最小二乘法曲线拟合

1、最小二乘法曲线拟合在温室效应中研究的应用木兰兰(100401 班，学号：100401127)【中文摘要】通过对人类使用煤炭和石油以来，即从I860到2010年温度增加值 的分析，利用数字及计算定理中的最小二乘法进行曲线拟合，建立了地球平均值 温度增加与时间之间的函数关系，得出2080年左右地球平均温度将比2010年增 加 度左右，到时地球冰川将会融化，引起地球洪水泛滥，海平面上升，所以保 护我们的地球刻不容缓。【关键词】温室效应；最小二乘法；曲线拟合0前言自从煤炭和石油等矿物燃料应用以来，地球大气中co 2含量不断增加，使地 球的平均温度不断上升，从而引起诸如冰川融化、海平面上升等一系列严重的

2、环 境问题，导致了沙漠化加速、洪水泛滥等自然灾害的出现，这就是人们所公知的 温室效应。虽然说生物可以消除一部分co 2，但其浓度还是加速增加，地球的平 均温度也在加速上升，从1860年到2010年，地球的温度上升了度。(见表1)如果地球温度在2010年基础上继续上升的话，我们可以用最小二乘曲线拟合 求出若十年后地球的温度增长情况，让人类知道地球变暖的严峻形势。1算法原理即在集合e =Span( 0中1(1.1)(1.2)给定数据( fi)(i=1,2,3,.,m),为使逼近函数的构造简单，计算方便， 并有良好的逼近性质，可采用最佳平方逼近的做法， 中J中找一个函数S *(x) = Y a 叩(

3、x), (n(m)k =0其中误差是 5 i=s*(xi)-fi (i=1,2,3,.m) 使S*(x)满足(1.3)o(x 如= S*(x ) - f 2 = mi n(x )S(x ) - f 2 i ii ii i is (x )eQi =1i=1i=1w（x）沱是a,b上给定的权函数，上述求逼近函数S*（x）的方法就成为曲线拟合的最小二乘法。满足关系式（1.2）的函数S*（x）称为上述最小二乘问题的最小二乘解。曲线拟合的最小二乘解实际上与前面介绍的函数平方逼近相当，只不过它是对离散的 变量x1,x2,.xn来求解。为了求满足条件（1.2）的最小二乘解S *( x) = a 叩 + aq

4、+.aq就要求多元函数I(a , a ,.a )= o(x ) a % (x ) - f (x )2 01 nik k iii=1i=1的极小值点（a0*, a，a：）。由多元函数取极值的必要条件dI=0,( j = 0,1,.n) oaj可得 o (x ) a 甲(x ) - f (x )% (x ) = 0ik k ii j ii=1k=0若引入离散情况下函数的内积记号: (% ,R)= (X,冷kR (x,i =1(f,甲 j) = (七)f (x,)% j (七),i=1则得到法方程:（1.4）(甲，甲)a = f (f,甲),(j = 0,1,2,.,n)k j kjk =0它的未知

5、源是甲,%,.,平，它的系数是的克莱姆行列式，记作G。由于 线所以方程组（1.3）有唯一解 ak=a，（k = 0,1,2,.,n），从而得到由式（1.1）表达的最小二乘解S*（x），它是存在且唯一的。由上述讨论可以得到如下结论:对于给定的函数表s *(x) 二 匕兄(x)(i=0,1,2,.,m),在函数类=SpanW * 1中k =0n中存在唯一函数s *(x) = 匕气(x)使得关系式(1.3)成立。k =0最小二乘解的系数a *,a *,.,a *可以通过解方程得到。 TOC o 1-5 h z 01 n作为曲线拟合的一种常用情况，如果讨论的是代数多项式拟合，即取 HYPERLINK

6、l bookmark37 o Current Document 平，甲，,甲 = 1, x, X2,., xn 01 n那么相应的法方程(1.4)就是：&Sox.So ；2.So x n Soixin+1a 0a1寻f So xfi i iSo xn-i i:So xn+1.i iSo x 2n i i -a2a1- 3:f （1.5） TOC o 1-5 h z 其中3=3(x )并且将工简写成“ Ziii=1此时s*(x) = axk，称它为数据拟合多项式，上述拟合称为多项式拟合。因为任何连续 k =0函数至少在一个比较小的邻域内均可用多项式任意逼近，因此，在许多实际问题中，不论具体的函数

7、关系如何，都可以用适当的多项式做数据拟合。2算法实现1860年以来地球平均温度变化表(表1)年份18601880189019001906192019301940195019601970增加值0.000.010.020.030.040.060.080.100.130.180.24年份198019902011增加值0.320.500.782.1基本思路根据表一数据，从1860年末起，以年份增加值为x轴，温度增加值为y轴，做出两者之 间的曲线，并确定其关系。在此基础上应用最小二乘法对两者的相关曲线进行拟合，确定其 函数关系中的参数，即温度增长与年份增长之间的关系，并对其进行误差分析。2.2函数关系似

8、的确立1 8 6 4 2 0 安w置o.o.o.1860年以来地球平均温度变化表6090年份增加值由图像可知，温度的增长随年份增加接近于一条指数曲线，因而选择X = aeb , (a,b为待定 2-3函数关系线性化对 x = aebx 两边取对数的 In y = In a + bx，令 u = In y，A = In a，于是有 u = A + bx，这是一个线性模型，可用最小二乘法求解。取中=1，七=x,要求u = A + bx与(x ,u )01i i(i=1,2,3.14)做最小二乘拟合，由(1.4)得法方程:A = -2.155 b = 0.0175J14 A + 1056b = -30.1475 1056A +