中考专题8三角形一答案

1、专题：三角形（一）一、知识梳理二、方法1、三角形的内角和 180，n 边形的内角和是（n-2）1802、判定三角形全等的基本思路：3、全等三角形的图形归纳起来有以下几种典型形式：（1）平移全等型（2）对称全等型（3）旋转全等型4、添加辅助线的方法（1）倍长中线（或类中：若遇到三角形的中线或者类中线（与中点有关的线段），通常考虑倍长中线或者类中线（与中点有关的线段），构造全等三角形。（2）截长补短：若遇到线段的和、差、倍、分关系时，通常考虑截长补短，构造全等三角形。截长：在较长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；补短：将一条较短线段延长，延长部分等于另一条较短线段，然后

2、证明新线段等于较长线段；或延长一条较短线段等于较长线段，然后证明延长部分等于另一条较短线段。（3）与角平分线有关的辅助线模型：三、考点突破小专题:三角形初步考点 1、三角形的相关概念及分类例 1解：A、知道两个角，可以计算出第三个角的度数，因此可以判断出三角形类型；B、露出的角是钝角，因此是钝角三角形；C、露出的角是锐角，其他两角都不知道，因此不能判断出三角形类型；D、露出的角是钝角，因此是钝角三角形；故选：C变式 1、解：三角形按角分类可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，故选：A变式 2、解：|mn|+（np）2=0，mn=0，np=0，m=n，n=p，m=n=p，三角形ABC 为等

3、边三角形故选 B例 2、解：（1）三角形按边分类可分为不等边三角形、等腰三角形，故命题错误；（2）三角形两边之和一定大于第三边，故命题错误；（3）正确；（4）正确故选 B变式 1、解：三角形根据边分类，故选：D考点 2、三角形的三边关系例 1、解：A、3+48，故以这三根木棒不可以三角形，不符合题意；B、8+7=15，故以这三根木棒不能三角形，不符合题意；C、5+511，故以这三根木棒不能三角形，不符合题意；D、12+1320，故以这三根木棒能三角形，符合题意故选D变式 1、解：|a4|+=0，a4=0，a=4；b2=0，b=2；则 42c4+2，2c6，5 符合条件；故选A变式 2、解：当

4、A，B，C 三个小球共线时，则 BC=2 或 4；当 A，B，C 三个小球不共线时，则 2BC4则 B 球和 C 球可能相距 2 米BC4 米如 3 等（不惟一只需满足 2 米距离4 米）变式 3、解：如图，延长 AD 到 E，使 DE=AD，AD 是 BC 边上的中线，BD=CD，在ABD 和ECD 中，ABDECD（SAS），CE=AB，AB=5，AC=3，53AE5+3，即 2AE8，1AD4故为：1AD4例 2、解：已知 4 条四边长为 3、4、5、7；选 3+4、5、7 作为三角形，则三边长为 7、5、7，能距离为 7；三角形，此时两个螺丝间的最长选 5+4、7、3 作为三角形，则三

5、边长为 9、7、3，能距离为 9；三角形，此时两个螺丝间的最大选 5+7、3、4 作为三角形，则三边长为 12、4、3；4+312，不能不成立；三角形，此种情况选 7+3、5、4 作为三角形，则三边长为 10、5、4；而 5+410，不能情况不成立；三角形，此种综上所述，任两螺丝的距离之最大值为 9变式 1、解：若 a1=1 厘米，则后边的一个一定大于或等于前边的两个的和，则一定有：a2=2，a3=3，a4=5，a5=8，a6=13，a7=21，故选 B例 3、解：根据三角形的两边之和大于第三边以及三角形的周长小于 13，则其中的任何一边过 5；所有的情况有：1、1、1；1、2、2；1、3、3

6、；1、4、4；1、5、5；2、2、2；2、2、3；2、3、3；2、3、4；2、4、4；2、4、5；2、5、5；3、3、3；3、3、4；3、3、5；3、4、4；3、4、5；4、4、4，再根据两边之差小于第三边，则这样的三角形共有 3，4，2；4，5，2；3，4，5 三个故选 B变式 1、解：在ABC 中，不妨设 abc，a+bc，a+b+c2c，即 602c，c30，ca 且cb，2ca+b，3ca+b+c，即 3c60，c20，最长边c 的取值范围为：20c30考点 3、多边形三角形的内角和与外角和例 1、解：设多边形的边数为 n，根据题意得（n2）180=360，解得 n=4故这个多边形是四

7、边形故选 B变式 1、解：设内角和为 1080的多边形的边数是 n，则（n2）180=1080，解得：n=8则原多边形的边数为 7 或 8 或 9故选：D例 2、解：设此多边形为 n 边形，根据题意得：180（n2）=540，解得：n=5，故这个正多边形的每一个外角等于：=72故选 C变式 1、解：外角是：180150=30，36030=12则这个正多边形是正十二边形故选：C例 3、解：ADF=100，EDF=30，MDB=180ADFEDF=18010030=50，BMD=180BMDB=1804550=85故为：85变式 1、解：，作出入射光线的法线，根据“入射角等于反射角”可知1=3，2

8、=4，1=2，AOB=120，1=2=（180120）2=30故为：30变式 2、解：根据三角板角度的特殊性可知AEB=45，B=60， 是BDE 的外角，=AEB+B=45+60=105故为：105考点 4、三角形的角平分线例 1、解：因为 OB、OC 是ABC、ACB 的角平分线，所以ABO=CBO，ACO=BCO，所以ABO+ACO=CBO+BCO=180120=60，所以ABC+ACB=602=120，于是A=180120=60故选（A）变式 1、解：在ABC 中，A=，ABC+ACB=180，O2B 和O2C 分别是B、C 的三等分线，O2BC+O2CB=（ABC+ACB）=（180

9、）=120；BO2C=180（O2BC+O2CB）=180（120）=60+；在ABC 中，A=，ABC+ACB=180，On1B 和 On1C 分别是B、C 的 n 等分线，On1BC+On1CB=（ABC+ACB）=（180）=BOn 1C=180（On 1BC+On 1CB）=180（）=+故为：60+；+例 2、解：由三角形的外角性质得，ACD=A+ABC，A1CD=A1+A1BC，ABC 的平分线与ACD 的平分线交于点 A1，A1BC=ABC，A1CD=ACD，A1+A1BC=（A+ABC）=A+A1BC，A1=A，同理A2=A1=60=15，故为 15变式 1、解：（1）ABC

10、中，BAC=50，ABC+ACB=130，点 I 是ABC，ACB 的角平分线的交点，IBC+ICB=65，IBC 中，BIC=18065=115；（2）ABC 中，BAC=50，ABC+ACB=130，ABC，ACB 的外角之和=360130=230，点 D 是ABC，ACB 的外角平分线的交点，DBC+DCB=115，DBC 中，BDC=180115=65；（3）BEC=BACDCE 是BCE 的外角，E=DCECBE，点 E 是ABC，ACG 的平分线的交点，DCE=ACD，CBE=ABC，E=ACD ABC=（ACDABC）=A，即BEC=BAC；（4）CEAB，A=ACE=50，CE

11、 平分ACD，ACD=100，ACB=180100=80例 3、解：（1）A=45，BD 是高，ABD 中，ABD=9045=45，A=45，C=25，ABC=110，又BE 是角平分线，ABE=110=55，BEC 是ABE 的外角，BEC=A+ABE=45+55=100；（2）DBE=（AC）理由：BD 是高，ABD 中，ABD=90A，BE 是角平分线，ABE=ABC=（180AC），DBE=ABEABD=（180AC）（90A）=90 A C90+A=A C=（AC）变式 1、解：DFBC，EFAB，四边形 BDFE 是平行四边形，B=DFE，设B=DFE=，则FEC=，EG 平分FE

12、C，GEC=，BEG=180，EH 平分BEG，HEG=（180），HEF 中，HEC+EHC+C=180， （180）+40+C=180，又DFEC=130，C=130，由+，=144，B 的度数为 144故为：144小专题：全等三角形与特殊三角形考点 1、全等三角形的性质与判定例 1、解：RtABCRtDBF，ACB=DFB=90，BC=BF，BD=BA，CD=AF，在DGC 和AGF 中，DGCAGF，GC=GF，又ACB=DFB=90，CBG=FBG，GBF=（9028）2=31变式 1、解：（1）ABCDEB，DE=8，BC=5，AB=DE=8，BE=BC=5，AE=ABBE=85=

13、3，故为：3；（2）ABCDEBA=D=35，DBE=C=60，A+ABC+C=180，ABC=180AC=85，DBC=ABCDBE=8560=25；AEF 是DBE 的外角，AEF=D+DBE=35+60=95，AFD 是AEF 的外角，AFD=A+AEF=35+95=130变式 2、解：（1）ABC 为直角三角形ABCCDE，AC=CE=10，又AB=6，BC=8，AB2+BC2=100=AC2，ABC 为直角三角形；（2）ACE 是等腰直角三角形ABC 为直角三角形，ACB+BAC=90，又ABCCDE，BAC=DCE，ACB+DCE=90，ACE=18090=90，又AC=CE，AC

14、E 是等腰直角三角形例 2、证明：BDAC 于点D，CEAB 于点E，ADB=AEC=90，在ADB 和AEC 中，ADBAEC（ASA）AB=AC，又AD=AE，BE=CD变式 1、证明：CEDF，ACE=D，在ACE 和FDB 中，ACEFDB（SAS），AE=FB例 3、证明：ABC、CDE 均为等腰直角三角形，ACB=DCE=90，CE=CD，BC=AC，ACBACE=DCEACE，ECB=DCA，在CDA 与CEB 中，CDACEB变式 1、证明：1=2，ACB=DCE，在ABC 和DEC 中，ABCDEC（SAS）变式 2、证明：BAE=BCE=90，B+AEC=180，而DEC+

15、AEC=180，B=DEC，在ABC 和DEC 中，ABCDEC（SAS）例 4、证明：ADCE，BECE，ADC=E=90，ACB=90，BCE+ACD=90，B+BCE=90，B=ACD，在BEC 和CDA 中，ACDCBE（AAS）变式 1、证明：ADBC，ADB=DBCCEBD，BEC=90A=90，A=BECBD=BC，ABDBCEAD=BE变式 2、解：CE=DE，CEDE，理由如下：ACAB，DBAB，AC=BE，AE=BD，CAEEBDCEA=DD+DEB=90，CEA+DEB=90即线段 CE 与DE 的大小与位置关系为相等且垂直变式 3、（1）证明：BDDE，CEDE，AD

16、B=AEC=90，在 RtABD 和 RtACE 中，RtABDRtCAEDAB=ECA，DBA=ACEDAB+DBA=90，EAC+ACE=90，BAD+CAE=90BAC=180（BAD+CAE）=90ABAC（2）ABAC理由如下：同（1）一样可证得 RtABDRtACEDAB=ECA，DBA=EAC，CAE+ECA=90，CAE+BAD=90，即BAC=90，ABAC考点 2、三角形的角平分线、高、中线例 1、解：由题意得AP 是BAC 的平分线，过点D 作 DEAB 于 E，又C=90，DE=CD，ABD 的面积=ABDE=154=30故选 B变式 1、解：作 PEOA 于E，AOP

17、=BOP，PDOB，PEOA，PE=PD（角平分线上的点到角两边的距离相等），BOP=AOP=15，AOB=30，PCOB，ACP=AOB=30，在 RtPCE 中，PE=PC=4=2（在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半），PD=PE=2，故是：2例 2、解：P 是AOB 角平分线上的一点，AOB=60，AOP=AOB=30，PDOA，M 是OP 的中点，DM=4cm，OP=2OM=8，PD=OP=4，点 C 是 OB 上一个动点，PC 的最小值为 P 到OB 距离，PC 的最小值=PD=4故选 C例 3、证明：在 RtPFD 和 RtPGE 中，RtPFDRtPGE（HL），P

18、D=PE，P 是 OC 上一点，PDOOB，OC 是AOB 的平分线变式 1、证明：如图，过点 P 作 PEBA 于 E，1=2，PFBC 于 F，PE=PF，PEA=PFB=90，在 RtPEA 与 RtPFC 中，RtPEARtPFC（HL），PAE=PCB，BAP+PAE=180，PCB+BAP=180变式 2、证明：（1）过 P 作 PTBC 于 T，PSAC 于 S，PQBA 于 Q，如图，在ABC 中，ABC 的平分线与ACB 的外角的平分线相交于点 P，PQ=PT，PS=PT，PQ=PS，AP 平分DAC，即 PA 平分BAC 的外角CAM；（2）PA 平分BAC 的外角CAM，

19、DAE=CAE，CEAP，AED=AEC=90，在AED 和AEC 中AEDAEC，CE=ED例 4、（1）解：AB 的垂直平分线 MN 交 AB 于点 D，AE=BE，BCE 的周长=BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC，AC=15cm，BC=2515=10cm；（2）证明：A=36，AB=AC，C=（180A）=（18036）=72，AB 的垂直平分线 MN 交AB 于点D，AE=BE，ABE=A，由三角形的外角性质得，BEC=A+ABE=36+36=72，BEC=C，BC=BE变式 1、解：ACB=60，B=90，A=30，DE 是斜边 AC 的中垂线，DA=DC，ACD=A=

20、30，DCB=30，BC=BD=2，AC=2BC=4变式 2、解：（1）DF、EG 分别是线段 AB、AC 的垂直平分线，AD=BD，AE=CE，AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC，ADE 的周长为 6cm，即AD+DE+AE=6cm，BC=6cm；（2）AB 边的垂直平分线 l1 交 BC 于 D，AC 边的垂直平分线 l2 交 BC 于 E，OA=OC=OB，OBC 的周长为 16cm，即OC+OB+BC=16，OC+OB=166=10，OC=5，OA=OC=OB=5例 5、（1）证明：在CAD 中，M、N 分别是 AC、CD 的中点，MNAD，MN=AD，在 RTABC 中，M 是

21、AC 中点，BM=AC，AC=AD，MN=BM（2）解：BAD=60，AC 平分BAD，BAC=DAC=30，由（1）可知，BM=AC=AM=MC，BMC=BAM+ABM=2BAM=60，MNAD，NMC=DAC=30，BMN=BMC+NMC=90，BN2=BM2+MN2，由（1）可知 MN=BM=AC=1，BN=变式 1、（1）证明：E、F 分别是 BC、AC 的中点，FE=AB，F 是 AC 的中点，ADC=90，FD=AC，AB=AC，FE=FD；（2）解：E、F 分别是 BC、AC 的中点，FEAB，EFC=BAC=24，F 是 AC 的中点，ADC=90，FD=AFADF=DAF=2

22、4，DFC=48，EFD=72，FE=FD，FED=EDF=54例 6、证明：D、E 分别是边 AB、AC 的中点，DEBC，DE=BC，CF=BC，DE=CF，四边形DEFC 是平行四边形，CD=EF变式 1、解：（1）在ABC 中，D、E 分别为AB、AC 的中点，DE 为ABC 的中位线，DE=BC，CF=BC，DE=CF（2）AC=BC，AD=BD，CDAB，BC=4，BD=2，CD=2，DECF，DE=CF，四边形DEFC 是平行四边形，EF=CD=2（3）过点D 作 DHBC 于HDHC=90，DCB=30，DH=DC=，DE=CF=2，S 四边形 DEFC=CFDH=2=2例 7

23、、证明：（1）DA 平分BAC，BAD=CAD，ADEM，BAD=AEF，CAD=AFE，AEF=AFE，AE=AF（2）作 CGEM，交 BA 的延长线于 GEFCG，G=AEF，ACG=AFE，AEF=AFE，G=ACG，AG=AC，BM=CMEMCG，BE=EG，BE=BG=（BA+AG）=（AB+AC）变式 1、解：在四边形 ABCD 中，M、N、P 分别是 AD、BC、BD 的中点，PN，PM 分别是CDB 与DAB 的中位线，PM=AB，PN=DC，PMAB，PNDC，AB=CD，PM=PN，PMN 是等腰三角形，PMAB，PNDC，MPD=ABD=20，BPN=BDC=70，MP

24、N=MPD+NPD=20+（18070）=130，PMN=25变式 2、（1）证明：如图，连接 BD，E、F、G、H 分别为四边形ABCD 四边之中点，EH 是ABD 的中位线，FG 是BCD 的中位线，EHBD 且 EH=BD，FGBD 且 FG=BD，EHFG 且 EH=FG，四边形 EFGH 为平行四边形；（2）解：连接 AC，同理EFAC 且 EF=AC，所以，AC=BD 时，四边形 EFGH 为菱形；ACBD 时，四边形EFGH 为矩形；AC=BD 且ACBD 时，四边形EFGH 为正方形故为：AC=BD；ACBD；AC=BD 且 ACBD考点 3、等腰三角形的性质例 1、解：当 3

25、cm 是等腰三角形的腰时，底边长=1232=6cm，3+3=6，不能三角形，此种情况不存在；当 3cm 是等腰三角形的底边时，腰长=4.5cm底为 3cm，故选 A变式 1、解：设腰长为 x，则底边长为 102x，依题意得：，解得x5故选 C变式 2、解：当腰是 5cm，底边是 8cm 时，能三角形，则其周长=5+5+8=18cm；当底边是 5cm，腰长是 8cm 时，能三角形，则其周长=5+8+8=21cm故选 D例 2、解：AB=AC，ABC=72，ABC=ACB=72，A=36，BDAC，ABD=9036=54故选：C变式 1、解：此题要分情况考虑：40是它的顶角；40是它的底角，则顶角

26、是 180402=100所以这个等腰三角形的顶角为 40或 100故选 C变式 2、解：A1A2=AA11=A2A1A3=2，2=A2A4A3=+2=3，3=A2A4A3+=4，由题意得：，1822.5例 4、解：延长 ED 交 BC 于 M，延长 AD 交 BC 于 N，作 DFBC 于 F，AB=AC，AD 平分BAC，ANBC，EBC=E=60，BME=60，BEM 为等边三角形，BE=10cm，DE=2cm，DM=8cm，ANBC，EMB=60，NDM=30，NM=DM=4cm，BN=104=6cm，BC=2BN=12cm，故为：12变式 1、解：（1）如图 1，画法：过点 P 作OP

27、 的垂线，分别交OA、OB 于点 C、D，则OCD 是以 CD 为底边的等腰三角形；（2）如图 2，画法：作AOB 的角平分线，过点OA、OB 于点 C、D，P作角平分线的垂线，分别交角的两边则OCD 是以 CD 为底边的等腰三角形例 6、解：当 D 为 BC 的中点时，DE=DF理由：AD 为等腰三角形底边上的中线，AD 平分BAC，又DEAB，DFAC，DE=DF变式 1、解：（1）DFAC，BGAC，DFBG，D 是 BC 的中点，DF=BG=连接 AD，DEAB，DFAC，DE=DF=DE+DF=DE+DF=BG（2）延长 FD，使 FM=BG，DFAC，BGAC，四边形 BMFG 是

28、矩形，BG=MF，EDB+ABD=90，FDC+C=90，ABC=C，EDB=FDC，FDC=BDM，EDB=BDMBED=BMD，BD=BD，EBDMBD，ED=MDBG=DE+DF（3）BG=DEDF例 7、解、（1）证明：如图 1 中，DE 是线段 AC 的垂直平分线，EA=EC，即EAC 是等腰三角形，EAC=C，AEB=EAC+C=2C，B=2C，AEB=B，即EAB 是等腰三角形，AE 是ABC 是一条特异线（2）解：如图 2 中，当 BD 是特异线时，如果 AB=BD=DC，则ABC=ABD+DBC=120=15=135，如果 AD=AC，DB=DC，则ABC=ABD+DBC=7

29、5+37.5=112.5，如果 AD=DB，DC=DB，则 ABC=ABD+DBC=30+60=90（不合题意舍弃）如图 3 中，当 AD 是特异线时，AB=BD，AD=DC，则ABC=1802020=140当 CD 为特异线时，不合题意符合条件的ABC 的度数为 135或 112.5或 140考点 4、等边三角形性质例 1、解：ABC 为等边三角形，且AD=BE，AF=BD，A=B=60，在ADF 与BED 中，ADFBED（SAS）同理证得ADFCFE（SAS），ADFBEDCFE（SAS），DF=ED=EF，DEF 是一个等边三角形故是：等边三角形变式 1、解：连接 OD，PO=PD，O

30、P=DP=OD，DPO=60，等边ABC，A=B=60，AC=AB=9，OPA=PDB=DAP60，OPAPDB，AO=3，A=3，AP=6故是：6例 2、解：过 P 作 PFBC 交 AC 于 FPFBC，ABC 是等边三角形，PFD=QCD，APF 是等边三角形，AP=PF=AF，PEAC，AE=EF，AP=PF，AP=CQ，PF=CQ在PFD 和QCD 中，PFDQCD（AAS），FD=CD，AE=EF，EF+FD=AE+CD，AE+CD=DE=AC，AC=1，DE=故为： 变式 1、解：在等边ABC 中，AB=AC，BAC=B=60，在ABE 和CAD 中，ABECAD（SAS），AE

31、=CD，故正确；ACD=BAE，CAF+ACD=CAF+BCE=BAC=60，在ACF 中，AFC=180（CAF+ACD）=18060=120，故正确；FADBAC，BAC=60，FAD60，ADF 不是正三角形，故错误；AFG=180AFC=180120=60，A，FAG=9060=30，FG=AF，=，故正确，综上所述，正确的有故为：例 3、证明：ABC 为等边三角形，B=ACB=60，AB=AC，即ACD=120，CE 平分ACD，ACE=DCE=60，在ABD 和ACE 中，ABDAAS），AD=AE，BAD=CAE，又BAC=60，DAE=60，ADE 为等边三角形变式 1、（1）证明：ABC 是等边三角形，B=C=60，DEBC，ADB=B=60，AED=C=60，A