x)=f(x)f(x)是以4为周期的函数， 因此，8也是f(x)的一个周期，f(7.5)=f(-0.5+8)=f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5. 二、函数图象的几何变换 （一）平移变换 由y=f(x)y=f(x+a)+b，分为横向平移与纵向平移. 1横向平移：由y=f(x)y=f(x+a) 2纵向平移：由y=f(x)y=f(x)+b （二）伸缩变换 由y=f(x)y=Af(x) (A0,0) 分为横向与纵向伸缩，其变换过程可表示为： y=f(x)y=f(x) y=Af(sx) （三）对称变换 1关于x轴对称：y=f(x)与y=-f(x)，其解析式的特征是：

4、用-y代y，解析式能由一个变成另一个. 2关于y轴对称：y=f(x)与y=f(-x)，其解析式的特征是：用-x代x，解析式能一个变成另一个. 3关于原点对称：y=f(x)与y=-f(-x)，其解析式的特征是：用-x，-y分别代x，y，解析式能由一个变成另一个. 4关于直线y=x直线对称：y=f(x)与y=f-1(x)，其解析式的特征是：用x代y，用y代x，解析式能由一个变成另一个. （四）绝对值变换有两种：y=|f(x)|与y=f(|x|) 1由y=f(x)y=|f(x)| ，由绝对值的意义(yy)有：y=|f(x)|= 即：(1)留住x轴上方(shn fn)的图象 (2)翻折，将x轴下方的图

5、象沿x轴对称上去 (3)去掉x轴下方的图象 2由y=f(x)y=f(|x|) ，由绝对值的意义(yy)有：y=f(|x|)= 即 (1)留住y轴右侧的图象 (2)去掉y轴左侧的图象 (3)翻折：将y轴右侧的图象沿y轴对称到y轴左侧. 例3（97年全国高考题）将函数y=2x的图象（）再作关于直线y=x对称的图象，可得到函数y=log2(x+1)的图象. A、先向左平移1个单位B、先向右平移1个单位 C、先向上平移1个单位D、先向下平移1个单位 解答：这里函数y=log2(x+1)的图象不是函数y=2x的图象进行的指定平移变换的结果，依题意，这个平移变换的结果是函数y=log2(x+1)的反函数的

6、图象，而函数y=log2(x+1)的反函数是y=2x-1，于是，选D. 窗体底端三、函数奇偶性的认知与延伸一、 关于偶函数性质的认知与延伸1、原型：函数f()为偶函数 函数f()的图像关于y轴对称. 关系式：f() =f()，即f(0) =f(0)对称轴：=02、延伸（1）延伸之一：函数图象自身关于直线=a对称我们由上述对对称轴=0展开联想：直线=0可视为直线=a的特例. （2）延伸二：两个函数图象关于直线=对称.（）原型：函数y=()与y=()的图象关于直线(zhxin)=0对称 结论(jiln)2： 结论(jiln)3：结论4： 例1.设f()是定义在R上的偶函数，其图象关于直线=2对称，

7、已知当-2，2时，f()=+，求当-，2时的f()的解析式.解：由函数 f()的图象关于直线 =2对称知，对任意都有f(-)= f(+4)（为便于与“f()为偶函数”这一条件建立联系而作出这一选择）又f() 为偶函数 f(-) =f()由以上两式得 f(+4) =f() f()为周期函数且4是 f()的一个周期.而当-，2时4+-2，2由已知条件得 f(4+) =-(+4)2+1 于是由，得 f() =-(+4)2+1，即当-，2时，f()= -8-15例2.设f()是定义在R上的偶函数，且 f(+3) =1-f()，又当（0，1时，f()=2，求f(17.5)的值.解：从进一步认知f()的性

8、质切入.f(+3)=1- f() 注意到的任意性，在中以-替代得f(-+3)=1- f(-) 又f()为偶函数 f(-)= f() 由、得f(3-)= f(3+) f()图象关于直线=3对称 f(-)= f(6+)由、得f(+6)= f()即f()是以6为周期的周期函数.于是有f(17.5)=f(17.536)=f(0.5)=f(0.5) 再注意到当x (0,1时，f(x)=2x,由得f(17.5)=f(0.5)=20.5=1二.关于(guny)奇函数性质的认知与延伸1、原型(yunxng)：函数f(x)为奇函数 函数y=f(x)的图象关于(guny)原点对称.即 对函数定义域内每一个x都有f

9、( x)= f(x) 函数y=f(x)的图象关于点(0,0)对称. 关系式：f() = - f()，即f(0) = - f(0)，对称中心：（0，0）2、延伸（1）延伸之一:函数图象自身关于点(a,0)对称点(0,0)可视为点(a,0)的特例,以a-x,a+x分别代替上面函数关系式中的0-x与0+x,便得出作为原型引申的结论1.结论1. 结论2. 结论3. （2）延伸之二: 两个函数图象关于点( ,0)中心对称原型：函数(hnsh)y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点对称. 结论(jiln)1. 结论(jiln)2. 结论3. 结论4. 例3.设函数f(x)的定义域为1,3,且函数f(

10、x)的图象关于点(2,0)成中心对称,已知当x 2,3时f(x)= 2x,求当x 1,2时,f(x)的解析式.解:由函数f(x)的图象关于点(2,0)对称得f(x)=-f(4-x)又当x 1,2时,4-x 2,3,再由已知条件得f(4-x)=(4-x) -2(4-x) 由得f(x)=- (x- 4) +2(4-x)当x 1,2时,f(x)=-x +6x-8例4.已知f(x)是定义在R上的函数,f(10+x)=f(10-x),且f(20-x)= f(20+x),试判断f(x)的奇偶性与周期性.解:一方面,f(10+x)=f(10-x) f(x)=f(20-x) f(-x)=f(20+x)另一方面,f(20-x)