三角形重心、外心、垂心、内心的向量表示及其性质

1、- -三角形“四心”向量形式的充要条件应用bIr1.o是ABC的重心oOA+OB+OC，0S,s,s,s若O是ABC的重心，则BOCAOCAOB3ABC故OA+OB+OC，0PG，L(PA+PB+PC)oG为ABC的重心.2.O是AABC的垂心oOAOB，OBOC，OCOASAOC若O是ABC（非直角二角形）的垂心，则SBOC卜SAOCS，tanA:tanB:tanCAOB故tanAOA+tanBOB+tanCOC，03.O是ABC的外心oIOA1=1OB1=1OCI(或OA2,OB2，OC2）若O是ABC的外心则SBOC：S/：saob,siSOCsiMOCsiAOB,sinM:sin2B:

2、“血故sin2AOA+sin2BOB+sin2COC，0ABACBA_垃CACB“4.O是内心ABC的充要条件是IABIAC，IBAIIBCI_ICAIICBIF丄fh引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记ABCCA的单位向量为ei，e2，e3，则刚才O是OA-（e+e），OB-（e+e），OC-（e+e），023，O是AABC内心的充要条件可以写成1312- -是ABC的内心，则ABC内心的充要条件也可以是aOA+bOB+cOC，0。若S:S:S，a:b:cBOCAOCAOBi1，审i，F，审i故aOA+bOB+cOC，0或sinAOA+sinBOB+sinCOC，0IABIPC+IBCIP

3、A+ICAIPB，0oP是ABC的内心;向量+_AC）（九丰0）所在直线过ABC的内心（是BAC的角平IABIIACI分线所在直线）；满足（一）将平面向量与二角形内心结合考查ABAC），入w【0,+）则P点的轨迹一定通过ABC的（）例1.I是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点Pop，oA+x（+IAB网（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心解析：因为售是向量AB的单位向量设AB与AC方向上的单位向量分别为e和e12OP-OAAP,则原式可化为AP=入（e,e）,由菱形的基本性质知AP平分BAC,那么在12ABC中，AP平分BAC，则知选B.（二）将平面向量与三角形垂心结合

4、考查“垂心定理”例2.只是厶ABC所在平面内任一点，HA-HBHB-HC=HC-HAo点只是厶ABC的垂心.*由HA-HBHB-HCoHB-（HC-HA）=0oHB-AC=0oHB丄AC,同理HC丄AB,HA丄BC故H是厶ABC的垂心.（反之亦然（证略）例3.（湖南）P是厶ABC所在平面上一点，若PA-pBPBPCPC-PA,则P是厶ABC的（D）A.外心B.内心C.重心D.垂心解析：由PAPBpBPC得PAPBpBPC0.即pB（PAPC）0,即pBcA0则PB丄CA,同理PA丄BC,PC丄AB所以P为ABC的垂心.故选D.（三）将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”例4.6是厶ABC所

5、在平面内一点，GA+GB+GC=0o点6是厶ABC的重心.证明作图如右，图中GB+GCGE连结BE和CE，则CE=GB，BE二GC。BGCE为平行四边形二D是BC的中点，AD为BC边上的中线.将GB+GCGE代入GA+GB+GC=0，得GA+EG=0nGAGE=2GD，故G是厶ABC的重心.（反之亦然（证略）例5.P是厶ABC所在平面内任一点.G是AABC的重心opg=3（pa+pB+pc）.TOC o 1-5 h z、_p-i_jjhI1HIiI1Hi卜*liJL证明PGPA+AGPB+BG=PC+CGn3PG=（AG+BG+CG）+（PA+PB+PC）TG是AABC的重心二GA+GB+GC

6、=0nAG+BG+CG=0，即3PGPA+PB+PC由此可得PGi（PA+PB+PC）（反之亦然（证略）例6若O为ABC内一点，OA,OB,OC=0，则O是ABC的（）A.内心B.外心C.垂心D.重心TTT呻解析：由OA,OB,OC0得OB,OC=OA，如图以OB、OC为相邻两边构作平行四边形，则T4IOBOC=OD,由平行四边形性质知OE=2OD,OA=2OE,同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选D。（四）将平面向量与三角形外心结合考查例7若O为tABC内一点，OA=OBOC,FO是AABC的（）A.内心B.外心C.垂心D.重心解析：由向量模的定义知O到AABC的三顶点距离相等。故O

7、是AABC的外心，选B。（五）将平面向量与三角形四心结合考查例8已知向量op，op，op满足条件op+op+op=0，Iop1=1op1=1opI=1，TOC o 1-5 h z123123123求证APPP是正三角形.（数学第一册（下），复习参考题五B组第6题）123证明由已知OP+OP=-OP，两边平方得OPOP=-，1231221同理OPOP=OPOP=-一，23312：IpPI=IpPI=IppI二方，从而APpp是正三角形.122331123反之，若点。是正三角形AP1P2P3的中心，则显然有OP1+OP；+OP；=0且1O讣1OP；1op3L即0是4ABC所在平面内一点，op+op

8、+op=0且IopI=IopI=IopI点0是正APPP的中心.123123123例9.在ABC中，已知Q、G、H分别是三角形的外心、重心、垂心。求证：Q、G、H三点共线，且QG：GH=1：2。【证明】：以A为原点，AB所在的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系。设A（0,0）、B（x,0）、C（x,y）,D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，则有:122TOC o 1-5 h zxxxyxy1,0）、E（一亠d）、F（22厂,*)AH=(x2y4)，F=(BC=(x一x,y)212AH丄BC（xxG（2.AHBC=x(x一x)yy=022124x(x一x)QF4丄AC221xxyQFAC=

9、x(-才)y耳-y)=0222223x(x一x)y32y2!,2.QH=(x-L,y-y)=(2x2一x1,-3x2(x2-x1)2243,QG=-L厶-y)=(2x2一Xi厶X2(X2一Xi)-乙)TOC o 1-5 h z3233丿323x(x-x)y12/2x-x3x(x-x)y、1,2x-x=(2,2212)=(2,63=3QH即QH=3QG,故Q、G、H三点共线，且QG：GH=1：2例E若0、H分别是ABC的外心和垂心.求证OH=OAOBOC-证明若厶ABC的垂心为H,外心为0,如图.连BO并延长交外接圆于D，连结AD,CD.二AD丄AB，CD丄BC又垂心为H，ah丄BC，CH丄AB

10、，.AHCD,CHAD,四边形AHCD为平行四边形，*LL.kr*hAH=DC=DOOC，故OH=OAAH=OAOBOC著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”一一外心、重心、垂心的位置关系：三角形的外心、重心、垂心三点共线“欧拉线”；三角形的重心在“欧拉线”上，且为外垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍。求证og=3而“欧拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题例11.设0、G、H分别是锐角ABC的外心、重心、垂心.证明按重心定理G是厶ABC的重心OG=3(oAoBOC)按垂心定理OH=oAoBoC由此可得og=1oh-3一、“重心”的向量风采【命

11、题1】G是AABC所在平面上的一点，若GAGBGC=0,则G是AABC的重心.如图(1).A【命题2】已知O是平面上一定点，AB,C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP=OA+入(ABAC),入w(0+8),则P的轨迹一定通过AABC的重心.【解析】/IBIA+AB,ICIA+AC,则由题意得(a+b+c)IA+bAB+cAC=0,- #- -【解析】由题意AP=(AB,AC),当e(0,+)时，由于(AB,AC)表示BC边上的中线所在直线的向量，所以动点P的轨迹一定通过AABC的重心，如图.二、“垂心”的向量风采T命题3】解析】P是AABC所在平面上一点，若PAPB=PBPC=PCPA，则

12、P是AABC的垂心.PC丄AB，PA丄BC.二P是ABC的垂心.如图.命题4】已知O是平面上一定点，AB,C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP=OA,ABACABcosBACcosC丿，e(0,+)，则动点P的轨迹一定通过AABC的垂心.T解析】由题意AP=ABcosBAC，由于ABACBC=0，ACcosC丿ABcosBACcosC丿由PAPB=PBPC，得PB.(PA-PC)二0，即PBCA=0，所以PB丄CA.同理可证【解析】/IBIA+AB,ICIA+AC,则由题意得(a+b+c)IA+bAB+cAC=0,- #- #-【解析】/IBIA+AB,ICIA+AC,则由题意得(a+b+

13、c)IA+bAB+cAC=0,- - #-ABBC,ACBCABcosBJAC二BC-CB帀所以AP表示垂直于BC的向量，即P点在过点A且cosJ垂直于BC的直线上，所以动点P的轨迹一定通过AABC的垂心，如图.三、“内心向量风采TaIA,bIB,cIC二0，则I是ABC的内心.图【命题-5】已知I为ABC所在平面上的一点，且AB二？，AC二b，BC二a.若bAB+cACAC-AB+AB-AC=ACTtTTt9AIa+b+cABACTTB与占C分别为aB和AC方向上的单位向量,AB|ACAiC平分线共线，即A1平分出C同理可证：BI平分ZABC，CT平分ZACB.从而I是AABC的内心，如图.

14、【命题6】已知O是平面上一定点，ABC是平面上不共线的三个点，动点P满足OPOA+入,、ABAC+IabIAC,九(0,+s)，则动点P的轨迹一定通过ABC的内心.【解析】由题意得Ap=入ABACiABi+AC,.当九(0,+)时，AP表示ABAC的平分线所在直线方向的向量，故动点P的轨迹一定通过AABC的内心，如图.TT一T四、“外心”的向量风采【命题7】已知O是AABC所在平面上一点，若OA2OB2=OC2，则O是AABC的外心.【解析】若OA2OB2OC2，则OA2OB2=OC2，/.OA=OB=OC，则O是AABC的夕卜心，女口图。【命题7】占知O是平邑上的-咅点二B,_C是平面上不共

15、线的三个点，动点P满足,、ABAC+ABcosBACcosC丿,九(0,+),则动点P的轨迹一定通过AABC的外心。- - #-【解析】由于OBOC2过BC的中点,当入,（0,+x）时,ABAC+ABcosBACcosC表示垂直于TOC o 1-5 h zBC的向量（注意：理由见二、4条解释。，所以P在BC垂直平分线上，动点*的轨迹一定通过ABC的外心，如图。TT补充练习已知A、B、C是平面上不共线的三点，0是三角形ABC的重心，动点P满足OP二1（-OA+-OB+2OC）,则点P定为三角形ABC的（B）322A.AB边中线的中点B.AB边中线的三等分点（非重心）C.重心D.AB边的中点b1I

16、I1B取AB边的中点M,则OA+OB二2OM，由OP二（OA+OB+2OC）可得rhh3223OP=3OM+2MC，二Mp=2MC，即点P为三角形中AB边上的中线的一个三等分点，且点P不过重心，故选B.3在同一个平面上有ABC及一点0满足关系式：OA2+BC2=OB2+CA2=OC2+AB2，则0为ABC的(D)A外心B内心C重心D垂心+12.已知ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足：PA+PB+PC=0,贝寸P为ABC的(C)A外心B内心C重心D垂心已知0是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点动/点P满足：TOC o 1-5 h zOP=OA+入（AB+AC），则P的轨迹一

17、定通过ABC的（C）A外心B内心C重心D垂心已知AABC,P为三角形所在平面上的动点，且动点P满足：PAPC+PAPB+PBPC=0，则P点为三角形的（D）A外心B内心C重心D垂心已知AABC,P为三角形所在平面上的一点，且点P满足：a-PA+b-PB+cPC=0，则P点t1为三角形的T+(B)A外心B内心C重心D垂心6.在三角形ABC中，动点P满足：CA2=CB2-2ABCP,则F点轨迹一定通ABC的:(B)A外心B内心C重心D垂心- - #-7.已知非零向量A!与就满足（+|aB|AE|A.三边均不相等的三角形B.直角三角形解析：非零向量与满足(竺*竺)=0,IABIIACI即角A的平分线

18、垂直于BC,.：AB二AC,又aSACAfiaC1小人“/、）BC=0且二石,则厶ABC为（）|CAB|ACC|2C.等腰非等边三角形D.等边三角形- #- #- - #-cosA=竺IABIIACIAC=1=2，哥,所以ABC为等边三角形，选D.T8.ABC的外接圆的圆心为0,两条边上的高的交点为H,OH=m（OAOBOC）,则实数m=1t+9点0是助80所在平面内的一点，满足OA，OB=OB，OC=OC，OA,则点0是ABC的（B）（A）三个内角的角平分线的交点（B）三条边的垂直平分线的交点（C）三条中线的交点（D）三条高的交点10.如图1,已知点G是ABC的重心，过G作直线与AB,AC两

19、边分别交于M,N两点，且AM=xAB,AN二yAC,则1-=3。xy证点G是ABC的重心，知GAGBGC=0,EAGTAB-AG)(AC-AG)二0,有AG=3(ABAC)。又M,N,G三点共线(A不在直线MN上）,TOC o 1-5 h z于是存在九，卩，使得AG二九AM+yAN(九卩二1),I*IL_LL有AG二九xAB卩yAC=1(ABAC),卩+y=11L得和1，于是得1+1=3。0，则厶ABC为锐角三角形，上述命题中正确的是A、B、C、D、4、5、例1、已知AABC中，有(、1-1-AB+竺BC=0和ABa，竺竺=1，试判断ABC的形状。ABAC练习1、已知AABC中，AB=a，BC=b，B是厶ABC中的最大角，若ab0,试判断ABC的形状。运用向量等式实数互化解与三角形有关的向量问题例2、已知是4ABC所在平面内的一点，满足OA2，PC2=OB2，AC2=OC2，AB2，则O是AABC的A、重心B、垂心C、外心运用向量等式图形化解与三角形有关的向量问题D、内心例3、已知卩是厶ABC所在平面内的一动点，且点P满足OP=OA+X+，九g(0,+J,问网则动点P定过AABC的A、重心