工程控制基础：5-3 频域：伯德图12

1、线性系统的频域分析 频率特性法（3）1 伯德图将系统的对数幅频特性、对数相频特性分别画在各自的坐标系中。1.对数幅频特性图： 纵坐标：幅值的对数20lg|G(j)|(dB），采用线性分度； 横坐标：角频率(rad/s),用频率的对数lg分度。 5.2.3 对数频率特性图（伯德图） 2 2.对数相频特性图 纵坐标：频率特性的相移() () ，采用线性分度； 横坐标：角频率(rad/s),用频率的对数lg分度。 半对数坐标 5.2.3 对数频率特性图（伯德图） 35.2.3 对数频率特性图（伯德图） 4 伯德图的优点:1.绘图方便. 幅值采用对数将乘除法转换为加减法,还可用渐近线来近似曲线的作图方

2、法,便于工程应用.2.分析方便. 实际控制系统多半是低通滤波器,低频段很重要,半对数坐标可扩展低频段,有利于系统的分析与设计.5.2.3 对数频率特性图（伯德图） 5系统的传递函数：其频率特性:5.2.3 对数频率特性图（伯德图） 6对数幅频特性7对数相频特性8 系统的对数幅频特性、相频特性分别是一些典型环节对数幅频特性、相频特性的代数和,只要将这些典型环节对数幅频特性、相频特性叠加,便可得到系统的对数幅频特性、相频特性。5.2.3 对数频率特性图（伯德图） 9 典型环节归纳为四类基本因子：常数增益K在原点的极点(或零点) (j)1实极点(或零点) (j+1)1复极点(或零点) (j/n )2

3、+2(j/n ) +115.2.3 对数频率特性图（伯德图） 10 1. 常数增益的伯德图 G(j)=K 对数幅频特性L()=20lgK相频特性()=0 对数幅频特性：为20lgK分贝，平行于横轴， K1时，20lgK0dB；K1时，20lgK0dB。相频特性：横轴重合， K是负值时,相角()= =-180 5.2.4 基本因子的伯德图 112.在原点的极点(或零点) (j)1的伯德图 积分环节当=1时当=10时 每增加10倍，L()则衰减20dB，记为：20dB/十倍频程，或-20dB/dec。或直接写成-20。 说明积分环节的对数幅频曲线是一条经过横轴上=1这一点，且斜率为-20dB/de

4、c的直线。12 相频特性()=-90与无关，是平行于横轴的直线。13若在原点有多重极点 (j)-v 14在原点的零点即纯微分环节 微分环节是积分环节的倒数，它们的曲线斜率和相位也正好相差一个负号。15若在原点有多重零点 (j)v 16 3.实极点(或零点) (j+1) 1的伯德图 实极点即惯性环节 其对数幅频特性 在 时（低频段）： 近似地认为，惯性环节在低频段的对数幅频特性是与横轴相重合的直线。 17 在 时（高频段）： 幅频特性： 是一条经过横轴 ，斜率为:20dB/dec 的直线。 综上所述：惯性环节的对数幅频特性可以用相交于（1/T，0）的两条渐近直线来近似表示： 当 时，是一条0分贝

5、的直线； 当 时，是一条斜率为-20dB/dec的直线 18 两条渐近线相交处的角频率 称为 转角角频率。用两条渐近线近似惯性环节的对数幅频特性,最大误差出现在转角角频率处,19惯性环节的相频特性当 时， ，当 时， ；当 时， 。 惯性环节具有低通特性，对低频输入能精确地复现，而对高频输入要衰减，且产生相位迟后。因此，它只能复现定常或缓慢变化的信号。 20实零点即一阶微分环节 一阶微分环节的频率特性（1+jT）与惯性环节的频率特性互为倒数关系，因此其对数幅频曲线、相频曲线惯性环节相比仅差一负号。即21 一阶微分环节高频渐近线的斜率是+20dB/dec，其相位变化范围由 0（=0）经 45至

6、90（=）224.复极点(或零点)(j/n)2+2(j/n)+11复极点即振荡环节令u=/n对数幅频特性对数相频特性低频段，即u1时 即高频渐近线是一条斜率为-40dB/dec的直线。当 时:说明 为二阶系统 (振荡环节) 的转角角频率。 24渐进线与实际曲线的误差与阻尼比有关，当0.707时必须考虑对L()的影响，对转角角频率=n附近的L()曲线进行修正。当频率接近 =n时，将产生谐振峰。阻尼比的大小决定了谐振峰值的幅值。25相角是和的函数。当 时， ；当 时，不管值的大小， 当 时， 。相频曲线对-90的弯曲点是斜对称的。 振荡环节的对数幅频特性在转折频率 附近产生谐振峰值 Mr可通过计算

7、得到26振荡环节的幅频 特性为其中 ：当出现谐振峰值时， 有最大值，即 有最小值。得 解得说明:r与 有关,当0.707时,没有谐振峰.27将 代入 ，求得 。 因此，在=r 处 具有最小值，亦即 具有最大值。将 代入幅频特性 中，得谐振峰值Mr为 28 谐振频率r及谐振峰值Mr都与有关。越小, r越接近n, Mr将越大。当0.707时，不存在谐振峰值，幅频特性单调衰减。当=0.707时，r=0，Mr=1。当0，Mr1。当0 时，rn，Mr。29。30 复零点即二阶微分环节 频率特性 对数幅频特性 相频特性 即二阶微分环节的幅频和相频特性分别与振荡环节的相应特性是关于横轴对称。此时，其对数幅频

8、特性的高频渐近线的斜率为 +40dB/dec，而相频由 0（对应=0）经 90（= n=1/T） ，最后趋于 180（）。 310.20.30.732 5延迟环节 对数幅频特性 相频特性 33 绘制伯德图的基本步骤： 把系统的频率特性改写成各典型环节的乘积形式，画出每一个环节的对数幅频和相频曲线，然后进行同频率叠加，即得到该系统的伯德图。 例： 常数增益K=10,原点一个极点，实极点1=1/T=105.2.5 控制系统的伯德图 3435例5-4 绘制下列系统的伯德图解：系统的频率特性系统包含的基本因子 常数增益K=25 一个积分因子1/j 两个实极点因子1=4, 2=0.1 一个实零点因子3=

9、136(1)L()的低频段由常数增益和积分因子的对数幅频特性组成.常数增益:L()=20lg25=28dB积分因子: L()=-20lg,过(1,0),斜率-20的直线叠加后为:过(1,28),斜率-20的直线37(2)在实零点(或极点)基本因子的转角角频率处, L()的斜率在原基础上增加(或减小)20dB/dec,而在复零点(或极点)的转角角频率处, L()的斜率在原基础上增加(或减小)40dB/dec.两个实极点的转角角频率0.1和4,一个实零点的转角角频率138(3)画出对数幅频特性L()的曲线39(4)相频特性曲线是所有基本因子相频特性曲线的代数和积分因子: ()=-90(10j+1)

10、-1, (j+1), (0.25j+1)-1,的相频特性曲线分别是1,2,3四条曲线叠加后得到系统的相频特性曲线40四条曲线叠加后的曲线,加粗实线表示41例5-5 绘制下列系统的对数幅频特性曲线解：系统包含的基本因子 常数增益K=10 一个积分因子1/j 一个实极点因子1=1 一个实零点因子2=2 复极点n=10,=0.25复极点=0.25,有谐振峰值,需要对曲线修正42画出对数幅频特性L()的曲线43系统中两个常用术语(1)增益剪切角频率c: 系统对数幅频特性穿越0dB的角频率,即 L()=0 时的角频率;(2)相位剪切角频率g:系统的相频特性曲线穿越-180的角频率,即()= -180时的

11、角频率;445.2.6 最小相位系统和非最小相位系统 定义： 在系统的传递函数中，没有位于S右半平面的零点和极点，且没有纯时间延迟环节的系统为最小相位系统，反之为非最小相位系统。 从伯德图上看，最小相位系统为具有相同幅频特性的许多系统中其相移范围为最小的稳定系统。 455.2.6 最小相位系统和非最小相位系统 最小相位系统的特征： (1) 在nm且幅频特性相同的情况下，最小相位系统的相角变化范围最小。 这里n和m分别表示传递函数分母和分子多项式的阶次。46例：两个系统的开环传递函数分别为（T1T2）它们的对数幅频和相频特性为47显然,两个系统的幅频特性一样，但相频特性不同。由图可见， 的变化范围要比 大得多。 最小相位系统 非最小相位系统48 (2)当=时，其相角等于-90( n-m ) ，对数幅频特性曲线的斜率为20(nm)dB/dec。 可用这一特性来判别该系统是否为最小相位系统。 49 (3)对数幅频特性与相频特