抽象代数李尚志

1、 走下神坛(shn tn)的 抽象代数 李尚志(shn zh) 北京航空航天大学 共三十三页抽象代数课程(kchng)教什么?考什么?微积分,线性代数(xin xn di sh)有计算,抽象代数没有?既然叫抽象, 就是没有例子?有证明。太难,课时不够, 删去!还剩什么？死记硬背！九阴真经: 努尔七八,哈瓜儿,宁血契卡,混花察察,学根许八涂,米尔米尔小学程度就可以背诵和考试! 谁是山寨版 ?2022/7/27共三十三页 抽象代数一定要从公理(gngl)开始?公理是什么? 许多不同东西的共同点. 公理化方法: 描述性(非构造性)定义样板: 几何(欧几里德) - 代数(抽象代数)群,环,域的公理内容

2、: 1. 对加、减、乘、除的封闭性2. 解释什么是加、减、乘、除加法：向量空间前4条公理 = 交换群的运算乘法：结合律(群的公理) 对加法的分配律(环的公理)Prof.zhang 教学法:通过(tnggu)有招学无招无招胜有招:案例公理案例2022/7/27共三十三页 案例1. 三阶(sn ji)幻方以一变多 旋转(xunzhun) 轴对称 共有多少个？按2的位置分4组.每组2个.24=8 正方形的对称群2022/7/27共三十三页 正多边形(zhngdubinxng)与正多面体 正三角形的对称群三角形数谜一变多23=6S3正方体的旋转(xunzhun)群38个顶点=2446个面=242022

3、/7/27共三十三页 公理化: 群,子群(z qn),陪集分解以正方体旋转群G为例. G按6个面1,6分组, 第 i 组 Gi =g|g1=ig,a在同一组 g1=a1 a-1g1=1a-1g G1gaG1. Gi= aG1. 由a 可逆得: h1h 2 ah1ah2|Gi |=|G1|, i=1,6. |G|=6|G1|. |G1|整除|G|.推广: G 对除法封闭总可计算a-1g “同组” 等价(dngji)性=G1含1, 对求逆,乘法封闭群G分为子群G1的陪集aG1, |G1|整除|G|.2022/7/27共三十三页 案例2. 复数的几何与矩阵(j zhn)模型 i2 = -1 : 左转

4、两番朝后方平面(pngmin)向量v(-1)v,后转(180o)记viv为左转(90o).则i2 = -1.域同构: 复数平面线性变换矩阵i 左转变换i a+bi a1+bi 2022/7/27共三十三页 案例(n l)3. 平面旋转群 R 旋转(xunzhun)a :v(cosa)v+(sina)(iv)(cosa +isina)n = cosna +isinna (棣美弗公式)f: RR, a eia = cosa +isinaf(a+b) = f(a)f(b) : (群同态)Kerf=f-1(1)=2pZ. R/2pZR (群同构)2022/7/27共三十三页 案例(n l)4. 单位根

5、群 单位根: 1的 n 次方根(fnggn). xn =1的根. f(a)n =1 na = 2kp a=2kp/n1,w,w2,wn-1 ,w = cos(2p/n) +isin(2p/n)n阶循环群 w =1,w,w2,wn-1f:Z w , k wk , f(k+r) = f(k)f(r)Ker f = nZZn=Z/nZ w 2022/7/27共三十三页 案例(n l)5. xn -1 的因式分解 复数(fsh)范围: xn -1=(x-1)(x-w)(x-wn-1)有理数范围: 以x15 -1为例 1,w,w2,w14在乘法群中的阶d|15同阶d=1,3,5,15复因子相乘得Fd(x

6、)F1(x)=x-1. F3(x)=(x3-1)/(x-1)=x2+x+1. F5(x)=(x5-1)/(x-1)=x4+x3+x2+x+1F15(x)=(x15-1)/(F1(x)F3(x)F5(x)分圆多项式 Fd(x)2022/7/27共三十三页 有限(yuxin)域: 5最 PK 3最 1 抽象代数最后一课2 最难3 最不应当考 1 最有用: 信息安全大显身手2 最有味: 抽象代数味道3 最易懂: 小学生可以(ky)懂!4 最先讲: 可在第一课第一分钟!5 最应当考:首选第一题!2022/7/27共三十三页案例(n l)6.三阶幻方全推导各行和= (1+9)/3=15中心(zhngxn

7、)=(15445)/(4 1)=5奇偶按角边: 第一行和=第一列和 : a1+a2+a3 a1+b1+c1a2 b1边=奇: a1+a2+a3 1 a2 1 边=奇, 角=偶2022/7/27共三十三页案例(n l)7. 奇与偶的算术 -二元域 曾肯成问题: 随机整数行列式等于奇数(j sh)与偶数的概率. 奇偶数加减乘公式:偶偶=偶,偶奇=奇,奇奇=偶; 整偶=偶,奇奇=奇.用0,1表示: 00=0,01=1,11=0; a0=0,11=1.二元域 Z2=0,1.注意1+1=0,a-b=a+b.2022/7/27共三十三页D=ad-bc为奇数(j sh)的概率情况1. ad=1,bc=0 a

8、=d=1, (b,c)=(0,0),(0,1),(1,0)情况2. ad=0,bc=1 b=c=1, (a,d)=(0,0),(0,1),(1,0)共6种可能,概率=6/16=3/8D为偶数的概率=1-3/8=5/8 Z2上的2阶行列式2022/7/27共三十三页GL(2,2):Z2上2维空间V共3个非零向量(xingling)v1(1,0),v2(0,1),v3(1,1)任何两个线性无关每个置换都是可逆线性变换上述矩阵右乘分别得(1),(23),(12), (123),(13),(132).GL(2,2) S3 Z2上可逆矩阵(j zhn)群2022/7/27共三十三页数域上的线性代数定理:

9、detA=1A可逆行线性无关茅台换矿泉:也适合于二元域 Z2第1行:A10, 2n-1个选择第2行:A2 lA1, 2n-2个选择第k+1行:Ak+1 l1A1+lkAk, 2n-2k个选择共有(n yu) (2n-1)(2n-22)(2n-2n-1)个概率=(1-1/2n)(1-1/2n-1)(1-1/2) Z2 上n阶行列式2022/7/27共三十三页 案例分析(fnx)：“假零”性质 ab,ab的奇偶性只与a,b奇偶性有关:ab =(r+偶)(s+偶) (结合,交换(jiohun)） =(r s)+ (偶偶)= (r s)+ 偶ab =(r+偶)(s+偶) （分配) =rs+(r偶+偶s

10、+偶偶)=rs+偶“假零”性质: O1.偶偶=偶 O2.整偶=偶真零性质: 00=0,数0=0只考虑奇偶性:可以将偶数当作0. 2022/7/27共三十三页 公理化：环, 理想(lxing), 商环 环 D：对加、减、乘封闭加、减、乘的合法性条件：加法(jif):结合律,交换律,零,负元减法:a-b=a+(-b),(a-b)+b=a. 乘法:结合律,对加法的分配律 理想Q:D的子集,满足“假零”性质O1,O2记a-bQ为 ab (mod Q),可按等式计算商环: D/Q =同余类集合 a=a+ Q,定义加,减,乘:ab=ab, ab=ab. 2022/7/27共三十三页 案例(n l)8. Z

11、n -单表密码Zn =Z/nZ=r+nZ| r=0,1,n-1.加法密码(m m): Z26: f(x) = x+b. 仿射密码: f(x)=ax+b, a可逆. 可逆元与反函数.例:y=3x+5, 93=27=1, 9=3-1,x=9(y-5). 可逆条件: (a,n)=1, 存在 au+nq=1, au=1, u=a-1. y=ax+b x=a-1(y-b) Zn中可逆元组成乘法群 Zn*2022/7/27共三十三页 案例(n l)9.p元域Zp上可逆阵素数p: Zp* = Zp 0. Zp 是域. Zp 上的n阶可逆方阵个数|GL(n,p)|=(pn-1)(pn-pk)(pn-pn-1)

12、随机整数n阶行列式模p余r概率r=0: P0=1-|GL(n,p)|/pn2r0, f:GL(n,p) Zp*, AdetA.案例分析(fnx)正规子群,同态基本定理2022/7/27共三十三页 案例(n l)10. 极限与微分博士生 2010考题. 在一点a连续的全体实函数构成环CO(Dx)(无穷小)与o(Dx)=O(Dx)Dx都是C的理想.limxcf(x)=A f(x) A (mod O(Dx)f(x) f(a)+f(a)Dx (mod o(Dx)和差积商极限: f(x)A, g(x)B 加减乘除(ji jin chng ch)幂的导数: (x+Dx)nxn+nxn-1Dx (xn)=n

13、xn-1积的导数: f(x)g(x)f(a)g(a)+(f(a)g(a)+g(a)f(a)Dx商的导数:2022/7/27共三十三页案例11.分数(fnsh)化小数- 循环节长度数学聊斋: 商家打折: 1428元?a=1/7=0.142857循环节D=106a-a= 142857=(106-1)/7. q/p=a的循环节 D=(10d-1)q/p=整数(zhngsh). 最小的d使 10dqq(mod p)当 p是素数(2,5), 10d1(mod p)D是 10在乘法群 Zp*中的阶,整除 p-1混循环: (10d-1)10kq0(mod p).2022/7/27共三十三页 案例分析乘法(c

14、hngf)群元素的阶例:q/7. 10k (k=1,2,)模7余3,2,6,4,5,1，d=6.循环节D=q(106-1)/7=142857q. 1/7=a=142857 对k=1,2,5, 10ka-qk=(10k-7qk)/7=rk/7。将D前k位移到末尾,得到(d do)D的rk(=3,2,6,4,5)倍。推广：1/a的循环节轮换排列都得到D的rk倍。仅当d=n-1时得到所有各倍循环群的生成元另例:1/17=0.0588235294117647。1/19=更多性质：142+857=999，14+28+57=99。2022/7/27共三十三页案例(n l)12. 复数的代数模型域扩张202

15、2/7/27共三十三页案例(n l)12. 复数的代数模型域扩张环同态基本定理已经找到矩阵J满足J2+I=0。环同态 f:RxRJ, f(x)f(J). Kerf = f-1(0) = (x2+1).每个 aI+bJa+bx=a+bx+q(x)(x2+1)|q(x)Rx商环 C = Rx/ (x2+1) =a+bx|a,bR0=x2+1=x2+1 x2 = -1。a+bx0 与x2+1互素,在C中可逆.C 是域.记1=1,x=i, 则 i2 = -1. C=a1+bi | a,bR =复数域。直接为x2+1造根: 不需先猜J2+I=0。在Rx中强制规定“假零集合”Q = 0= x2+1.则 Q

16、 = (x2+1)由 x2+1 的所有(suyu)倍式组成. C=Rx/ (x2+1)线性变换: a+bxxa+bx在基1,x下的矩阵 满足条件 J2 = -I.2022/7/27共三十三页 推广(tugung). 域的代数扩张无中生有: 为域F上多项式f(x)造根。强制(qingzh)规定f(x)=0: 在Fx中生成理想 (f(x). 同余类环 E=Fx/(f(x)中f(x)=0, x是根. f(x) 在 Fx 中不可约: E 是F的代数扩域.设d=deg f(x), 则 E 是 F 上 d 维空间,E:F=d.造矩阵根: F上线性变换g(x)xg(x) 在基1,x, , xd-1 下的矩阵

17、J是f(x)的根。f(x)可约: 不可约因子h(x)在扩域E=Rx/(h(x)中有根,也是f(x)的根。同构: h(x)在扩域M/F中有根w,则s:EM, g(x)g(w)为域同构. 自同构：sGal(E/F) g(w)g(u), w与u为h(x)的任意两个根。2022/7/27共三十三页 案例13.m序列(xli)有限域的扩张Z2 上线性移位寄存器序列u1,u2,um,满足条件 uk+n=c1uk+n-1+cnuk .m序列: 选c1,c2,cn达到最大周期 N=2n-1.(uk+1,uk+n) = (uk,uk+n-1)A 状态(zhungti)转移矩阵 A = A的最小多项式 m(x)

18、= xn-c1xn-1-cn-1x-cn.(uk+1,uk+n)=(u1,un)Ak 取遍非零状态. 如果B=f(A)= a1An-1+an-1A+anI不可逆，2022/7/27共三十三页如果B=f(A)= a1An-1+an-1A+anI不可逆,则有Uk+1= (uk+1,uk+n) 0使Uk+1B=00=Uk+1BAm=Uk+1AmB=Uk+1+mB, 对所有m.Uk+1+m包括Z2上所有的非零n维行向量.这迫使 B = 0. 说明 Z2A中非零元都可逆。Z2x/(m(x) Z2A是域, 包含元素2n个。反过来,找2n元有限域,其乘法群的生成元的最小多项式m(x)=xn-b1xn-1-bn-1x-bn.取(c1,c2,cn)=(b1,b2,bn)即得m序列。案例分析: (1) q元有限域存在(cnzi)q 是素数幂