难点突破：立体图形的外接球与内切球问题

1、立体图形的外接球与内切球问题、基础知识与概念:.球的截面：用一个平面去截球，截面是圆面；用一个平面去截球面，截面是圆.大圆：截面过球心，半径等于球半径（截面圆中最大）；小圆：截面不过球心.球心和截面圆心的连线垂直于截面.2. 223.球心到截面的距离 d与球半径R及截面圆半径r的关系：R =d +r .4.几何体的外接球：几何体的顶点都在球面上；几何体的内切球：球与几何体的各个面都相切. 二、多面体的外接球（球包体）例：1. （2017年全国卷III第8题）已知圆柱的高为 1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为JTB.4【解析】模式辨识：“球包体”中的“垂底侧边棱

2、（母线）”类型，h =1 , R=1 ,底面半径为r ,则由R= 他2r2得：122. （2010年全国新课标卷第 10题）表面积为设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ,顶点都在一个球面上，则该球的7B. -na3112C. Jia3D.“球包体”中的“垂底侧边棱”类型,h = a , r = a , R2 =仇 I + r3222_ 2a a 7a=+ =,43127a2所以该球白表面积 S = 4二R2 = 4二 7-123区答案B.（2014年全国大纲卷第8题）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 为4,底面边长为2,则该球的表面积81 二A .4C. 9二27 二D.

3、一4【解析】模式辨识：“球包体”中的“顶点连心锥”h2 r216 22h所以S =4n R2 = 4冗又=?二，答案：A .164（2013年全国卷I第6题）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm,将一个放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为 球的体积为6 cm,如果不计容器的厚度,fl 500 二 3A.3 cm3 cmc 1372 二 C.33 cm【解析】设水面与球的接触点（切点）为p ,球心为o ,则PO垂直于正方体的上表面，依题意22到正万体上表面的距离为 h =2 ,球与正万体上表面相交圆的半径r=4,有：（R-2）+rR2,2,3 二=二

4、r h 二4500 二 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark33 o Current Document 2.一 r 4 一 4二7=R =5,所以球的体积V=R43三、定心大法：球心在过截面圆的圆心且垂直于截面圆所在平面的直线上.两圆定心法：如下图，过两个截面圆的圆心分别作相应截面圆的垂线，由两垂线的交点确定圆心.例2： 1.已知边长为21的棱形ABCD中，/ =60）现沿对角线BD折起，使得二面角 A BDC为120、此时点A , B , C , D在同一个球面上，则该球的表面积为（20n24n28 二.在矩形 ABCD中，AB =4 , BC =3,沿AC将

5、矩形折成一个直二面角 B-AC-D ,则四面体 ABCD的外接球 的体积为.在边长为1的菱形ABCD中，NBAD =60，沿对角线将菱形折成直二面角 A - BD -C ,则三棱锥A-BCD的外 接球的表面积为.四、正多面体的内切球（体中球）圆锥的内切球:R =五、正多面体的 切边球”（与所有的棱都相切的球）正四面体边长为 a,球半径R = 正方体边长为a,球半径R二正四面体边长为 a,球半径R 二例3: 1. 一个球的外切正方体的全面积为6 ,则球的体积为 .某圆锥的截面为边长为 2的正三角形，则该圆锥的内切球的表面积为 . （2016年全国卷III第10题）在封闭的直三棱柱 ABCAB1C

6、1内有一个体积为V的球，若AB .L BC , AB = 6,BC =8, AA =3,则V的最大值是 TOC o 1-5 h z 9 二32 二A. 4nB . C. 6nD.23【解析】考查直三棱柱中截面的内切圆为球的大圆的情景，有（6+8+10）R = 6M8n R = 2jAA1 = -,故当球半径223 43 427 :二为一时球的体积取大为 V=-nR =-冗父=.答案b . HYPERLINK l bookmark22 o Current Document 23382练习：.（2015年全国卷II第9题）已知A, B是球O的球面上两点，/AOB =90”,C为该球面上的动点，若三

7、棱锥O ABC 体积的最大值为36,则球O的表面积为SB = J5, AABC是边长为J3的正三角A. 36nB . 64nc. 144兀D. 256立. （2016年福建漳州市5月质检）三棱锥 S ABC中，SB_L平面ABC,形，则三棱锥S-ABC的外接球的表面积为（）C. 9二. （2014年湖南卷）一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（)C. 3ms.（2013年辽宁卷理10）已知三棱柱 ABC - A B1G的6个顶点都在球 O的球面上，若AB = 3,AC =4 , AB _L AC , AA =12 ,则球 O 的半径为(

8、A. 3_2B. 2,1013 C.2D, 37105. （2012年全国新课标卷第11题）已知三棱锥 S-ABC的所有顶点都在球 O的球面上，AABC是边长为1的正三角 形，SC为球O的直径，且SC = 2 ,则此棱锥的体积为B.C.在正三棱锥 P-ABC中,PA = PB = PC = s/3 ,侧棱PA与底面ABC所成的角为60,则该三棱锥外接球的体积为（）C. 4n.已知底面边长为1,侧棱长为 夜的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（32 二C. 2二. （2017年福建省质检）.空间四边形 ABCD的四个顶点都在同一球面上，E、F分别是 AB、CD的中点，且EF _LA

9、B,EF _LCD ,若AB =8,CD =EF =4,则该球的半径等于,65C.265 .2A.16.若三棱锥P -ABC的最长的棱PA=2,且各面均为直角三角形，则此三棱锥的外接球的体积是 . （ 2008年高考浙江卷理14）已知球O的面上四点A、B、C、D , DA 1平面ABC , AB .L BC ,DA=AB=BC =B 则球O的体积为/ACB = 1201. （2016年东北三省三校联考）三棱柱ABC-ABiG各顶点都在一个球面上，侧棱与底面垂直,CA =CB =2百，AA =4 ,则这个球的表面积为.在三柱 ABC AB1C1 中，侧棱 AA垂直底面，/ACB =90口，/BAC =301 BC =1,且三棱柱 ABC ABQ1的体积为3,则三棱柱 ABC-AB1G的外接球表面积为.在正三棱锥S-ABC中，M , N分别是棱SC、BC的中点，且AM 1 MN，若侧棱SA= 2/3 ,则正三棱锥S-ABC外接球的表面积是.在三 麴隹 A - BCD 中，AB =CD = 2, AD =BC = J5, AC =BD =